建筑结构抗震原理多自由度体系地震反应

工程抗震原理

PrinciplesofSeismicEngineering土木工程专业本科专业课

主要内容工程结构抗震原理2/322第一章工程抗震基础知识第二章场地与地基基础抗震原理第三章建筑结构抗震原理第六章桥梁结构抗震原理第七章工程结构减震控制原理第三章建筑结构抗震原理§1概述§2单自由度体系地震反应分析§3单自由度体系水平地震作用§4多自由度体系地震反应分析§5地震分析振型分解反应谱法§6水平地震作用的底部剪力法§7考虑扭转的水平地震作用§8结构竖向地震作用§9建筑结构抗震验算§10结构自振周期和频率的实用计算方法§11工程结构地震反应的时程分析方法§12地基与结构动力相互作用效应§4

多自由度体系地震反应分析4.1动力方程的建立实际工程结构的质量都是沿结构几何形状连续分布的，因此，严格地说，其动力自由度应该是无限的。但是，采用无限自由度模型，一方面计算过于复杂；另一方面也没这种必要，因为，选用有限多自由度模型的计算结果已能充分满足一般工程设计的精度要求。因此，在研究和应用中，一般通过结构的离散化方法，将无限自由度体系转化为有限自由度体系。§4

多自由度体系地震反应分析由结构动力学理论可知，结构离散化的基本方法有广义坐标法、有限元法和集中质量法。集中质量法是最早提出、也是最简单的方法。这一方法人为地将质量集中于一些点处，与之相对应，结构的刚度特性、阻尼特性、荷载特征则被集中于质量的平移自由度方向。集中质量法所带来的计算便利是显而易见的，但是，对于动力问题，不适当地集中质量也可能导致较大的计算误差。因此，对集中质量法应附加动能等效原则，即集中前后体系的动能不发生显著变化。§4

多自由度体系地震反应分析§4

多自由度体系地震反应分析定义影响系数αij是由j坐标单位物理量在i坐标方向上引起的力，其具体含义可以是刚度系数、阻尼系数、质量等。对于一般多自由度体系，假定任意时刻t，j坐标方向的位移（相对于平衡位置）为uj，相应的速度、加速度分别为

、

。则在此时刻，所有j坐标处的物理量（包括i坐标处）与相应于坐标i处的影响系数乘积之和即为i坐标方向所受到的力，即：§4

多自由度体系地震反应分析惯性力：其中mij—质量，对于集

中质量法，i≠j时mij=0；恢复力：kij—刚度系数；

n—动力自由度数;阻尼力:cij—阻尼系数。根据达朗贝尔原理，上述各力之和

即等于i坐标处作用的外力pi(t)，即：8/180§4

多自由度体系地震反应分析全部n个坐标的运动方程可用矩阵形式表示为式中，[M]、[C]和[K]—分别为结构离散体系的质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，对于集中质量法，[M]为对角矩阵；{uj}、{}和{}—分别为结构离散体系的位移向量、速度向量和加速度向量；{P}—动外力向量。§4

多自由度体系地震反应分析图示多自由度弹性体系在水平地震运动作用下的变形情况。这时，体系上并无动外力p(t)作用，仅有地震引起的地面运动

。此时，i质点的惯性力为：§4多自由度体系系地震反应分分析注意到弹性力力和阻尼力仅仅与相对位移移和相对速度度有关，因此此，由达朗贝贝尔原理可得得水平地震运运动作用下的的运动方程为为：写成矩阵形式式为：式中，{I}—惯性力指示示向量，§4多自由度体系系地震反应分分析4.2地震反应分析析的振型叠加加法1.振型与自振频频率求解弹性体系的自振频率和振振型称为自振特性分析。由于体系的固有频率和相应的振型都仅取决于体体系自身的性性质，而与时时间无关，所所以从广义的的观点，自振振特性分析的的基本手段是是变量分离法法，即把时间因素与与结构位置因因素分离后，利用特征方程程具有非零解解的充分必要要条件求取自振频率及相应的振型。§4多自由度体系系地震反应分分析无阻尼多自由度弹性体系的自由振动方程程为：设结构作简谐振动，其位移反应应为：式中，ω—自振频率；；θ—初始相位角;{ϕ}—仅与位置坐标标有关的向量量。可以得到特征征方程：根据线性代数数的知识，特征方程存在在非零解的充要条件是是系数行列式等等于零，即得到频率方程：§4多自由度体系系地震反应分分析对于稳定结构构体系，其质质量矩阵和刚刚度矩阵具有有实对称性和和正定性，所所以，相应的的频率方程的根根都是正实根根。对于处于随遇平衡状态态或不稳定状态的结构体体系，频率方方程会出现等等于零的重根或虚根。一般地，地震震工程中遇到到的结构体系系多为稳定体体系。§4多自由度体系系地震反应分分析根据特征方程：对应于频率方方程中的每一个根，都存在特征征方程的一个个非零解{ϕj}，称为振型向量，或叫特征向量，或叫模态向量。由于特征方程程的齐次性，该非零解是不定定的，即振型向量幅值值是任意的，但形状是唯一的。因此，振型定定义为结构位移形状保持持不变的振动形式。。根据可知，若结构构体系按某一一振型振动，，则体系的所有质点将按按同一频率作作简谐振动。§4多自由度体系系地震反应分分析为了对不同频频率的振型进进行形状上的的比较，需要要将其化为无无量纲形式，，这种转化过过程称为振型的规格化化。振型规格化的的方法可采用用下述三种方方法之一：(1)特定坐标的规规格化方法：：指定振型向向量中某一坐标值为为1，其它元素按按比例确定；(2)最大位移值的规规格化方法：：将振型向量量各元素分别除除以其中的最最大值；§4多自由度体系系地震反应分分析(3)正交规格化方方法：令其中对于[M]为对角质量矩矩阵时，可简简写为：式中，ϕji—j振型向量第i坐标处的值；Mj—j振型的广义质量。。§4多自由度体系地震震反应分析2.振型的正交性根据特征方程：分别对振型i、j列出运动方程：左式(a)两边乘以向量{ϕj}的转置{ϕj}T，右式两边乘以向量{ϕi}的转置{ϕi}T，则有：左式不变，而对右右式进行转置运算算可得18/180§4多自由度体系地震震反应分析将右式减去左式，，可得：若ωj≠ωi，则有：同时有：分别称为振型对质质量矩阵的正交性性和振型对刚度矩矩阵的正交性。§4多自由度体系地震震反应分析振型对质量矩阵的正交性的物理意义义是：某一振型在振振动过程中所引起起的惯性力在其它它振型上所作的功功为零。这说明某一个振型型的动能不会转移移到其它振型上去去，或者说体系按按某一振型作自由由振动时不会激起起该体系其它振型型的振动。振型对刚度矩阵正交性的物理意义义是，体系按某一振振型振动时，它的的位能不会转移到到其它振型上去。。§4多自由度体系地震震反应分析振型的两两正交特特性说明它们具备备作为一类线性空间间基底的基本条件件。事实上，由振型向向量所张成的线性性空间正是一般动动力反应空间，在在这空间的任一点点表示一个特定的的动力反应，并且且这一点的坐标值值可由关于基底（（振型）的广义坐坐标给出。§4多自由度体系地震震反应分析3.正交阻尼若无外部能量输入入，则任何原来振振动的物理系统都都会随着时间的增增长趋于静止，这是因为系统的能能量会因为某些原原因而耗散。产生振动系统能量量耗散的原因称为为阻尼。目前，关于结构振振动的耗能机理并并不十分清楚，已已经提出的许多材材料阻尼的数学模模型，每一种模型型都有其适应范围围和局限性。由于结构构的阻尼尼机制十十分复杂杂，工程程上常采采用简单单的正交交阻尼模模型。§4多自由度度体系地地震反应应分析目前工程程上广泛应用用的是瑞瑞雷阻尼尼模型，，其数学学表达式式为：式中，α0、α1—瑞雷阻阻尼系数数。由于振型型向量对对质量矩矩阵和刚刚度矩阵阵具有正正交性，，因此，，对于瑞瑞雷阻尼尼模型，，也有：：即振型对对阻尼矩矩阵也具具有正交交性。利用上述述正交性性条件，，并注意意到：§4多自由度度体系地地震反应应分析其中：为为第j振型的广广义质量量；为第j振型的广广义刚度度；为第j振型的广广义阻尼尼；为第j振型阻尼尼比。因此有：：若已知任任意两阶阶振型的的阻尼比，则则可定出出阻尼系系数：§4多自由度度体系地地震反应应分析4.求解地震震反应的的振型分分解法§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析§4多自由度度体系地地震反应应分析4.求解地震震反应的的振型分分解法一组正交交向量可可以作为为线性空空间的一一组基底底，这些些基的适适当线性性组合构构成空间间的点。。根据这一一观点，，线性结结构的动动力反应应必然是是其振型型向量所所张成的的线性空空间中的的点，点点的规迹迹则反映映动力反反应的时时程变化化过程。。为简单明明了地说说明问题题，先考虑两两个自由由度的体体系。§4多自由度度体系地地震反应应分析将质点m1和m2在水平向向地震作作用下任任一时刻刻的位移移u1(t)和u2(t)用两个振振型的线线性组合合表示：：其中，第第一振型型向量，第二振振型向量量。这实际上是是一个坐坐标变换换式，原原来的变变量u1(t)和u2(t)为几何坐坐标，而而新的坐坐标q1(t)和q2(t)可称为广广义坐标标。由于体系系的振型型是唯一一确定的的，因此此，当q1(t)和q2(t)确定后，，质点的的位移u1(t)和u2(t)也将随之之确定。。§4多自由度度体系地地震反应应分析对此也可以这这样理解解：体系的位位移可看看作是由由各振型型向量乘乘以相应应的组合合系数q1(t)和q2(t)后叠加而而成的。。换句话讲讲，这种种方法是是将实际际位移按按振型加加以分解解，故称称为振型型分解法法。另外，由由于q1(t)和q2(t)是随时间间变化的的，因此此，同一一振型在在不同时时刻对总总位移““贡献””的大小小是不一一样的。。§4多自由度度体系地地震反应应分析对于一般般的多自自由度线线弹性体体系，有：式中，为为位位移向量量；为广义坐坐标向量量；为振型矩矩阵，其中{ϕj}为体系的的第j个振型向向量。将上式两边分别前乘乘{ϕj}T[M]，利用振振型关于于质量矩矩阵的正正交性及及上式，可导导出广义义坐标与与一般位位移反应应的关系系。一般用于决定定各振型型的初始始条件。。§4多自由度度体系地地震反应应分析在水平地地震作用用下，多多自由度度弹性体体系的运运动方程程为：为应用振振型分解解法，一一般采用用瑞雷阻阻尼模型型。将：代入，并前乘振振型向量量的转置置{ϕj}T，利用振振型向量量对质量量矩阵、、阻尼矩矩阵和刚刚度矩阵阵的正交交性，可可得：注意到§4多自由度度体系地地震反应应分析则上式可可转化为：其中称为第j振型的振振型参与与系数。。利用有阻阻尼体系系的Duhamel积分公式式：广义坐标标qj(t)可表示为为(假定初始始条