数值计算课后习题五答案

习题五解答

1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。

(1),(2)

(3),(4)

1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。

(1)

解：解：将区间[0,1]4等分，5个分点上的被积函数值列表如下(取2位小

数)

x00.250.50.751

y00.060.120.160.20

⑴矩形法。

用矩形法公式计算(取2位小数)

或者

(2)梯形法

用梯形法公式计算(取2位小数)：

⑶抛物线法

用抛物线法公式计算(取2位小数)：

2、用复化梯形公式计算积分，由此计算In2(注：)，精度要求为。

解：，

要求精度为，即误差不超过。

将积分区间［4,8］n等份，则步长

在本题中，复化梯形公式的余项为

注意到

所以在［4,8］区间上，

则，

要使，需有。

3、用复合梯形公式计算积分，问将积分区间［a,b］分成多少等份，才能保证误

差不超过e(不计舍入误差)？

解：对于复合梯形公式来说，如果在积分区间上连续，则其余项为

设，

则

令，

得

即当时，能保证计算的精度要求。

4、已知飞机在高度H的上升速度v(H)如下：

H(km)0246810

v(km/s)50.046.040.032.222.510.0

求从地面(H=0km)上升到H=10km高空所需要的时间。(分别用复合梯形公式与

高阶牛顿一柯特斯公式)

指出：

求给定函数的数值积分套用公式即可但须注意给出的数据表不是要求积分的函

数表，要求积分的函数表为

H(km)0246810

V(km/s)50.046.040.032.222.510.0

1/v

5、用龙贝格方法计算下列积分，要求误差不超过10—5。

(1)(2)

解：(1)依次应用龙贝格积分的四个公式进行计算：

计算结果列表如下:

00.7717433

10.72806990.7135121

20.71698280.71328700.7132720

30.71420020.71327260.71327170.7132717

所以。

6、分别用下列方法计算积分,并比较计算结果的精度(1=1.098612……)：

⑴复合梯形法5=16)；

⑵复合抛物线法(n=8)；

⑶龙贝格方法，求至；

(4)三点高斯一勒让德公式。

指出：

①直接套公式计算。

②计算结果的精度比较，通过各计算解和精确解比较，求出相应的误差，再比

较误差大小的方法进行。

③三点高斯一勒让德公式为

当积分区间不是［-1,1］而是［a,b］时，为应用高斯一勒让德公式，需要作

变量代换，将［a,b］化为［-1,1］。

石瑞民《数值计算》中没有给出三点高斯一勒让德公式，但给出了3、4、5点

公式系数表。

7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出

的求积公式具有的代数精度：

(1);

(2)；

(3)；

(4)。

解：(1)求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)=1,x,x2精确成

立,即

解之得，

所以，数值求积公式为，

而，

所以上述积分公式具有3次代数精度(实际上这是抛物线公式)。

(2)求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)=1,x,x2精确成立，

即

解之得，

所以，数值求积公式为，

而，

所以上述积分公式具有3次代数精度。

指出：

由于本题的节点实际上仅分布在半个积分区间，因此积分精度低。

⑶求积公式中有2个待定参数，需要列两个方程组成的方程组。

当f(x)=1时，有

因此需令求积公式对f(x)=x,x2精确成立，即

化简得

解之得

或

所以，数值求积公式为

或

对第一个积分公式，

当时，

所以上述积分公式具有2次代数精度。

指出：

求出的是两个积分公式，不能认定两个节点有大小顺序规定而只取一个，实际

上仅仅是两个点必须是按求出的成对。

(4)求积公式中仅含有一个待定参数Co

令f(x)=1,有

令f(x)=x,有

令时公式准确成立，则

则求积公式为

将代入求积公式，有

所以，求积公式具有2次代数精度。

指出：

可否认为，或是否有必要认为a和b是未知待定的？

8、试构造高斯型求积公式，使之对于均能成立。

解：求积公式中有4个待定的未知数，故令求积公式对f(x)=1,x,x2,x3精

确成立，即

从前两式从解出(用矩阵方程形式)有

对后两式有

故有

化简得

令

则上述方程组化为

解之得，

于是有

故所求的积分公式为

指出：

①注意方程组的解法。

②，与相对应（由前两个方程决定）。

③方程组中是一次的，而且前两个方程中也是0次、1次的，因此从前两个

方程中解出（用表示）代入后两个方程中求就是比较容易想到的方法。而用

矩阵格式简化计算，用变量代换简化方程则是数学的技巧。

9、利用下表求x=0.6处的一阶导数。

x0.40.50.60.70.8

f（x）1.58364941.79