时间序列课后习题答案

人大时间序列课后习题答案

第二章P34

1、(1)因为序列具有明显的趋势，所以序列非平稳。

(2)样本自相关系数：

n-k

「"/(OU汽区_守

1=\

1〃1

X=-Yxt=——(1+2+・・・+20)=10.5

n片20

]20

7(°)=云2(为一幻2=35

119

/⑴=6工区一项七+「幻=2975

1九=1

118

八2)=/£区一幻区+2一灯=25.9167

13/=]

117

/⑶=高£(X,一元)区+3—元)=21.75

17仁]

/(4)=17.25/(5)=12.4167y⑹=7.25

p}=0.85(0.85)p2=0.7405(0.702)g=0.6214(0.556)

p4=0.4929(0.415)p5=0.3548(0.280)p6=0.2071(0.153)

注：括号内的结果为近似公式所计算。

(3)样本自相关图：

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb

「******1「…口1Q8500.85016.7320.000

「****.*|.|20.702-0.07628.7610.000

『***.*|.|30.556-0.07636.7620.000

.「**|.*|.|40.415-0.07741.5000.000

.1**.1..|50.280-0.07743.8000.000

•I*.1.*|.|60.153-0.07844.5330.000

.1.1.*|.|70,034-0.07744.5720.000

.*l.1.*|.|8-0.074-0.07744.7710.000

.*l.1.*|.|9-0.170-0.07545.9210.000

.**1.1.*|.|10-0.252-0.07248.7130.000

.**||..|11-0.319-0.06753.6930.000

***||.*|.|_12_-0.370-0.060_61.220_0.000

该图的自相关系数衰减为0的速度凌慢，可认为非平稳。

in

4、LB=n(n+2)工

k=lI)

LB(6)=1.6747LB(12)=4.9895

ZO.O5(6)=12.59ZO.O5(I2)=21.O

显然，LB统计量小于对应的临界值，该序列为纯随机序列。

第三章P97

1、解：E(x,)=0.7)+£(£,)

(l-0.7)E(x,)=0E(xt)=Q

(1-0.7B)x,=£,

x,=(1—0.7B)T弓=(l+0.7B+0.72B2

Var(x)=——-——(7；=1.9608b；

'1-0.49'

Pi=妖Po=0-49赧=0

2、解：对于AR(2)模型：

必夕0+。22-1==0.5

VP\~

0=/21+。2。0=必。1+。2=。3

=7/15

解得:

弧=1/15

3、解：根据该AR(2)模型的形式，易得：E(x,)=0

原模型可变为：x,=0.8x,_1-0.15X,_2+£T

1一人

Var(x1)=

(1+02)(1-。1一02)(1+。1—。2)

--------------------------------O-2=1.9823O-2

(1-0.15)(1-0.8+0.15)(1+0.8+0.15)

p、—必/(I—02)=0.6957必]=Pi—0.6957

<Pi=@\P\+02A)=04066<a2=4=-0.15

0

p3Eg+。2Pl=0.2209."3=

4、解：原模型可变形为：

(1-B-CB2)X,=£,

由其平稳域判别条件知：当I右1<1，弧+必<1且。2-必<1时，模型平稳。

由此可知c应满足：lcT<l,C-1<1且C+1<1

即当一l〈c〈0时，该AR(2)模型平稳。

1攵=0

Pk=<1/(1-c)k=1

c

Pk-\+Pk-2kN2

5、证明：已知原模型可变形为：

23

(1-B-cB+CB)X,=£T

其特征方程为：23-A2-c/l+c=(/l-l)(22+/1—c)=0

不论c取何值，都会有一特征根等于1,因此模型非平稳。

2

6、解：(1)错,YQ=Var(xt)=o-2/(I-6>,)o

(2)错，E[(x,-4)(阳一〃)]=/,=A/o=仇苏/(I一»)。

(3)错，3T(1)=69。

(4)错，e?(/)=£?+/+G]£?+/_]+++G/-i*r+i

=£T+I+。声r+/-i+£T+I-2一.4£T+\

(5)错，WmVar[x,-x(/)]=lim(/)]=lim—■_=~~~r

I-wT+TI_I―km1c2£1Z)2

MA(1)模型的表达式为：阳=£,+£­]o

8、解：E(xt)=/(I-^)=10/(1-0.5)=20

原模型可变为：(l-0.5B)(x,-20)=(l-0.8B2+CB3k,

'(1—0.58)

显然，当1-0.8B?+C炉能够整除1—0.5B时，模型为MA(2)模型，由此

得B=2是1-0.8B2+CB3=0的根，故C=0.275。

9、解：：E(x,)=0

Var(xt)=(1++%)或=1.65a；

。广溪餐智”

_一。20.4

02-1+毋+6；=0.2424pk—0,k>3

k65

10、解：(1)X,=£,+C(£.]+J_2+…)

%T=£.]+C(£.2+J-3+…)

(-\

匕=£/+Cx£I+%=x-+J+(C—1)£1

即(1-5)^=[1-(C-1)BX

显然模型的AR部分的特征根是1,模型非平稳。

(2)yt=xf-Xt_x=8t+(C-1)£,T为MA⑴模型，平稳。

一dC-l

P\=

1+斤C2-2C+2

11、解：（1）1a1=12>1,模型非平稳;

2,=1.3738%=-0.8736

我+外=0.8<1,我—必=—1.4<1,模型平稳。

4=0.6Z2=0.5

(3)\621=0.3<1,%+优=0.6<1，02-0,=-1.2<1,模型可逆。

4=0.45+0.2693i2,=0.45-0.26931

(4)\02|=0.4<1,%+优=-0.9<1,%一仇=L7>1，模型不可逆。

4=0.2569%=-1.5569

(5)I必|=0.7<1,模型平稳；4=0.7

I优1=0.6<1,模型可逆；4=0.6

(6)|021=0.5<1,%+必=—0.3<1，我一仇=13>1，模型非平稳。

4=0.41242,=T.2124

\0}1=1.1>1,模型不可逆；4=1.1

12、解：(l—0.6B)x,=(1—0.36)弓

演=(1-038)(1+0.68+0.62B2+■■■)£,

=(1+0.38+0.3*0.6B2+0.3*O.62炉+…应

OQ

£,+£0.3*0.6尸£_/

j=l

G0=l,G/=0.3*0.6，T

13、解：仇①(8)X/=E[3+®(B)%]=(1—0.5)2E(X,)=3

E(x,)=12

14、证明：p0=/(O)//(O)=1；

c0.25(1-0.5*0.25)

/(O)1+。；-26防1+0.252-2*0.5*0.25

Pk="Pk-i=05pk_\kN2

15、解：(1)错；(2)对；(3)对；(4)错。

16、解：(1)x,-10=0.3*(x”1—10)+弓，xT=9.6

xr⑴=E(x,+I)=£[l0+0.3*(xr-10)+J*J=9.88

=E[10+0.3*(x-10)+s]=9.964

XT(2)=E(XI+2)r+lT+2

xT(3)=E(X,+3)=E[10+0.3*(xr+2-10)+sT+3]=9.9892

已知AR⑴模型的Green函数为：Gj=“，尸1,2,…

e(3)=+Gs=。]£,+2+而£

TGOE1+3+G[£I+22l+lEI+3+l+i

22

Var[eT(3)]=(1+0.3+0.09)*9=9.8829

x,+3的95%的置信区间：[9.9892-1.96*百丽河，9.9892+1.96*79.8829]

即[3.8275,163509]

(2)£t+}=xT+i-xr(1)=10.5-9.88=0.62

xr+l(1)=£(X,+2)=0.3*0.62+9.964=10.15

xT+1(2)=E(xt+3)=0.09*0.62+9.9892=10.045

2

V«r[er+2(2)]=(1+0.3)*9=9.81

x,+3的95%的置信区间：[10.045-1.96X疯丽，10.045+1.96*VW]

BP[3.9061,16.1839]

习题4

1、

--L

Xj]一~+^T-\+，r-2+,^T-3

lz、5551

X7+2=—(/+]+XT+XT_X+XT2)=—XT+-XTl+-XT_2+—巧-3

4lolololo

所以，在％+2中巧与巧-1前面的系数均为工。

2、由

\xt=axt+(1-«)%,_1

瓦二町+i+(l-a)E

代入数据得

JK=5.250+5(1-。)

[5.26=5.5a+(l-a)xt

解得

X,=5.1

<a=0.4(舍去的情况)

3、(1)

%2i=~(820+*19+*18+*17+%16)=彳(18+11+10+10+12=11.2

%22=一(.^21+%20+%19+%18+%17)=—11.2+13+11+10+10=11.04

(2)利用吊=0.驾+0.6可_1且初始值%=%进行迭代计算即可。另外

x；2=x21=x20该题详见Excel。11.79277

(3)在移动平均法下:

1119

x21=-x90+-yxr.

Z1<zucI

33»=16

111g

X22=-x2]~i—x2°H—y2xi

LL<L1.ZUcI

3)3/=15

1116

a=-l—x—=—

55525

在指数平滑法中：

X))—%21=120=。.4%20+0,6X]9

.•.b=0.4

A

.\b-a=0.4------=0.16

25

5、由

可=g+(l-a)(£i+*)

<

J=y(xt-xt_l)+(l-/)rt_l

代入数据得

JK=0.4%,+0.6x(20+5)

[4.1=0.2(i,-20)+0.8x5

解得

(xt=20.5

=13,75

z<-c(10,11,12,10,11,14,12,13,11,15,12,14,13,12,14,12,10,10,11,13)

6、

方法一：趋势拟合法

incomec-scan('习题4.6数据.txt')

ts.plot(income)

由时序图可以看出，该序列呈现二次曲线的形状。于是，我们对该序

列进行二次曲线拟合：

t<-l:Iength(income)

t2<-tA2

z<-lm(income-t+t2)

summary(z)

lines(z$fitted.values,col=2)

方法二：移动平滑法拟合

选取N=5

income.fil<-filter(income,rep(l/5,5),sides=l)

lines(income.fil,col=3)

7、(1)

milk<-scanC习题4.7数据.txt，)

ts.plot(milk)

从该序列的时序图中，我们看到长期递增趋势和以年为固定周期的季

节波动同时作用于该序列,因此我们可以采用乘积模型和加法模型。

在这里以加法模型为例。

z<-scan('4.7.txt')

ts.plot(z)

z<-ts(z,start=c(1962,l),frequency=12)

z.s<-decompose(z,type=，additive')〃运用力口法模型进行分解

z.kzz.s$seas〃提取其中的季节系数，并在z中减去(因为是加法模

〃型)该季节系数

ts.plot(z.l)

Iines(z.s$trend,col=3)

z.2<-ts(z.l)

t<-l:length(z.2)

120tA2

t3<-tA3

rl<-lm(z.2~t)

r2<-Im(z.2~t+t2)

r3<-lm(z.2~t+t2+t3)

summary(rl)

summary(r2)

summary(r3)##发现3次拟合效果最佳，故选用三次拟合

ts.plot(z.2)

lines(r3$fitt,col=4)

pt<-(length(z.2)+l):(length(z.2)+12)

ptl<-pt##预测下一年序列

pt2<-ptA2

pt3<-ptA3

pt<-matrix(c(ptl,pt2,pt3),byrow=T,nrow=3)/*为预测时间的矩阵。*/

p<-r3$coef[2:4]%*%pt+r3$coef[l]/*矩阵的乘法为%*%；coefL1]

为其截距项，coef[2：4]为其系数*/

pl<-z.s$sea[l:12]+p/*加回原有季节系数，因为原来是加法模型*/

ts.plot(ts(z),xlim=c(l,123),ylim=c(550,950))

lines(ptl,pl,col=2)

##包含季节效应的SARIMA模型

z<-scan('4.7.txt')

ts.plot(diff(z))

sq<-diff(diff(z),lag=12)Z*12步差分*/

par(mfrow=c(2,1))

acf(sq,50)

pacf(sq,50)

##

Seriessq

N

OLhL

Lr

LLOO

V:

?

o1o

20304050

g

LoL.0

a0

w

m

o

cod—

o

203050

Lag

##观察上图，发现ACF图12阶处明显，24阶处即变到置信区间内。

##而PACF图12阶，24阶，36阶处有一个逐渐递减过程，可认为

##拖尾，故可以考虑对季节效应部分采用MA(1)模型

##同时，ACF图在第一阶处显著后即立刻变动到置信区间内，具有

##截尾性质，PACF图在第5、6阶时变动到置信区间外，可以考虑

##使用MA(1)模型，故综合可采用乘积模型SAK/M4(0/,l)x(0,l,l"

##即ril、mal模型乘以季节因素

resuIt<-arima(z,order=c(0,l,l),seasonal=list(order=c(0,l,l),Period=12

))/*季节因素里的order为阶数的意思，与前面的airma模型的阶数

含义同*/

tsdiag(result)〃诊断

##下图为预测后的图

020406080100120

Time

4.8

z<-scan('4.8.txt')

adf.test(z)##单位根检验。比较科学的定量的方法

##其原假设：具有单位根，即不平稳。此题中接受备则假设：平稳。

指数平滑预测

ffe<-function(z,a)##定义指数平滑预测。其中a为平滑项

{

y<-c()

y<-z[i]

for(iinl:length(z))

y<-c(y,a*z[i]+(l-a)*y[i])

return(y)

)

y<-ffe(z,0.6)##执行上述定义的function

ts.plot(z)

lines(y,col=3)

y[length(y)]

简单移动平均

z.l<-filter(z,rep(l/12,12),side=l)##side