化工传递第四章

化工传递第四章第一页，共六十七页，2022年，8月28日第二页，共六十七页，2022年，8月28日第四章边界层理论

边界层理论由普朗特1904年

(Prantdl)提出，用于处理高Re数的流动问题。边界层理论不但在动量传递中非常重要，它还与传热、传质过程密切相关。

本章简要讨论边界层的概念、边界层理论的要点以及某些简单边界层的求解等问题。第三页，共六十七页，2022年，8月28日4.1边界层的概念一、普朗特边界层理论的要点二、边界层的形成过程三、边界层厚度的定义第四章边界层理论基础第四页，共六十七页，2022年，8月28日1.当流体以高Re流过固体壁面时，由于流体的黏性作用在壁面处不滑脱，即在壁面上流速为零；2.在壁面附近区域存在一极薄的流体层，其内速度梯度很大；一、普朗特边界层理论的要点δu0u03.在远离壁面的流动区域，其速度梯度几乎为零，可视其为理想流体的势流。第五页，共六十七页，2022年，8月28日二、边界层的形成过程1.平板壁面上的速度边界层

当黏性流体（高Re）在一无穷平板壁面上流动时，速度边界层的形成过程见图：边界层：流体速度分布明显受到壁面影响的区域，亦即壁面附近速度梯度较大的薄流体层。第六页，共六十七页，2022年，8月28日

首先，在壁面附近有一薄层流体，速度梯度很大；在薄层之外，速度梯度很小，可视为零。

壁面附近速度梯度较大的流体层称为边界层。边界层外，速度梯度接近于零的区称为外流区或主流区。二、边界层的形成过程第七页，共六十七页，2022年，8月28日层流边界层和湍流边界层

在板前缘附近，边界层内流速较低，为层流边界层；而后逐渐过渡为湍流边界层。湍流边界层分为3层

近壁面的薄层流体为层流内层；其次为缓冲层；然后为湍流核心。二、边界层的形成过程x=0xyu0u0u0u0层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心第八页，共六十七页，2022年，8月28日临界距离和临界雷诺数：临界距离xc

由层流边界层开始转变为湍流边界层的距离；平板流动Rex—由平板前沿算起的距离，mu0—主流区流体流速，m/s

。临界Rexc二、边界层的形成过程x=0xyu0u0u0u0xc层流边界层过渡区湍流边界层层流内层缓冲层湍流核心第九页，共六十七页，2022年，8月28日2.管内边界层形成过程

黏性流体以u0的流速流进管内,在进口附近形成速度边界层。二、边界层的形成过程流动进口段——由管进口开始至边界层汇合以前的距离Lf充分发展的流动——边界层汇合以后的流动第十页，共六十七页，2022年，8月28日(a)u0较小，在管中心汇合依然为层流边界层。汇合以后为充分发展的层流：二、边界层的形成过程LfriLfri（a）层流边界层（b）层流与湍流边界层层流边界层湍流边界层(b)u0较大，在汇合之前已发展为湍流边界层。汇合以后为充分发展的湍流；u0u0第十一页，共六十七页，2022年，8月28日管内流动雷诺数d—圆管直径，m；ub—主体流速，m/s

。Re<2000时，管内流动为层流。二、边界层的形成过程第十二页，共六十七页，2022年，8月28日三、边界层厚度的定义1.平板边界层厚度δ

2.管内边界层的厚度进口段区汇合后第十三页，共六十七页，2022年，8月28日第四章边界层理论基础4.2普朗特边界层方程一、普朗特边界层方程的推导

二、普朗特边界层方程的解

第十四页，共六十七页，2022年，8月28日一、普朗特边界层方程的推导

u0yx0δ(x)

不可压缩流体沿平壁作稳态二维层流流动的变化方程：非线性二阶偏微分方程第十五页，共六十七页，2022年，8月28日大Re数下的边界层流动有两个重要性质：2.

边界层内粘性力与惯性力的量级相同。1.边界层厚度δ

<<物体特征尺寸x；对平板上流动的变化方程作量阶分析：

量阶：指物理量在整个区域内相对于标准量阶而言的平均水平，不是指该物理量的具体数值。一、普朗特边界层方程的推导

第十六页，共六十七页，2022年，8月28日取如下两个标准量阶：

（1）取坐标x为距离的标准量阶，外流速度u0为流速的标准量阶，即（2）取边界层厚度δ为另一个标准量阶：

一、普朗特边界层方程的推导

第十七页，共六十七页，2022年，8月28日（1）ux：0→u0，ux=O(1)（2）（3）（4）y：在边界层的范围内，y由0→δ，（5）uy：由连续性方程（6）一、普朗特边界层方程的推导

第十八页，共六十七页，2022年，8月28日（7）(1)(1)(δ)(1)(1/δ2)(1/δ)分析结果：获得边界层流动，流体的粘性要非常低

一、普朗特边界层方程的推导

对x方向的式（4-1a）进行量阶比较：

量阶第十九页，共六十七页，2022年，8月28日(1)(δ)

(δ

)

(

1)(δ2)(δ)(1/δ)结果：（1）各项的量阶均小于或等于（2）y方向的运动方程较次要，可忽略不计。一、普朗特边界层方程的推导

对y方向式（4-1b）进行量阶分析：第二十页，共六十七页，2022年，8月28日（3）

沿边界层法线方向上流体的压力梯度可忽略，即压力可穿过边界层保持不变。根据理想流体理论，边界层外部边界上的压力分布是可由势流确定的。于是边界层内的压力变成了已知函数。一、普朗特边界层方程的推导

第二十一页，共六十七页，2022年，8月28日普朗特边界层方程（4-2）一、普朗特边界层方程的推导

第二十二页，共六十七页，2022年，8月28日

边界层外为理想流体的势流，可用伯努利方程（Bernolli）描述。在流动的同一水平高度上，有

考虑不可压缩流体沿平板作稳态层流流动的情况。

边界层内：二、普朗特边界层方程的解

p1p2u0yx0δp3p4第二十三页，共六十七页，2022年，8月28日二、普朗特边界层方程的解

(4-3)二阶非线性偏微分方程组作流函数变换，得

布拉休斯采用“相似性变化”的方法进行求解。第二十四页，共六十七页，2022年，8月28日第四章边界层理论基础

4.3边界层积分动量方程

二、平板层流边界层的近似解

一、边界层积分动量方程的推导

第二十五页，共六十七页，2022年，8月28日卡门(VonKármán)边界层积分动量方程的基本思想：在边界层内，选一微分控制体作微分动量衡算，导出一个边界层积分动量方程；然后用一个只依赖于的单参数速度剖面近似代替真实速度侧形，将其代入边界层积分动量方程中积分求解，从而可以得到若干有意义的物理量如边界层厚度、曳力系数的表达式。一、边界层积分动量方程的推导

第二十六页，共六十七页，2022年，8月28日

在距壁面前缘x处，取一微元控制体

dV=δdx﹡11

将动量守恒原理应用于微元控制体dV，得

x方向：一、边界层积分动量方程的推导

yxdxu0δ20434-4第二十七页，共六十七页，2022年，8月28日1-2截面：流入3-4截面：流出

一、边界层积分动量方程的推导

第二十八页，共六十七页，2022年，8月28日2-3截面：流入

1-4截面：无对流

一、边界层积分动量方程的推导

第二十九页，共六十七页，2022年，8月28日

整个微元控制体内的净动量变化速率为流出与流入之差，即一、边界层积分动量方程的推导

4-5第三十页，共六十七页，2022年，8月28日

作用在控制体x方向上的力（取x坐标方向为正号）①1-4截面（壁面剪应力）②1-2截面（压力）：

一、边界层积分动量方程的推导

yxu0δ0dx1423第三十一页，共六十七页，2022年，8月28日③3-4截面（压力）：④2-3截面（压力）因该截面与理想流体接壤，故无剪应力，仅存在着流体的压力

一、边界层积分动量方程的推导

y0xu0δdx1423第三十二页，共六十七页，2022年，8月28日作用在整个微元控制体上的x方向的合外力为

将式（4-5）和（4-6）代入（4-4）中，得仅沿x方向流动Karman边界层积分动量方程一、边界层积分动量方程的推导

4-6第三十三页，共六十七页，2022年，8月28日

适用条件（1）对于层流边界层和湍流边界层均适用；（2）可用于曲面物体边界层。对于平板壁面的层流边界层，

一、边界层积分动量方程的推导

第三十四页，共六十七页，2022年，8月28日二、平板层流边界层的近似解

平板层流边界层内的速度分布可近似表示为—

待定系数，由以下B.C.

确定：（1）在y=δ(边界层外缘）第三十五页，共六十七页，2022年，8月28日（2）在y=0(壁面处）为何y=0

处满足上述B.C.？（P87）

采用线性多项式

；

二、平板层流边界层的近似解

第三十六页，共六十七页，2022年，8月28日2.采用二次多项式

二、平板层流边界层的近似解

第三十七页，共六十七页，2022年，8月28日3.采用三次多项式

二、平板层流边界层的近似解

第三十八页，共六十七页，2022年，8月28日4.采用四次多项式

二、平板层流边界层的近似解

第三十九页，共六十七页，2022年，8月28日以最常用的三次多项式为例求解平板层流边界层：积分得二、平板层流边界层的近似解

第四十页，共六十七页，2022年，8月28日联立得一阶常微分方程

边界层厚度

二、平板层流边界层的近似解

第四十一页，共六十七页，2022年，8月28日局部摩擦曳力系数

平均曳力系数二、平板层流边界层的近似解

第四十二页，共六十七页，2022年，8月28日

平板层流边界层近似解与精确解的比较

3.460.2891.1555.480.3651.4604.640.3231.2925.830.3431.3725.00.3321.3284.790.3271.310精确解二、平板层流边界层的近似解

第四十三页，共六十七页，2022年，8月28日第四章边界层理论基础4.1边界层的概念4.2普兰德边界层方程

4.3边界层积分动量方程

4.4流体在管道进口段的流动

管道进口段的流动分析

第四十四页，共六十七页，2022年，8月28日管道进口段的流动分析

仅讨论进口段为层流边界层的情况：边界层内为二维流动

uzuur第四十五页，共六十七页，2022年，8月28日

对于不可压缩流体、稳态流动，由于流动沿管轴对称

运动方程可简化为管道进口段的流动分析

第四十六页，共六十七页，2022年，8月28日朗海尔Langhaar给出的近似解为

式中，I0、I1—分别是第一类修正的贝塞尔函数（Besselfunction）；r、ri—分别是距管中心的距离坐标和管半径；

管道进口段的流动分析

第四十七页，共六十七页，2022年，8月28日管道进口段的流动分析

第四十八页，共六十七页，2022年，8月28日流动进口段长度管道进口段的流动分析

第四十九页，共六十七页，2022年，8月28日第五十页，共六十七页，2022年，8月28日第四章边界层理论基础4.1边界层的概念4.2普兰德边界层方程

4.3边界层积分动量方程

4.5边界层分离

4.4管道进口段的流体流动一、边界层分离的概念二、形成边界层分离的过程三、边界层分离的条件第五十一页，共六十七页，2022年，8月28日

●边界层分离指原来紧贴壁面运动的边界层流动在某些条件下,脱离壁面而进入外部流场。

●分离出来的流体在物体后面形成尾涡区,从而产生很大的尾部阻力。

一、边界层分离的概念第五十二页，共六十七页，2022年，8月28日●现以流体绕长圆柱流动为例,考察边界层分离的大致过程，见图：二、形成边界层分离的过程

●当粘性流体以大Re绕过圆柱体流动时，由于流体的粘性作用，沿柱体表面的法线上将建立起速度边界层，并沿流动方向逐渐加厚。

第五十三页，共六十七页，2022年，8月28日A→B点（上游区）：边界层外——势流：流道截面减小，u↑，p↓边界层内——黏性流：u↑，p↓；

△p推动流体向前流动，一部分转化为动能，一部分用于摩擦阻力消耗。顺压区，①作用＞②黏性力作用流体质点沿流动方向，贴壁面向前运动。二、形成边界层分离的过程第五十四页，共六十七页，2022年，8月28日B点以后（下游区）：边界层外——势流：流道截面变大，u↓，p↑边界层内——黏性流：u↓，p↑

，△p阻止流体向前流动，摩擦阻力阻止流体流动。逆压区，①作用+②黏性力作用，二者阻止流体质点向前运动。二、形成边界层分离的过程第五十五页，共六十七页，2022年，8月28日●在逆压梯度和摩擦阻力双重作用下，边界层内流体的流速愈来愈慢，以致于在壁面附近的某一点P处，质点的动能消耗殆尽而停滞下来，形成一个新的停滞点P。在P点处，流体速度为零。●由于P点处的压力较上游压力大，后继的流体质点因P点处的高压不能接近该点，被迫脱离壁面和原来的流向向下游流去，造成边界层脱离壁面----边界层分离，P点为分离点。二、形成边界层分离的过程第五十六页，共六十七页，2022年，8月28日在

●P点下游的壁面区域形成一个流体的空白区。在逆压梯度作用下，必然有倒流的流体来补充。但这些倒流的流体又不能靠近处于高压下的P点，而被迫倒退回来，由此点下游的区域产生流体的旋涡。二、形成边界层分离的过程第五十七页，共六十七页，2022年，8月28日三、边界层分离的条件●外部条件●内部条件上述条件称为：发生边界层分离的必要条件。（外部流体具有逆压梯度）（流体有粘性）第五十八页，共六十七页，2022年，8月28日第五十九页，共六十七页，2022年，8月28日

●边界层分离是产生形体曳力Fdf的主要原因。由于边界层分离时产生大量的旋涡，消耗了流体能量。●流体流经管件、阀门、管路突然扩大与突然缩小以及管路的进、出口等局部地方，由于流向的改变和流道的突然变化的原因，都会出现边界层的分离现象。四、边界层分离的分析第六十页，共六十七页，2022年，8月28日工程上为了减小边界层分离带来的能量的损失，常常将物体做成流线形，如飞机的机翼、轮船的船体等。流线型的物体可以使边界层的分离点大大延后。作业：4-4、4-8、4-14第六十一页，共六十七页，2022年，8月28日

1.某粘性流体以速度u0

稳态流过平板壁面形成边界层，在边界层内流体的剪应力不随y

方向变化。

（1）试从适当的边界条件出发，确定边界层内速度分布的表达式；（2）试从卡门边界层积分动量方程

出发，确定的表达式。习题第六十二页，共六十七页，2022年，8月28日

2.20℃的水以0.1m/s的流速流过一长为