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第七章二元函数微分学7.1二元函数及其偏导数

7.1.1二元函数概念定义7.1.1设有三个变量．如果当变量在它们的变化范围内任意取定一组数值时，按照某一确定的对应法则，变量都有唯一确定的数值与之对应，则称变量为变量的二元函数，记为其中称为自变量，的变化范围称为二元函数的定义域．变量称为因变量．二元函数的定义域就是平面上的许许多多的点构成的一个点的集合，通常称为平面区域，简称区域．围成区域的曲线称为边界．包含边界上的所有点的区域，称为闭区域；不包含边界上的所有点的区域称为开区域；包含边界上部分点的区域称为半开半闭区域。例1

求下列函数的定义域．

（1）（2）（3）解（1）因为真数必须大于零，所以，即如图所示，这是一个无界的开区域．

（2）因为负数没有平方根，所以，即如图所示，这是由平面上以原点为圆心，2为半径的圆周内以及圆周上的点组成的闭区域．

（3）因为分式的分母不能为零，所以，即如图所示，这是一个不包含原点的平面区域．

7.1.2偏导数定义7.1.2

设二元函数在点的某一邻域内有定义．若极限存在，则称此极限值为二元函数在点对自变量的偏导数，记为，或即类似地，可以定义函数在点对自变量的偏导数为由此可见，所谓二元函数的偏导数，实质上就是将其中一个自变量暂时固定为常数，将二元函数看成是另外一个自变量的函数的导数，这就相当于对一个一元函数求导数．

如果函数在区域内的每一点都有对的偏导数时，那么这个偏导数仍然是自变量的二元函数，称为对的偏导函数，简称偏导数，记作

，或．

类似地，函数对的偏导函数，简称偏导数，记作

，

或

．例2

求二元函数在点的两个偏导数和．

解因为

=所以=又所以例3

求二元函数的偏导数和．解把看成常量时，函数就是幂函数，所以

把看成常量时，函数就是指数函数，所以例4

求二元函数的偏导数和．

解因为把看成是常量时，也是常量，所以同理，把看成是常量时，也是常量，所以7.1.3高阶偏导数二元函数的偏导数仍然是自变量的二元函数，如果这两个偏导数也存在导数，那么对这两个偏导数继续求偏导数就得到了二阶偏导数．二元函数的二阶偏导数一共有四个，分别是（1），记作，或．

（1），记作，或．

（3），记作，或．

（4），记作，或．

其中，与称为混合偏导数．当与在其定义域内都是连续函数时，有

==或例5

求二元函数

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