函数的单调性第二课时

函数的单调性第二课时第一页，共二十二页，2022年，8月28日如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1、x2的值，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)

，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量x1、x2的值，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)

，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。1.函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性。这个区间就叫做函数y=f(x)的单调区间。2.在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。3.有没有非单调函数？4.单调区间的书写时，区间的端点的开闭没有严格的规定。第二页，共二十二页，2022年，8月28日例1判断下列函数的单调性：5.第三页，共二十二页，2022年，8月28日6.讨论函数

的单调性。yx函数在

上是增函数。

在

上是减函数。研究：函数

的单调性呢？第四页，共二十二页，2022年，8月28日例2、函数f(x)是定义在R上的偶函数，1.用分段函数写出f(x)的函数解析式；2.作出f(x)的图象，并指出其单调区间。31-1-3-3Oxy第五页，共二十二页，2022年，8月28日例3、函数f(x)在(0,+)上是减函数，求f()与f()的大小.解:又f(x)在(0,+)上是减函数第六页，共二十二页，2022年，8月28日例4（1）二次函数y=f(x)的图象是一条开口向上的且对称轴为直线抛物线,试比较大小:1.2.二次函数问题要注意三点：一是开口方向；二是对称轴；三是顶点坐标.第七页，共二十二页，2022年，8月28日解:二次函数问题要注意三点：一是开口方向；二是对称轴；三是顶点坐标.第八页，共二十二页，2022年，8月28日练习第九页，共二十二页，2022年，8月28日解：如图所示函数有最大值–5。-7-3-5●●挑战极限375xy0例5、已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且有最小值5，则f(x)在区间[-7,-3]上是

函数，且有最

值

。

○奇函数f(x)

，在对称区间上单调性相同，最值相反;○偶函数f(x)

，在对称区间上单调性相反，最值相同。增大-2大-2第十页，共二十二页，2022年，8月28日1.定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1-a)+f(1-a2)<0，求实数a的取值范围；（2）定义在［-2,2］上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1-m)<g(m)成立，求m的取值范围.（1）∵f(1-a)+f(1-a2)<0,∴f(1-a)<-f(1-a2),∵f(x)为奇函数,∴f(1-a)<f(a2-1),又∵f(x)在(-1,1)上为减函数，∴1-a>a2-1-1<1-a<1-1<a2-1<1,解得0<a<1.（2）因为函数g(x)在［-2,2］上是偶函数，则由g(1-m)<g(m)，可得g(|1-m|)<g(|m|),又当x≥0时，g(x)为减函数，得到|1-m|≤2|m|≤2解之得-1≤m<

|1-m|>|m|,.例6奇偶性在求变量范围中的应用第十一页，共二十二页，2022年，8月28日例6奇偶性在求变量范围中的应用设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增，且有f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3)，求a的取值范围.【分析】要求a的取值范围，就要列关于a的不等式（组），因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”是关键.第十二页，共二十二页，2022年，8月28日【解析】由f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞,0)上递增知f(x)在(0,+∞)上递减.∵2a2+a+1=2（a+）2+>0,2a2-2a+3=2（a-）2+>0,且f(2a2+a+1)<f(2a2-2a+3),∴2a2+a+1>2a2-2a+3,即3a-2>0,解之得a>.∴a的取值范围是a>.【评析】该例在求解过程中用到了前面提到的减函数定义的逆命题.第十三页，共二十二页，2022年，8月28日例7.函数y=f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1(1)求证：f(8)=3(2)解不等式f(x)-f(x-2)>3

第十四页，共二十二页，2022年，8月28日练习、函数f(x)在(0,+)上是增函数，满足.解:第十五页，共二十二页，2022年，8月28日分析：函数是由单调递减区间是第十六页，共二十二页，2022年，8月28日7.已知f(x)、g(x)都是R上的奇函数，且x≠0时，f(x)≠0、g(x)≠0,当

x≥0时，f(x)>0的解集是(1，3)，

g(x)>0的解集是(，)，那么

f(x)·g(x)>0的解集是_________1232第十七页，共二十二页，2022年，8月28日1.函数单调性的定义：1.图象法2.定义法3.复合函数判定法复习:2.函数单调性的判定：3.函数单调性的应用：返回一般步骤：1.设任意x1、x2在给定区间内,且x1<x22.作差变形3.判断符号4.下结论第十八页，共二十二页，2022年，8月28日1.函数单调性的定义：1.图象法2.定义法3.复合函数判定法复习:2.函数单调性的判定：3.函数单调性的应用：返回一般步骤：1.设任意x1、x2在给定区间内,且x1<x22.作差变形3.判断符号4.下结论第十九页，共二十二页，2022年，8月28日返回目录若函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在［1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.（1）当a=0时,f(x)=x在［1,+∞)上是增函数.（2）当a>0时，要使f(x)在［1,+∞)上是增函数，

a>0≤1

（3）当a<0时，由二次函数图象可知f(x)不能在［1,+∞)上是增函数.综上所述，a的取值范围为［0,1］.名师伴你行SANPINBOOK第二十页，共二十二页，2022年，8月28日3.函数单调性的判断方法有哪些？（1）定义法.前面已作过叙述.（2）直接法.运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可直接说出.了解以下一些结论，对于判断函数单调性有一定好处：①函数y=-f(x)与y=f(x)的单调性相反.②当f(x)>0时，函数y=1f(x)与y=f(x)的单调性相反.对于f(x)<0也成立.③在公共