高等数学极限习题500道汇总

.word...word..当x—*x日寸，设a=o(a),01

P=o(p)且lim字存在,1XT”。卩求证:limxTx0卩+卩］=limxTx0若当xT0时,a(x)=(1+ax2)13-1与8(x)=cosx-1是等价无穷小，则a=答（）当xT0时，下述无穷小中最高阶的是Ax2B1一cosxn+*)ln(1n+*)ln(1+~n)•求limn[ln(2n+1)-ln(2n-1)之值nTg求极限lim(-1)nnsin(兀弋n2+2).求极限lim(nT+8nTslimex2一1一x2的值xT0x3sinxT0x3sinx设有数列a=a,1a=b(b丰a),a2n+2a+a—n+1n2求证：lim求证：limynnT8=lim(a一a)及lima.n+1nnnT8nT8=b.(b>a>0)xn+22=b.(b>a>0)xn+22xx-n——n+1——,x+xnn+1记:ynxn+1，求limy及limx.xnnnTgnTgn求极限lim(1+2x)sinx-cosx之值.xT0x2设limu(x)=A，A>0；且limv(x)=BxTx0xTx0试证明:limu(x)v(x)=AB(xTx0limbn(l+x)](x-1)2=xT1A.gB.1C.0D.ln2答lim(1+2x)x=xT0A.1B.e2C.eD.2答（）设u(x)=1+xsin—.f(u)=u2x的结果.u（x）一1求：mf(u)i1及limu(x)之值，并讨论limf"x)"1ut1u的结果.u（x）一1limx2一9的值等于xt3x2x6limxT8ex+4e-x3ex+2e-xA.丄B.2C.l3D.不存在limlimxT8答：（(2—x)3(3+x)5(6-x)8A.1B.1C.125X33D.不存在答：（）limxTg(1+2limxTg(1+2x)io(l+3x)20(1+6x2)15limx的值等于xT0exex求极限limxT1x3—3x+23—x2—x+1求limxT0之值.31+6x—4求limxT0之值.x(x+5)已知：limu(x)=g,limu(x)v(x)=A丰0xTx0xTx0问limv(x)=?为什么？xTx0A5xT0丄3+ex5DB0C34关于极限lim一5—结论是:丄不存在答（设limf(x)=A,limg(x)=g,则极限式成立的是x-x00x-x00f(x)limx-x0g(x)0limf^x-x0f(x)0limf(x)g(x)=gx-x0limf(x)g(x)=g答（）x-x答（）f（x）=excosx,问当xT+g时，f（x）是不是无穷大量.limtanx-arctan丄=xT0A.0B.不存在.D.-答（）arctan(x2)limxTgA.0B.gC.1D.兀2x+1limxTgvx2+3B.-2A.2C.土2D.不存在答（则f(-0)=limarccot—=xxT0A.0B.兀C.不存在.D号答（ln1-ln1-x则其中a=a-cosxlimxT0A.0B.1C.2兀D.—3答（）lime2:-e-x-3xxT01-cosx的值等于2(1—cos2x)TOC\o"1-5"\h\zlim=xtOx2B.-2C.不存在.D.0答：(设f(x)=PX2*笃+5，其中p、q为常数.x-5问：⑴pq各取何值时,limf(x)=1；XUp、q各取何值时，limf(x)=0；XUp、q各取何值时，limf(x)=1.xt5求极限lim(x2"+2)2-(x2"-2)2.求极限lim(3x2+2)3.x*(xn+1)2+(xn—1)2x*(2x3+3)2已知lim24+3丄+B(x-1)+c(x-1)2］二oxT1(x一1)2试确定A、B、C之值.已知f(x)二ax3+bx2+cx+d，满足(1)Hmf(x)二l,(2)limf(x)二0.x2+x-2xfgxt1试确定常数a，b，c，d之值.已知lim(a+b)x+b二4，试确定a,b之值.xf1乜3x+1-乜x+3"若lima("若lima(x)=0,xfx0则limxfx01a(x)二g"上述说法是否正确？为什么？TOC\o"1-5"\h\z当xTx时，f(x)是无穷大，且limg(x)=A，0xfx0证明：当xTx°时，f(x)+g(x)也为无穷大.用无穷大定义证明：lim彳"]1=+g.用无穷大定义证明：limlnx=-g.xT1xxt0+用无穷大定义证明：limtanx=+g用无穷大定义证明：lim.1=+g.xt~2-0xt1+0vx—1"当xTx时，f(x)-A是无穷小"是0"limf(x)=A"的:xTx0充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分条件，亦非必要条件答(若limf(x)=0,limg(x)=0,但g(x)丰0.xTx0xTx0证明：lim加=b的充分必要条件是xTx0g(x)limf(x)一bg(x)=0.xTx0g(x)用数列极限的定义证明：liman=0,(其中0<a<1).用数列极限的定义证明：lima十=1(0<a<1).nTg用数列极限的定义证明：imn(n+2)=-1nT82n2+52求极限limh恥x-"之值.xT0x3lim1-C0S(Sinx)的值等于xT02ln(1+x2).word...word...word..设limf(x)=A,试证明:xTX0对任意给定的s>0,必存在正数使得对适含不等式0<|x-x|<§；0<|x一x|<8的一切X］、兀2,都有If(兀2)-f(兀］)|<8成立。已知：limf(x)=A>0,试用极限定义证明：lim「f(x)=A.xTx0xTx0的表达式x2n+1—x的表达式若数列(x｝与｛y同发散，试问数列(x+y｝是否也必发散？、求(x)=limx2n+1nnnnx2n一isintx+cos(a+bx)设f(x)=lim2nT8x2n+1(其中a、b为常数，0<a<2兀),⑴求f(x)的表达式；limf(x)=f(-1).xT-1⑵确定limf(x)=f(-1).xT-1xt1.word...word...word...word...word..arctan1(x)xarctan1(x)x13x2x应用等阶无穷小性质，求极限limarCta1（Xx0求极限lim（14X）2(16x)3x0求极限lim（x0ax)nx（n为自然数）.a0.求极限lim（5力）3』x3x3设当xtx时，a(x)与卩(x)是等价无穷小,0且lim加=a丰1,lim竺已卫=A,xtx0a(x)xtx0g(x)g(x)证明：limf(x)~P(x)g(x)xtx0设当xtx时，a(x),卩(x)是无穷小0且a(x)-卩(x)丰0证明：ea(x)-eP(x)~a(x)-P(x).若当xtx时，a(x)与a(x)是等价无穷小，01P(x)是比a(x)高阶的无穷小.则当xtx时，a(x)-P(x)与a(x)-P(x)是01否也是等价无穷小？为什么？设当xtx°时，a(x)、P(x)是无穷小，且a(x)-P(x)丰0.证明：lnl1+a(x)]-lnl1+P(x)]与a(x)-P(x)是等价无穷小.设当xTx°时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小.证明：当xTxo时，f(x)+g(x)与g(x)是等价无穷小.若xTx时，a(x)与a(x)是等价无穷小，01a(x)与P(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小。试判定：a(x)-P(x)与a】(x)-P(x)也是等价无穷小吗？为什么？.word...word...word..sinxlim=xfgX(A)l(B)g(C)0(D)不存在但不是无穷大答()limxsin丄之值xfg(A)=1(B)=0(D)不存在但不是无穷大答(已知limAtanX+B(1—C0SX)=1(其中A、B、C、D是非0常数)xtoCln(1-2x)+D(1-e-x2)则它们之间的关系为TOC\o"1-5"\h\z(A)B=2D(B)B=-2D(C)A=2C(C)A=-2C答()x设|x|<1计算极限lim(1+x)(1+x2)(1+x4)…(1+x2n)设limxn=0及lim^二a存在，试证明：a<1.nsnsxnTan求lim(sin22+cos1)x2计算极限limx3-(a2+»x+a(a丰0)计算极限limx3—3x2+3x-2xT8xxxTax2—a2x—2x2—x—2计算极限limex-ex计算极限limex-excosxxtox-ln(1+x2)计算极限limlim(co^xxt0l-nT8-cos…cos)2222n设有数列b1满足设有数列b1满足a>0及limnnnsa—n+1

an(0<r<1),试证明lima=0.nns设有数列匕1满足a>0且lim©a=r,(0<r<1),试按极限定义证明:nnnnT8lima=0.nns设limf(x)=A(A设limf(x)=A(A>0),xtx0xtxo试问：■x2试问：■x2sin±i1x是不是无穷小？设limf(x)=Alimg(x)=B,且A>B,试证明：必存在x的某去心邻域，使得0X—xy—x在该邻域为f(x)>g(x).0设f(x)=xsin1，试研究极限lim—计算极限limln(1+*x-2)xxt0f(x)xt2arcsin(v3x2-4x-4)设数列的通项为x=曲+1-(-1)汕2nn则当ntg时，x是n无穷大量无穷小量有界变量，但不是无穷小无界变量，但不是无穷大答()以下极限式正确的是(A)lim(l+—)x=exT+0x(C)lim(l-丄)x=e-ixT8X(B)lim(1--)x=e-ixT+0x(D)lim(1+丄)-x=0xSx答()设x=10,x=*6+x(n=1,2,1n+1n),求limx．nnT8eax—1当”/o设f(x)彳—x—'当x，且limf(x)=Ab,当x=0x®则a,b,A之间的关系为a,b可取任意实数，A=1a,b可取任意实数，A=ba,b可取任意实数，A=aa可取任意实数且A=b=a答：()ln(1+ax)设f(x)d=<xb，且limf(x)=A,xt0则a,b,A之间的关系为(A)a,b可取任意实数，A=a(B)a,b可取任意实数,A=b(C)a可取任意实数且a=b=A(D)a,b可取任意实数，而A仅取A=Ina答：()1-cosax,^Bx丰0，且limf(x)=A当x=0x®则a,b,A间正确的关系是(A)a,b可取任意实数A=a2设f(x)=<x2b,(B)a,b可取任意实数A=耳(C)a可取任意实数b=A=号(D)a可取任意实数b=A=耳答()设有lim甲(x)=a,limf(q)=A,且在x的某去心邻域0XT%「12a「1内复合函数fL(p(x)_l有意义。试判定limfL(p(x)」=A是否xTx0成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立,请举出例子,并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。aa,x2+2x+b适合limf(x)=AxT1则以下结果正确的是仅当a=4，b=—3,A=4仅当a=4，A=4，b可取任意实数b=—3，A=4，a可取任意实数a，b，A都可能取任意实数答(设/(x)=<J1+bx—1x当x丰0a当x=0(A)b=3，a=3(B)b=6，a=3(C)b=3，a可取任意实数(D)b=6，a可取任意实数且limf(x)=3,则xT0答()设匕(x)=(1+ax2)程—1，p(x)=e—ecosx，且当xT0时珈x)〜p(x)，试求a值。求limxT8ex—2e—x3ex+4e—x设lim(x设lim(xT8x+2a)x=&贝临=x—alim(1+3x)sinx=xT0当xT0时，在下列无穷小中与x2不等价的是(A)1—cosi2x(B)ln\.'l+x2(C)冒1+x2—v1—x2(D)e，当x丰1—1当x，当x丰1—1当x=1答(当xT0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x+v1+x2)(B)11—x2—1(C)tanx—sinx(D)ex+e—x—2答()I计算极限豐占豊曽-si-4=计算极限limXn+Xn-1+…+X2+X一n计算极限limX1)("X卩…(饨X1)xt1X—1XT1(X-1)n-1计算极限lim(cos再):.讨论极限limarctan-1—-的存在性。T+0XT1X—1研究极限limarccot丄XT0X的存在性。研究极限lim'X2+2X+3X*X—1当XT+0时，下列变量中，为无穷大的是(A)“叮(B)lnx(C)arctan丄(D)arccot—Jxxx答(lim—-1二。XT1ln|X―1设a>0,且lima=0,试判定下述结论"存在一正整数N，使当n>N时，恒有nnnTga<a"是否成立？n+1n若lim|a|=|A|试讨论lima是否存在？nnnTgnTg设有数列(a｝满足lim(a-a)=0,试判定能否由此得出极限lima存在的nn+1nnnTgnTg结论。设有数列"!a扌满足a>0；nn<r,0<r<1,试证明lima=0nnan*nn设limf(x)存在,limg(x)存在，则limf(x)是否必存在?XTX。gl丿XTX。XTX。若limf(x)=0,lim丿畀=A丰0,则是否必有limg(x)=0.XTX。XTX。gXXTX。当xT+0时，下列变量中为无穷小量的是(A)；丄sin丄X2X2(B)ln(x—1)(0亠lnX(D)(1+x)t—1答()设xTx时，f(x)Ts,g(x)TA(A是常数)，试证明limg(X)=0.0xTx0f(x)0右limg(x)=0,且在x的某去心邻域内g(x)丰0,lim0ff则limf(x)必等于0,为什么？x-xo若limf(x)=A,limg(x)不存在，则limf(x)-g(x)x-x0x-x0x-x0是否必不存在？若肯定不存在,请予证明,若不能肯定,请举例说明,并指出为何加强假设条件,使可肯定f(x)-g(x)的极限(xTx时)必不存在。012n-1lim\：en・en•…en・e=ns(A)1(3)握(C)e(D0答()lim&l+2+—Fn-J1+2+—F(n-1))=nT8limxcos—XT+Ox2(A)等于O;(B)等于f2;(C)为无穷大；(D)不存在，但不是无穷大.答(设f(x)=丄sin^，试判断：xxf(x)在(0,1),内是否有界；当xT+0时，f(x)是否成为无穷大.设f(x)=xcosx，试判断：⑴f(x)在［0,+d上是否有界(2)当xT+2时，f(x)是否成为无穷大设^(x)=-1_—,P(x)=3一33x，贝V当xT1时()1+x(A)a(x)与P(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)a(x)与P(x)是等价无穷小;a(x)是比P(x)高阶的无穷小;P(x)是比a(x)高阶的无穷小.答()

设limx3-ax2-x+4=a,则必有XT1X-1(A)a=2,A=5;(B)a=4,A=—10;(C)a=4,A=—6;(D)a=—4,A=10.答(当兀T1时，f(x)=壬半/的极限(A)等于2;(C)为s;(B)等于0；(D)不存在但不是无穷大.答()设当xT0,a(x)=(1+ax2)32一1和卩(x)=1—cosx满足a(x)~P(x).试确定a的值。求。，方使lim(—一ax+b)=1设lim(\：3x2+4x+7一ax一b)=0,试确定a,b之值。TOC\o"1-5"\h\zxT8x+1xT+8设x=1,x=-2x+3(n=1,2,…)，求limx1n+1nnnT8),求limx.nnT+8设x=4,x=J2x+3),求limx.nnT+8计算极限lim(Jx+■<xxT+8■v：x-\：计算极限lim(Jx+■<xxT+8■v：x-\：x)计算极限limxt01+xsinx—cos2xxtanx计算极限lim”4+tanx-4+独xT0etanx—esinx研究极限lim2一2cosax(a>0)的存在性。xT0x设xe(0,2),x=2x-x2.(n=1,2,)，试证数列*ix攵敛，并求极限limx.1n+1nnnnnTg设x<0,x=2x—x2(n=1,2,)，试研究极限limx.nTg1n+1nnnTgb是两个函数，令a=：ab,b1n+1nnn+b是两个函数，令a=：ab,b1n+1nnn+1"n+"n,(n-1,2,…)试证明:limanT8存在,limb存在,且lima-limbnnnmbnT8nT8计算极限limecosx—ext0x2(\1,\计算极限lim彳x+Jx+Jx—^'x+Jx「丿■v'x计算极限lim(1-2+1xx2)x若limxy-0,且x丰0,y丰0,则能否得出"limxnnnnns式成立"的结论。-0及limy=0至少有一nsns），试研究极限limx.nns设x>2,x二2x—x），试研究极限limx.nns1n+1nn设数列（x）都是无界数列，z-xy,nnnnn试判定捷i是否也必是无界数列。n3sinln(1+—)3sinln(1+—)—sinln(1+x计算极限limxxs极限lim(cosx)x2-D.e—D.e—2.答(TOC\o"1-5"\h\zA.0；B.C.1；极限lim—一e的值为()xt0x(1+x2)A.0；B.1；C.2；D.3.答(极限lim1—C0S3x的值为xt0xsin3x吩.吩.答（TOC\o"1-5"\h\zA.BJL；C彳；63兀cos—xB.lim2=兀xt—1x+12arctanxarctanxlim-0.xT8xtan3x3A.lim-—xt0sin2x2C.limx2_1-2；D.xt1sin(x—1)答（）x2极限］・ln(1+x+x2)+ln(1—x+x2x2xtOA.0；B.1；C.2；D.3.答（）极限lim(cosx)x=xt0丄1A.0；B.e2；C.1；D.e2.答(当xt0时，与x为等价无穷小量的是A.s・n2x；B.ln(1—x)；C.TTx—J1—x；D.x(x+sinx).答(当xt1时，无穷小量是无穷小量jT—啲1+2x等价无穷小量；B.同阶但非等价无穷小量；C•高阶无穷小量；D•低阶无穷小量.答（）当xt0时，无穷小量2sinx—sin2x与mxn等价，其中m,n为常数，则数组（m,n）中m，n的值为A.（2，3）；B.（3，2）；C.（1，3）；D.（3，1）.答（）已知lim（1+kx）1x，贝咲的值为xtOA.1；B.—1；C.—；D.2.2答（）1工极限lim（1—一）2的值为xT82x_1A.e；B・e-1；C・e4；D・e—4答（）

下列等式成立的是lim(1+)2x=e2；B.lim(1+-)2x=e2；xtgxxtgxlim(1+1—)x+2=e2；D・lim(1+—)x+1=e2.xtgxxtgx答（）A．C．极限lim(l—2x):=xtOlA.e；B.一；C.e-2；D.e2.e答(x-l极限lim()x+4的值为()xT8X+1A.e-2；B.e2；C.e-4；D.e4.答((2x—1、2x-1极限I的值是x2x+1丿—1A.1；B.e；C.e2；D.e-2.答(下列极限中存在的是A.x2+1limB.xT8lim；C.xto1+e1xlimxsin1；xfgD.limxt02x-1答（）极限limtanx-Sinx的值为xt0x3A.0；B.1C.1D.g.b2答(极限lim=xt兀x—兀C.-1；D.g.C.-1；D.g.答（）已知lim-_C0SX=—，贝Ua的值为xtoxsmx2A.0；B.1；C.2；D.-1.答()已知limSinkx=-3,贝咲的值为xtox(x+2)3A・—3；B・——；C・6；D・—6.2答(设lim(—ax设lim(—ax—b)=0，则常数a.b的值所组成的数组（a,b）为A.(1,0)；B.(0,1)；C.(1,1)；D.(1,—1).答（）若limf(x)=0,xT8设f(若limf(x)=0,xT8x—1a,b的值，用数组（a,b）可表示为A.(4,—4)；B.(—4,4)；C.(4,4)；D.(—4,—4)答(极限limx2—6x+8的值为xt2x2—8x+12A.0；B.1；C.12；D.2.答(下列极限计算正确的是A.limnTgxA.limnTgx2n1+x2nB.十x+sinxlimx—sinxC.x—C.x—sinxlim=0；xt0x3D・lim(1+)n=e2.ntg2n答(极限lim(极限lim(xtg）的值为x—1A.0；B.1；C.—1；D.g.答（答（数列极限lim("n2+n-n)的值为ns0；B.—；C.1；D.不存在.2答（）已知lim—一^X+C=-1,则C的值为xX—1A.-1；B.1；C.2；D.3答(已知limx已知limx2+ax+6xt11—x7；B.—7C.2；5,贝临的值为D.—2.答()ex—ex—2,设函数f(x)=h，x-cosx，x>0x=0,贝Ulimf(x)=x—0x<0A.—1；B.A.—1；B.1；C.0；D.不存在.答（）设f(x)=<1-cosx,xx+1

厂'x,x>0,则x<0、1+elimf(x)=0xt0limf(x)丰limf(x)；x—0+x—0_limf(x)存在，limf(x)不存在;x—0+xtO-limf(x)不存在，limf(x)存在.xtO+xtO—答（）tankx,xx+3,x<0A.l；B.2；C.3；设f(x)=<且limf（x）存在，则k的值为xt0D.4.AA.lim(x+1)=4；xt3-C.lim(+)十=0；xt02答（列极限中,不正确的是lime十=0；xt0-D.limSin(x—1)=0.xt1x答（）

若limfx^二二c丰0(k>0).xtOXkxt0xk+1则当XT0,无穷小f(x)与g(x)的关系是f(X)为g(x)的高阶无穷小；g(x)为f(x)的高阶无穷小；f(x)为g(x)的同阶无穷小；D.f(x)与g(x)比较无肯定结论.答()当xT0时,2sinx(1-cosx)与x2比较是()A.冈阶但不等价无穷小；B.等价无穷小；C.咼阶无穷小；D.低阶无穷小.答当xT0时，sinx(1-cosx)是x3的A.冈阶无穷小，但不是等价无穷小；B.等价无穷小；C.高阶无穷小；D.低阶无穷小.答(设有两命题：命题"a",若数列｛xI单调且有下界，则｛x｝必收敛；命题"b",若数列(x、y｝｛z1满足条件：y<x<z，且｛y｝,1都有收敛，则nnnnnnnn数列lx!必收敛n则A."a"、"b"都正确；B."a"正确,"b"不正确;C."a"不正确,"b"正确；D."a","b"都不正确.答()设有两命题：命题甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，则limf(x)+g(x)必不存在;xTx0xxTx