期中复习练习（四）-【新教材】2022学年苏教版（2022）高中数学必修第二册

2022高一数学期中复习练习（四）考查知识：苏教版必修第二册第九章至第十二章一．选择题（共8小题）1．若，则A． B．18 C． D．202．，，则最大值为A．8 B．9 C． D．3．已知，则A． B． C． D．4．已知，，分别为的内角，，的对边，，且，则A． B． C． D．5．设复数满足为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知点，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为A． B．， C． D．，7．已知，求的值（用表示），王老师得到的结果是，张老师得到的结果是，对此你的判断是A．王老师对，张老师错 B．两人都对 C．张老师对，王老师错 D．两人都错8．如图，已知，分别是半径为2的圆上的两点，且，为劣弧上一个异于，的一点，过点分别作，，垂足分别为，，则的长为A． B． C．2 D．二．多选题（共4小题）9．设复数，则以下结论正确的是A． B． C． D．10．已知为所在平面内一点，则下列正确的是A．若，则点在的中位线上 B．若，则为的重心 C．若，则为锐角三角形 D．若，则与的面积比为11．下列四个选项中，化简正确的是A． B． C． D．12．设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是A．若，则是等边三角形 B．若，则是等边三角形 C．若，则是等边三角形 D．若，则△是等边三角形三．填空题（共4小题）13．若方程的两个根为和，则．14．已知点是的外心，，设，且实数，满足，则的值是．15．某参考辅导书上有这样的一个题：中，与是方程的两个根，则的值为．你对这个题目的评价是（用简短语句回答）．16．在锐角中，内角，所对的边分别为，，若，，则；边长的取值范围是．四．解答题（共6小题）17．已知复数．（1）当时，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．已知，单位向量与向量方向相同且向量在向量方向上的投影向量为．（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？19．设．（1）若，求的值；（2）设，若方程有两个解，求的取值范围．20．设中角，，的对边分别为，，，．（1）若，，求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．21．已知．（1）求的值；（2）若，，求的值．22．在，它的内角，，的对边分别为，，，______，，且外接圆的半径为1．在①，②，③角的平分线交于点．且．请在这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，求角和的面积．

2022高一数学期中复习练习（四）考查知识：苏教版必修第二册第九章至第十二章参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．若，则A． B．18 C． D．20【分析】先求出，然后利用模的定义求解即可．【解答】解：因为，所以，故．故选：．【点评】本题考查了复数模的求解，解题的关键是掌握复数模的定义，属于基础题．2．，，则最大值为A．8 B．9 C． D．【分析】根据题意，根据题意，设，，由向量减法的几何意义可得，的轨迹为以为圆心，半径的圆，结合点与圆的位置关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，设，，若，则的坐标为，，即，的轨迹为以为圆心，半径的圆，，则，即的最大值为，故选：．【点评】本题考查向量模的计算，涉及向量模的几何意义，属于基础题．3．已知，则A． B． C． D．【分析】由已知利用三角函数恒等变换的应用即可化简求解．【解答】解：因为，所以．故选：．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．已知，，分别为的内角，，的对边，，且，则A． B． C． D．【分析】由已知结合余弦定理可求，然后结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解．【解答】解：因为，且，由余弦定理得，因为为三角形内角，所以，则．故选：．【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．5．设复数满足为虚数单位），则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：因为，所以，对应的点在第一象限．故选：．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6．已知点，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为A． B．， C． D．，【分析】根据题意画出图形，结合图形得出，利用平面向量的坐标运算得出、的值．【解答】解：点，，点在线段的延长线上，且，如图所示；设点的坐标为，则，；且，即，解得，，所以点为．故选：．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．7．已知，求的值（用表示），王老师得到的结果是，张老师得到的结果是，对此你的判断是A．王老师对，张老师错 B．两人都对 C．张老师对，王老师错 D．两人都错【分析】根据角的关系，利用两角和差的正切公式进行转化求解即可．【解答】解：，即王老师对，张老师错误，故选：．【点评】本题主要考查三角函数值的求解，利用两角和差的正切公式是解决本题的关键．8．如图，已知，分别是半径为2的圆上的两点，且，为劣弧上一个异于，的一点，过点分别作，，垂足分别为，，则的长为A． B． C．2 D．【分析】利用平面几何知识，得到，，，四点在以为直径的圆上，求出的长，然后利用正弦定理求解即可．【解答】解：因为，，所以，，，四点在以为直径的圆上，由题意可知，，所以外接圆的直径为2，由正弦定理可得，，解得．故选：．【点评】本题考查了三角形外接圆问题，解题的关键是掌握正弦定理及其应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）9．设复数，则以下结论正确的是A． B． C． D．【分析】化简，，结合复数的模，共轭复数的定义对各个选项判断即可．【解答】解：，，故正确，错误；，，故正确，错误；故选：．【点评】本题考查了复数的运算，复数的模以及共轭复数问题，是基础题．10．已知为所在平面内一点，则下列正确的是A．若，则点在的中位线上 B．若，则为的重心 C．若，则为锐角三角形 D．若，则与的面积比为【分析】由已知结合向量的线性表示及向量共线定理，三角形的重心性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：设中点，中点，若，则，所以，即，所以为的三分点，正确；若，则，所以在中线上且，即为三角形重心，正确；若，则为锐角，但不能确定，，故不一定为锐角三角形，错误；若，则，即，所以为上靠近的三等分点，所以，故与的面积比为，正确．故选：．【点评】本题综合考查了向量的线性运算，向量共线定理及三角形重心的性质，属于中档题．11．下列四个选项中，化简正确的是A． B． C． D．【分析】利用特殊角的三角函数以及两角和差公式、二倍角公式对四个选项逐一求解，即可判断．【解答】解：对于，，故选项错误；对于，，故选项错误；对于，，所以，故选项正确；对于，，故选项正确．故选：．【点评】本题考查了三角函数的化简求值问题，主要考查了两角和差公式、二倍角公式的理解和应用，考查了化简运算能力，属于中档题．12．设的三个内角，，所对的边分别为，，．下列有关等边三角形的四个命题中正确的是A．若，则是等边三角形 B．若，则是等边三角形 C．若，则是等边三角形 D．若，则△是等边三角形【分析】若，由正弦定理可知：任意都满足条件，即可判断出正误；由正弦定理可得：，可得，即可判断出结论．由正弦定理可得：，，即可得出结论．若，可得，通过分类讨论，，，时，利用导数研究函数的单调性即可得出结论．【解答】解：，若，由正弦定理可知：任意都满足条件，因此不一定是等边三角形，不正确；，若，由正弦定理可得：，，，，，，是等边三角形，正确．，若，由正弦定理可得：，，，，，，是等边三角形，正确．，若，，时，是等边三角形；，，时，研究函数的单调性，，时，，函数在上单调递减，因此不成立．综上可得：是等边三角形，正确．其中，正确叙述的序号是②③④．故选：．【点评】本题考查了正弦定理、三角形内角和定理、同角三角函数基本关系式、利用导数研究函数的单调性、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．若方程的两个根为和，则．【分析】利用方程的两个根互为共轭复数，然后由韦达定理以及复数模的定义求解即可．【解答】解：方程的两个根为和，设，则，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查了共轭复数的定义以及韦达定理的运用，同时考查了复数模的求解，属于基础题．14．已知点是的外心，，设，且实数，满足，则的值是0．【分析】由，结合向量关系，推出推出，利用基本不等式求解．，即可得到结果．【解答】解：由，得又，即有解得，由取等号条件知，从而．．故答案为：0．【点评】本题考查向量的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15．某参考辅导书上有这样的一个题：中，与是方程的两个根，则的值为．你对这个题目的评价是错题，为钝角，，中也有一个为钝角，构不成三角形．（用简短语句回答）．【分析】由韦达定理知，，再结合三角形内角和定理、两角和的正切公式、诱导公式，可推出，从而知为钝角，，中也有一个为钝角．【解答】解：错题，为钝角，，中也有一个为钝角，构不成三角形．由韦达定理知，，，为钝角，，，中也有一个为钝角，无法构成三角形，是一道错题．故答案为：错题，为钝角，，中也有一个为钝角，构不成三角形．【点评】本题考查两角和的正切公式，诱导公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．16．在锐角中，内角，所对的边分别为，，若，，则4；边长的取值范围是．【分析】结合二倍角公式和正弦定理，可推出，从而得的值；由锐角，确定角的取值范围，再根据余弦函数的图象与性质，得解．【解答】解：，，由正弦定理知，，，即．，，锐角，，解得，，，，，．故答案为：4；，．【点评】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，还有二倍角公式，涉及角化边的思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．四．解答题（共6小题）17．已知复数．（1）当时，求的取值范围；（2）是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用复数模的定义求出关于的表达式，然后利用二次函数的性质求解取值范围即可；（2）由题意分析可得，是纯虚数，利用纯虚数的定义列出关于的关系，求解即可．【解答】解：（1）因为，所以，所以的取值范围为；（2）因为，所以是纯虚数，所以，方程组无解，故不存在实数，使得．【点评】本题考查了复数的综合应用，主要考查了复数的模的应用，纯虚数的定义以及二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18．已知，单位向量与向量方向相同且向量在向量方向上的投影向量为．（1）求与的夹角；（2）求；（3）当为何值时，向量与向量互相垂直？【分析】（1）利用向量的投影，转化求解数量积，推出夹角的大小．（2）利用向量的模的运算法则化简求解即可．（3）利用向量的数量积为0，求解即可．【解答】解：（1），，．（1分）又向量在向量方向上的投影向量为，，．（3分）又，，，（4分），，．（5分）（2）（9分）（3）与互相垂直，，．（12分）【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的模以及向量的夹角的求法，是中档题．19．设．（1）若，求的值；（2）设，若方程有两个解，求的取值范围．【分析】（1）先由二倍角公式求得和的值，再结合两角和的余弦公式化简函数后，代入数据，进行运算即可；（2）由（1）知，，根据和的范围，可推出，，，再由特殊角的三角函数值，列得关于的不等式组，解之即可．【解答】解：（1），，且，，，，，．（2），，，且，，，，在，内的解为和，，解得，故的取值范围为，．【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．20．设中角，，的对边分别为，，，．（1）若，，求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．【分析】（1）由已知结合余弦定理即可直接求解；（2）由已知可求的范围，然后求出的范围，再由诱导公式及二倍角公式进行化简，结合二次函数的性质可求．【解答】解：（1）由余弦定理得，解得，（2）因为为锐角三角形，所以，解得，同理，所以，，．【点评】本题主要考查了余弦定理，诱导公式，还考查了二次函数的性质，属于中档题．21．已知．（1）求的值；（2）若，，求的值．【分析】（1）先结合二倍角公式和同角三角函数的平方关系求得的值，从而知的值，再由同角三角函数的关系，得解．（2）根据（1）中结论与两角和的余弦公式，即可得解．【解答】解：（1），，，，，，又，，．（2），，．【点评】本题考查三角恒等变换与三角函数的综合，熟练掌握两角和的余弦公式、二倍角公式与同角三角函数的关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22．在，它的内角，，的对边分别为，，，______，，且外接圆的半径为1．在①，②，③角的平分线交于点．且．请在这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，求