江苏省南京市年高二数学暑假综合练习二

PAGEPAGE1高二暑假综合练习（二）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为___________．2．已知eq\F(2＋3i,i)＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝___________．3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为___________．4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为___________．5．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为___________．开始k←1S←0S＜20k←k＋2S←S＋kYN输出k结束(第开始k←1S←0S＜20k←k＋2S←S＋kYN输出k结束(第8题)7．已知等比数列{an}的公比q＝－EQ\F(1,2)，Sn为其前n项和，则eq\f(S4,a4)＝___________．8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝___________．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，A＝60°，c＝eq\F(eq\R(,3),3)，则△ABC的面积为___________．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C的半径为___________．11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(ex－k，x≤0，,(1－k)x＋k，x＞0))是R上的增函数，则实数k的取值范围是_________．12．已知α，β为平面，m，n为直线，下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥α，m∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．其中是真命题的有___________．(填写所有正确命题的序号)13．已知直线x＝a(0＜a＜eq\F(π,2))与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝eq\F(1,5)，则线段MN的中点纵坐标为___________．14．已知函数f(x)＝2x2＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为___________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知平面向量a＝(1，2sinθ)，b＝(5cosθ，3)．（1）若a∥b，求sin2θ的值；（2）若a⊥b，求tan(θ＋eq\f(π,4))的值．16．如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；ABCDA1B1C1(ABCDA1B1C1(第16题)17．经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E＝kv3t，其中v为鲑鱼在静水中的速度，t为行进的时间(单位：h)，k为大于零的常数．如果水流的速度为3km/h，鲑鱼在河中逆流行进100km（1）将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数；（2）v为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为eq\f(1,2)，右准线为l：x＝4．M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P．（1）求椭圆C的方程；（2）若＝，判断点是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；ABPMNxyO(第18题)（3）连结ABPMNxyO(第18题)19．设t＞0，已知函数f(x)＝x2(x－t)的图象与x轴交于A、B两点．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）设函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0∈(0，1]时，k≥－eq\F(1,2)恒成立，求t的最大值；（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值．20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲ABDCPO·(第21A题)如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆OABDCPO·(第21A题)求证：∠DAP＝∠BAP．B．选修4—2：矩阵与变换设a＞0，b＞0，若矩阵A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(a0,0b))把圆C：x2＋y2＝1变换为椭圆E：eq\F(x2,4)＋eq\F(y2,3)＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A－1．C．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsin(θ－EQ\F(π,6))＝a截得的弦长为2EQ\r(,3)，求实数a的值．D．选修4—5：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；PABCDE(第22题)PABCDE(第22题)23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．（1）求概率P(X≥7)；（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)．

高二暑假综合练习（二）参考答案一、填空题．1．42．－63．44．eq\F(1,3)5．16．eq\F(7,2)7．－58．119．eq\F(eq\R(,3),6)10．eq\R(,2)11．[eq\F(1,2)，1)12．②③④13．eq\F(7,10)14．(－∞，－eq\F(1,2)－ln2)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）解：（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0，…3分即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝eq\F(3,5)．…6分（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0．…8分所以tanθ＝－eq\F(5,6)．…10分所以tan(θ＋eq\F(π,4))＝eq\F(tanθ＋taneq\F(π,4),1－tanθtaneq\F(π,4))＝eq\F(1,11)．…14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADÌ平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…5分因为DC1Ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1．…7分ABABCDA1B1C1（第16题图）D1ABCDA1B1C1（第16题图）O（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1因为D为BC的中点，所以OD//A1B．…11分因为ODeq\o(,\d\fo0()\s\up1(Ì))平面ADC1，A1Beq\o(/,\d\fo0()\s\up1(Ì))平面ADC1，所以A1B//平面ADC1．…14分

(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1eq\o(eq\o(,\d\fo()\s\do4(＝)),\d\fo4()\s\up2(∥))BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B//C1D．因为C1Deq\o(,\d\fo0()\s\up1(Ì))平面ADC1，D1Beq\o(/,\d\fo0()\s\up1(Ì))平面ADC1，所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．因为A1D1eq\o(,\d\fo0()\s\up1(Ì))平面A1BD1，D1Beq\o(,\d\fo0()\s\up1(Ì))平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，所以平面A1BD1//平面ADC1．…11分因为A1Beq\o(,\d\fo0()\s\up1(Ì))平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．…14分17．（本小题满分14分）解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t＝eq\f(100,v－3)．…2分所以E＝kv3t＝kv3eq\f(100,v－3)＝eq\f(100kv3,v－3)(v(3，＋¥))．…6分（2）E¢＝100keq\f(3v2(v－3)－v3,(v－3)2)＝100keq\f(,)eq\f(2v2(v－4.5),(v－3)2)．…10分令E¢＝0，解得v＝4.5或v＝0(舍去)．因为k＞0，v＞3，所以当v(3，4.5)时，E¢＜0，当v(4.5，＋¥)时，E¢＞0．故E＝eq\f(100kv3,v－3)在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋¥)上单调递增．…………13分所以，当v＝4.5时，E取得最小值．即v＝4.5km/h时，鲑鱼消耗的能量最小．…14分18．（本小题满分16分）解：（1）由eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，,eq\f(a2,c)＝4．))解得eq\b\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1．))所以b2＝3．所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．…4分（2）因为＝，所以xM＝1，代入椭圆得yM＝eq\f(3,2)，即M(1，eq\f(3,2))，所以直线AM为：y＝eq\f(1,2)(x＋2)，得P(4，3)，所以＝(－1，eq\f(3,2))，＝(2，3)．…8分因为·＝eq\f(5,2)≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上．…10分（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，－y1)．直线AM的方程为：y＝eq\f(y1,x1＋2)(x＋2)，所以yp＝eq\f(6y1,x1＋2)，直线BN的方程为：y＝eq\f(－y1,x1－2)(x－2)，所以yp＝eq\f(－2y1,x1－2)，…12分所以eq\f(6y1,x1＋2)＝eq\f(－2y1,x1－2)．因为y1≠0，所以eq\f(6,x1＋2)＝－eq\f(2,x1－2)．解得x1＝1．所以点M的坐标为(1，eq\f(3,2))．…16分19．（本小题满分16分）解：（1）f′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞eq\F(2t,3)或x＜0时，f′(x)＞0，所以(－∞，0)和(eq\F(2t,3)，＋∞)为函数f(x)的单调增区间；当0＜x＜eq\F(2t,3)时，f′(x)＜0，所以(0，eq\F(2t,3))为函数f(x)的单调减区间．………………4分（2）因为k＝3x02－2tx0≥－eq\F(1,2)恒成立，所以2t≤3x0＋eq\F(1,2x0)恒成立，…6分因为x0∈（0，1]，所以3x0＋eq\F(1,2x0)≥2eq\R(,3x0×eq\F(1,2x0))＝eq\R(,6)，即3x0＋eq\F(1,2x0)≥eq\R(,6)，当且仅当x0＝eq\F(eq\R(,6),6)时取等号．所以2t≤eq\R(,6)，即t的最大值为eq\F(eq\R(,6),2)．…8分（3）由（1）可得，函数f(x)在x＝0处取得极大值0，在x＝eq\F(2t,3)处取得极小值－eq\F(4t3,27)．因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f(x)的图象有两个不同的交点，所以直线l的方程为y＝－eq\F(4t3,27)．…10分令f(x)＝－eq\F(4t3,27)，所以x2(x－t)＝－eq\F(4t3,27)，解得x＝eq\F(2t,3)或x＝－eq\F(t,3)．所以C（eq\F(2t,3)，－eq\F(4t3,27)），D（－eq\F(t,3)，－eq\F(4t3,27)）．…12分因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形．AD＝eq\R(,(－eq\F(t,3))2＋(－eq\F(4t3,27))2)，且AD＝AB＝t，所以eq\R(,(－eq\F(t,3))2＋(－eq\F(4t3,27))2)＝t，解得：t＝eq\F(3eq\r(4,8),2)．…16分20．（本小题满分16分）解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．…因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝eq\F(3n(n＋1),2)，Sn－1＝eq\F(3n(n－1),2)满足S＝3n2an＋S．（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①……………6分所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③………………8分所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，………10分因为a2＝12－2a，a3＝3＋2所以an＝eq\b\lc\{(\a\al(a，n＝1，,3n＋2a－6，n为奇数且n≥3，,3n－2a＋6，n为偶数，))…12分要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数解得eq\F(9,4)＜a＜eq\F(15,4)．所以M＝(eq\F(9,4)，eq\F(15,4))，当aM时，数列{an}是递增数列．………………16分21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲证明：因为CP与圆O相切，所以∠DPA＝∠PBA．………………2分因为AB为圆O直径，所以∠APB＝90°，所以∠BAP＝90°－∠PBA．………………6分ABDCPO·(第21A题)因为AD⊥ABDCPO·(第21A题)所以∠DAP＝∠BAP．………………10分B．选修4—2：矩阵与变换解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）则eq\b\bc\[(\a\al\vs4(a0,0b))eq\b\bc\[(\a\al\vs4(x,y))＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(ax,by))＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(x′,y′))，所以eq\b\lc\{(\a\al(x′＝ax，,y′＝by．))．………………2分因为点P′（x′，y′）在椭圆E：eq\F(x2,4)＋eq\F(y2,3)＝1上，所以eq\F(a2x2,4)＋eq\F(b2y2,3)＝1，这个方程即为圆C方程．………………6分所以eq\b\lc\{(\a\al(a2＝4，,b2＝3．))，因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝eq\R(,3)．………………8分（2）由（1）得A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(20,0eq\R(,3)))，所以A－1＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(eq\F(1,2)0,0eq\F(eq\R(,3),3)))．………………10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，直线l的直角坐标方程为x－EQ\r(,3)y＋2a＝0．………………4分所以圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|2＋2a|,2)＝|1＋a|．………………6分因为圆C被直线l截得的弦长为2EQ\r(,3)，所以r2－d2＝3．即4－(1＋a)2＝3．解得a＝0，或a＝－2．………………10分D．选修4—5：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥4．证明：因为a，b是正数，所以a2＋4b2≥4ab．………………2分所以a2＋4b2＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥4ab＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥2eq\R(,4ab×eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab)))＝4．即a2＋4b2＋eq\o(\s\do-8(1),\s\do0(—),\s\do8(ab))≥4．………………10分22．（1）根据题意，建立如图所示