全等三角形经典题型-辅助线问题

全三经题—助线题

全等三形题中常的助线的法含答案)总论：全三角形问题最主要的构造全等三角形，造二条边之间的相等，构二个角之间的相等【三角辅助线做法图有分，两作。也将对，称关现角分行，三形。角分加，线试看线垂分，两把。要线倍，长可验三形中，则中。三形有，长等线1.腰角“线一法

遇等角可底边的利“合”质题2.倍长中：

倍中使长与中相等构等角3.平线三添助4.直分联线两5.“长”“短：于三段长

遇有线长等

遇遇三中一6.形全：

有个60度120度该添后等三7.度为30、60度的垂法为3060可以一上向的一作，的成30-60-90的殊三形，计边度角数样以到值相二边个从而证全角创、之相条8.算值：

遇等角角正形，30-60-90的殊直三形，或的殊角形,算的与的，样以在值等二或个，而证等角造、间相件常辅的法下种：主是造全三，构二条之的相，角间相1)

遇等角，底上，用“线”性题思式全

2)3)4)5)

变中对”造等形遇三的线长线延线段原长等造等形利的维是等中“”法构全三．遇角线三辅线法）可自分上一向两作线利思模三形变中“折，考点常平线质定或理（2）在平上一点该分的与的相，成对三形（3）可在的边上距的点长的上取点然这点角分的点边，一全角。过形一作的分构全等角利的模是变中“移“转”截法短，做是条段上取线与线相或将条段，之定段，利

CC6)

三形的关加说．作，适于线的差倍等的目已某的直线那以垂直分的点线的端作线出全三。特方：有三的值的题常把点三形点线接来利角面知解一倍线线造等例1已，△ABC中，，AC=3，则线AD值围________.解延E连，三性知AB-BE

故的取范1<AD<4D例如△ABC中E别AB、AC上，DE中试较EF大.AEFB

D

C

解(倍长线腰角三合)长FD使连显，在注到DE⊥DF，腰角三线一EG在由角质EG<BG+BE故例如，BD=DC=AC，EDC中点求AD平分BAE.C解延至G使AG＝2AE连BG显DG＝AC，∠GDC=由DC=AC，故∠ADC=

在ADG中BD＝AC=DG∠ADC+∠GDC∠ADG故≌△ADG故∠，AD∠BAE应：1以两AB、为腰

ABC

别外等Rt和腰tACEBAD90

连DE，M、C的点究与E的置及量．（1）如①为角形，与的置系是，线与的关是；（将①的等Rt绕A沿时针向转(0<，图示（问得到两论否改？明由

解（1）

，EDAMAMED证：到G，，，则MGAMABGC平四边∴ACBG

D又

DAEBAC

A

N

H

E∴再：ABG

B

G

M

C∴

，DEAMEDA延MNH∵∴∴

90HDADAH90AMED

D

F（）论仍成．

PA

N

EBM

C

证：，长至F，FAAC交点P并接BF∵，DABA∴

90∵和中FABEAD

∴

（SAS）∴BFDEAEN∴∴

APEAEN90FB又

CA

，

CM∴

AMFB

，

AM

FB∴，AMDE

12二截短1如图中AB=2ACAD平且，BAC求：⊥AC

解（长法在取点，FD△ADB等腰角F底点三合一DF，∠△ADF△ADC∠ACD＝∠AFD＝90°：CDA2如图，EA,EB分平CD过点E，证;AB＝AD+BC解（长法在AB上点F使AF＝AD，FE△ADE△AFEA

DEB

C

∠ADE∠AFE∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故＝∠EFB△FBE△CBE故BF＝BC从;AB＝AD+BCABQPC

3如已在ABC

，40

，P别在，AP，BQ别，角分求证BQ+AQ=AB+BPBACABC解（法,计算值法延AB，使＝BP连DP在腰可∠BDP从∠＝

△ADP△ACP故AD＝AC又＝40°BD从BQ+AQ=AB+BP

故BQ＝QC4如，在四边ABCD，BC＞BA,AD＝CD，BD平分

ABC

，

求：A解（短法延BA至F使BF＝BC连△BDF△BDC故＝∠DCB，FD又AD＝CD故等BFD中∠DFB∠DAF

故∠5图△ABC中AB＞AC∠1∠2，P为AD上任一求AB-AC＞PB-PCA1

2B

PD

C解（短法延至，使＝AB，PD△ABP△AFP故BP＝PF由角质PB＝PF－PC<CF－AC＝AB应：

分：连，梯的转成等三的题，然利知件边角的通证角全决们题解有

AE连，E作ACF点EF//则证为等角AEF

AD即

，

B

EF

C∴

又，AD//BC60∴

BAD又

DEC

AD∴

FECEB

在中EADCFE

，

，

FEC∴∴∴

ADBCAD点：的法新，形问化等角的然利用等形性解三平换例1△角平线直线⊥AD于A.EMN一，周长为EBC长记.PA求.PPBA解（反法BAF，AF＝AC连FEAD为△角分MN⊥AD

知＝∠CAE故△FAE△CAE故EF＝CE在：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC从

P

=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PB

A例2如在ABC的边两D、E，BD=CE证证明：点M,连AM延长至N,使MN=AM,连∵∴∴△DMN≌△EMA(SAS),∴

同理BN=CA.延长ND交AB于P,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各减去DP,∴AB+AC>AD+AE。四借平线等1如，已知在△，∠B=60°，的角分AD,CE相于O，求：OE=ODDC+AEE证明(角分线在种添助线,算数值∠度,

O则∠BAC+∠度;

AD,CE均为角平分线则∠∠度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC截取线AF=AE,连接OF.又AO=AO;∠OAE=∠.则⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=.则∠COF=∠AOC-∠AOF=60度∠又OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.

OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2如，△ABC，AD平⊥BC且平BC，DE⊥AB于E，DF⊥ACF.（1）说的由）如，AC=，b求AE、BE长.解(垂平联线端连BD，DC

ADG垂直分故BD

B

E

F由AD平∠BACDE于E，DFF，故ED故RT）故BE＝CF。AB+ACAEBE=(a-b)/2

D应：如，∠的分请利该形对所在为称的等形请你这作三角的，答问：（如②△ABC中∠角∠B°、分是∠BAC∠BCA平，AD、相于F。你并出FE与之数关（）图③在△ABC中如不

是角(中它件，问你中得论是仍立若A立请证；不成，图①图②图③说理(23题图)

BB解（1）FD之的数关为

FE（）1）的结仍成。FEFD证一：图，在AC上截，连AG∵

，AF为共∴∴

AGF，FEFG∵

，、分是、的平BAC线

∴

60

1

EF23

4

D∴∴

CFDAFG60CFG60

AGC图1

∵

及公边∴∴∴

CFDFEFD证二2过点F别于点，FGAB

于H∵

，、分是、BBAC

平线

E

G

F

DH∴得

60

，F是

1的心A

3

4

C∴

60

，

FG

图2又

HDF∴

GEFHDF∴证

DHF∴

FEFD

五旋例1方ABCD中上的点为CD一BE+DF=EF的数

证明：三角形ADF绕点A顺针旋转90度，至三形ABG则又AE=AE，AF=AG，所以三形AEF全等于所以∠EAF=∠BAE+∠又∠EAF+∠所以∠EAF=45度

例2D等斜AB的中点ABCDN,DM,DN分交BC,CA于E,F。(1)绕点转时证DE=DF(2)四形DECF的。

解(计值（1连DCD等腰斜AB中，故CD⊥ABABCCDCD平0°，ECD＝DCA＝°由DM⊥DN，有＝由，∠A0°从∠∠FD＝故△（ASA故DE=DF（2

S=2,S=S=1△ABC四DECF△ACD例如，是边长3的边三形

BDC是腰形且

120

，顶一个角，两分于交AC600点N，连MN，的周；

解(图形全,截法“短法”,算值AC的延与延线点F在段CF取，使CEBM∵ABC为等边角eq\o\ac(△,，)等角，且BDC=120°，∴MBD=∠∠+30°=90°，∠-∠ACD=180°∠ABD=90°又，，∴≌BDM，∴CDE=∠BDM，DE=DM∠NDE=∠NDC+∠∠NDC+∠BDM=∠-60°=60°，∵△△中，∠∠EDN=60°

ABCDADABCDADCDBC∠MBN60∠，DCF∠MBNAE∠CF∴≌，∴∵△△DEF，∠--∠CDE=∠EDF(CDE=∠∠∠DFE=30°∴≌，∴的周为AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6应：已边中，，，∠120

o

，，旋，两o边别（们延）．当点转时如，易AE

．当点转时在和3这种下，述是成若立请给证若成线

AECF

，又样EF

FCFC的量？写的想需明A

A

AB

E

M

B

E

M

B

F

N

F

N

DN

E（（图2）（图3）

M解（1），，，ADCDABAE∴

（SAS∴

，

∵

，120MBN∴

ABECBF30

，为等角BEF∴

EF

，

CFAE

BE∴

CFEF（）成，不立证图延长点K，连AE

BK则BAEBCK∴，ABEKBC∵，60120

K

BC

AFN图2

EMD∴∴∴∴∴∴即

ABEFBCKBC6060EBFKFEFEFEF图3成CFEF关是

AECFEF（09一）知PA=,PB=4,为边方ABCD,使P、D两点在直的侧.(1)图,时求AB及的;(2)∠APB变,且其条件变时,PD

的大及∠APB的大.分）作助线，作

于E，在

中已

，AP的值，据角函可AE，PE的值出由PB的，BE的，中ABE根勾理将求；PD的值有两解解一将绕顺时旋转90

得

，得

，求长即为的长在

Rt

中可值出PP

Rt

中根勾理将

的求解二点作的线，与延长交F，PB于G在中，出AG的，而AEG可的值在中求中RtRtPDF根勾理将的值求（）绕点A顺针旋，PAD90

，的最大即的大值故、三P点线取大

可的最值时

APB

．解（1）如图作

PB

于E

DCP

AEB

∵中，，RtAPB

∴

AE

∵∴

在中，RtAEB∴

BE

②法如，四形ABCD为正D方可将绕时针90得到C可

，

PD

，

′

A∴

，，90

PEB∴

，PPPA

2∴

PD

5

；解二图过P作行，DA的延线F设DA的线交于G在，得RtAEG

AEcosEAGcosABE3

，

1

，PGPEEG在可RtPFGFG

PFcosFPGcosABEGPF

，EB

C

ABCBDCABC在，得RtPF

FG

105（图示将绕点A针转,90得

，PD最值，为的值∵

中

，

2

，且P、两落线两∴、P三共时，取最（图此

P

，的最为6此

APB180在的两、所在上别有两点M、，D

V

外点，MDN60

,探究M、分在线、移时BM、NC、之间数系的与边的周

L关图

图图3（I），点M、N边AB、上，且时，BM、之数关是；此时

；（II）2，MN边AB、，当DMDN时，（I）的两结论成？出猜并证明（III）图3当MN分边、的长线时若AN=，Q=示．

（、L表

分果，DN

因为，BD那

DBCDCB30

，就

NCD

，角角、NCD因，，BDDCDN根定两角等那

BMNC

，DNC

，角中，

，

，在角中，

DN

，

60

，此形个三形，

MN2NCBM

，三形AMN的

QAMAMNCAB因．Q:L:

，形周

LAB

，（）果DN

，们过建三形实段转延ACE，，连1）我经出

MBD90

，那三MBD和ECD中，有一直角CE

，，此三全，DMCDE

，BDCMDN60

三和中有DM

，一共，此三全，，我把BM转MN成CE，MN转成因

CN

，因

MNBM

与L关的求法同（1，得出结一的

NN（3）我可构全角来线段转思同）D

CDHMDB

，角形BDM和CDH中由（1）中经得的DCH

，们角

，，此两角等ASA那，三BMCHDM角MDNNDH中已知的条，MD条共，要想得三角全就需知道

，为

CDHMDB

，此

MDH

，因

60

，么

，此

，样成两形等条三形MDN和就等那么，的周长NMNHQANAMMNABBM．为ACBMAB的周2．Q

，

AB

L

，此形解（1）图，BM、、MN之的数量系

；．L3（）想：论然成．证：2，长AC至E，使

ACEBM

，接

B

CD图1

∵且BDCDBDC∴DBCDCB30又是等角∴MBD90在与中

N

AMBDECDBDDC

M

B

C∴

（）

D图2

E

N∴，DMCDE

A∴

MDN在

与

EDN

中

M

B

D

HC图3MDN

DN∴

MDNEDN

（SAS）∴

MNNCBM故

AMN

的

周

长QAMMNBMACAB

而边的ABC

LAB∴

Q2ABL3AB（）图3，M、N别AB、CA的延线，若则AN

Q

23

（x、L．L点：本考三形的定质题中段换是全三来现当中没明的全三形时们根条过辅来建知所件关等角

D

DCC′

A

AP

B

P

P

B

ABC∠90【全等三形经典题型明慎块角玻摔如所示四即中1、4的四你为中哪块去店，配块原样小角？带A．块

B

．

第

块C．块

D．第块第4题23.（分）知，中

°

，，AC=点上中点在边，在边DACFBC上且试究条段的系CF、并明。

ACD、F第23题（8分用个全的三形和拼成边，一角三尺个ABCD60边叠使角角顶与重合A两分重合将角点按时、方旋（1）当三角尺于四边形的BCCDBE、

相于（如通观察测、的度，能什结并明。（2）当三角尺与四边形的BCCD

的长较点（图1中到论成？说由

ABCDEAF⊥AMABCDEAF⊥AM⊥（（）图（正形中为边上，过点作交延CDCB线于

F

，

AE

与

的数关系为说明由（2）图（）的件下连，过点的长，察想与ACBMMF

的量（说理由

解问①师一如示板料其

，。师想一∠∠=90=后它正形你王在（）画剪示图②师在两样小余能否每上一然后拼成大正呢若，画剪示图不，证明由

CMAEB20、本分6分如段经段

CD的点，且.求：A

C

EB20题

D25、本分10如