全新版《实变函数》作业答案

EREERE8中开且的只空RnE《变数作一判题1

ER

可的要件

可。对2所无数成的合可集（3如

f(x)

在单减，

f(x)

在可。（）4直上意空开均表为多数两两交开间并（5若不可集则

*E

。

错6若数

f(x)

在

[a,b

上曼积则

f(x)

至有数间点()7可集的意并可集。与对9如函

f()

是

[a]

上单函，

f(

在

[a]

上黎可。对若

*E

，可集对对定义

上狄克函

xDx)0xQ

,

Q表示有理数集

数在

上乎处续

（对）集合上常函数可。（错）区[1]一个数合

（）有可集上连续数定可函。（积数定L可函。错，1]上无数一可集。）有可集上连续数定可函。对）有区上可积数定Lebegus可函。二

AB(A1证：

证：接用义证左边含边右包左。2试出

(0,1)

和

之一对的种法

rr1rr12E，在数可集0，E证：

{,x,x23

，

f(

，得fx)n

x1x2x2n

，其处

f()x.3

{,r2表（）上的体理，

r,r[0,1]上的体理，有\{,rrr,...}2如定一函

f(x)xf()...n...

(0,1)\{,rr1r2r3...rn...

，则是足件一对。4

(A)B(AcA).iiiiiiii三证题1.设

f()

是几处有限可函列

f()，n

几处收于限数f(x)

，对意

m\E)

E，在0上对一切，

f(x

。证：接用津理2.证：明

{xf(x}

是集事上对意

xCG

，

fx)

，连函的部号，在

，使对切

t(,

)f(t)B(x,，即

)

，所x是内点从

{xf(x}

是集3.设

f(x)

在

b]

可，对何

，存上的续数

(x

，得

EEEEE32EEEEEEE32EE

ba

|f()()|明教第121例14.设

f()f(

，

f(x(x)

几处于上立，

试f(x)()在几处成立f()f(证利黎定，在n，到在列

f()i

使

f(x)f(x)nii几处成，利控性

f(g()

，以

f(x)()

在上乎处立。

,

是

的测集定

中任点少于个合的

个证：有个，的度不于

。证令

nf()i

E

i

fx)

时

f(x)mEmE

,在用证，对有

i1,2,...,n

，

mEi

qn

，

qmE12，矛盾1在C集

0

上义数

f()

，在

0

的集长构区上义f()n(n1,2,...)

。证

f(x)

在

上积并出分。证：说函的积（简函的限

f(x3.3n在上

f()f(

，

f()f

(

几处成，

则乎处f()f(x)收于。证利黎定，在

f()f(

，到在列

f()i

使

f(x)f(x)nii几处成，利单性

f()f

(

，以乎处

f()

收于

f(x)

。从

))

，

0x

，明

dx111EEEEEdx111EEEEE112234

.证：验逐积的件成，以(22dx2010n

)n

11)n234明

lim

(0,

t)tn

证：证Lebesgue控定的件立所

lim

(0,

dxt)ne

10．

mE0

，

f()

在可。果于何有可函

x)

，有

f()

(xdx0,E证：

f()

在几处成立证：

()

f(x)f(x)

，有

|f(x)|0,E

所

f(x

在几处成立从

f()

在上乎处立设

{f}

为非可函数，limE

f(x证：

f(x)n

。证：证，写2.证：

f(x)0n

的定义再明论立。

11m*EE的数11m*EE的数存的集1xxx

x1x

dx

1pn)

,

p

。证：用

11

x

，证项分条成，所

10

x1ln1x

dx

0

n

xnn

1x

dx

0n

x

np

1lndxx

n

1(

213．直上一有界合

*E

，对意于的正存子集

1

，得

m*.证：

f()*([a,x])

，

f(

连单，

f()m*E

，连函数介性存

a]

，得任小

m*EE

，得f(x)*任的，

(i

)i

当仅属所有

(i1,2,...,)i当仅属所的

Ac(i)i

，且当

Acii

，以

()cAciiii

。

任

x

属

{|f}'

，存一数

{},E{|f(x}n

，满xnn

0

，为f()a所有f()a

，，从

x

属

{f(x)}，

xf()}

是个集16因

S,,...,S

是些不的测，以

*(EE)1n*[()S]*[()S112*E*EE)12

1

]*E*[()S]*[(EE)122n*E*Em*(E...)13n*E*E...*E1n

2

]x17任0

属

{|f