2020-2021人教版数学2-1课时2.1曲线与方程含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时分层作业：2.1曲线与方程含解析课时分层作业(六）曲线与方程（建议用时：60分钟）一、选择题1．“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y）＝0的解”是“曲线C的方程是f（x，y）＝0”的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B［“曲线C的方程是f（x,y)＝0”包括“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y）＝0的解”和“以方程f（x,y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两个方面，所以“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y）＝0的解"是“曲线C的方程是f（x，y)＝0”的必要不充分条件，故选B．］2．如图所示，方程y＝eq\f（|x|，x2)表示的曲线是（）ABCDB[因为y＝eq\f(｜x|，x2)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（1，x)，x〉0，，－\f（1，x），x〈0,）)所以函数值恒为正，且在(－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减．故选B．]3．到坐标原点的距离是到x轴距离2倍的点的轨迹方程是（)A．y＝±eq\r（3)x B．y＝eq\f（\r（3),3）xC．x2－3y2＝1 D．x2－3y2＝0D[设点的坐标为（x，y），则eq\r（x2＋y2）＝2｜y｜,整理得x2－3y2＝0．]4．已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点M的轨迹方程是（)A．y＝2x2 B．y＝8x2C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1C［设M（x，y),则P(2x，2y＋1）．∵P在曲线2x2－y＝0上，∴2×（2x）2－（2y＋1)＝0,即8x2－2y－1＝0，即2y＝8x2－1,故选C．］5．设点A为圆（x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线,且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为（)A．y2＝2x B．(x－1）2＋y2＝4C．y2＝－2x D．（x－1)2＋y2＝2D[如图，设P（x，y），圆心为M(1，0)．连接MA，则MA⊥PA，且｜MA|＝1,又∵|PA｜＝1,∴|PM|＝eq\r(｜MA｜2＋｜PA｜2）＝eq\r(2)．即｜PM｜2＝2，∴(x－1）2＋y2＝2．]二、填空题6．方程（x－1)2＋eq\r(y－2)＝0表示的是________．点(1，2）[由题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y－2＝0，）)即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,,y＝2。)）所以方程（x－1)2＋eq\r(y－2）＝0表示点(1，2)．]7．设命题甲:点P的坐标适合方程f（x,y）＝0，命题乙：点P在曲线C上，命题丙：点Q坐标不适合f(x，y)＝0，命题丁：点Q不在曲线C上,已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要［由甲是乙的必要不充分条件知,曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线的一部分,则丙⇒丁，但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]8．已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且eq\o(PM,\s\up7(→）)·eq\o（PF,\s\up7（→)）＝0，延长MP到点N,使得|eq\o（PM，\s\up7(→）)|＝|eq\o(PN，\s\up7（→）)|,则点N的轨迹方程是________．y2＝4x[由于|eq\o（PM，\s\up7(→）)｜＝｜eq\o（PN,\s\up7（→）)|，则P为MN的中点．设N(x，y）,则M（－x,0)，Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（y，2））），由eq\o(PM,\s\up7（→））·eq\o（PF，\s\up7（→))＝0，得eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－x，－\f(y,2))）·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，－\f(y,2)))＝0,所以(－x)·1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(y，2))）·eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(y,2)）)＝0，则y2＝4x,即点N的轨迹方程是y2＝4x．］三、解答题9．已知方程x2＋4x－1＝y．（1）判断点P（－1，－4）,Q（－3,2）是否在此方程表示的曲线上；(2）若点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m，2)，m－1））在此方程表示的曲线上，求实数m的值；(3)求该方程表示的曲线与曲线y＝2x＋7的交点的坐标．［解］(1)因为(－1）2＋4×(－1)－1＝－4，（－3）2＋4×（－3）－1≠2，所以点P坐标适合方程，点Q坐标不适合方程，即点P在曲线上，点Q不在曲线上．(2）因为点Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(m,2），m－1)）在此方程表示的曲线上，所以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（m,2）））eq\s\up12(2)＋4×eq\f(m,2)－1＝m－1,即m2＋4m＝0，解得m＝0或m＝－4．（3）联立eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋4x－1＝y,，y＝2x＋7，）)消去y，得x2＋4x－1＝2x＋7，即x2＋2x－8＝0，解得x1＝2，x2＝－4，于是y1＝11，y2＝－1，故两曲线的交点坐标为（2,11)和(－4，－1）．10．设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．[解]法一:设弦的中点为P（x，y），则另一端点为（2x，2y)在圆(x－1)2＋y2＝1上，故（2x－1)2＋4y2＝1，即eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2)）)eq\s\up12（2）＋y2＝eq\f（1,4）(0〈x≤1）．法二：如图所示,设所作弦的中点为P（x，y)，连接CP，则CP⊥OP，｜OC|＝1,OC的中点Meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，0）），所以动点P的轨迹是以点M为圆心，以OC为直径的圆，故轨迹方程为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1,2）))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1，4）．又因为点P不能与点O重合，所以0〈x≤1．故所作弦的中点的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2)))eq\s\up12（2）＋y2＝eq\f（1，4）(0〈x≤1）．1．方程x（x2＋y2－1）＝0和x2＋（x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是（）A．前后两者都是一条直线和一个圆B．前后两者都是两个点C．前者是一条直线和一个圆,后者是两个点D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆C［x(x2＋y2－1）＝0⇔x＝0或x2＋y2＝1，表示直线x＝0和圆x2＋y2＝1．x2＋（x2＋y2－1)2＝0⇔eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0,x2＋y2－1＝0）)⇔eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0，y＝±1,））表示点（0，1），(0，－1)．］2．设过点P(x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若eq\o(BP，\s\up7（→))＝2eq\o(PA,\s\up7(→)），且eq\o(OQ,\s\up7(→）)·eq\o(AB，\s\up7(→））＝1，则点P的轨迹方程是(）A．eq\f(3,2)x2＋3y2＝1（x>0,y>0)B．eq\f（3,2）x2－3y2＝1（x>0，y>0）C．3x2－eq\f（3,2）y2＝1（x>0，y〉0）D．3x2＋eq\f（3，2)y2＝1（x〉0，y>0）A[设A（a,0），B（0,b），a〉0，b>0．由eq\o（BP，\s\up7(→))＝2eq\o（PA,\s\up7（→))，得（x，y－b)＝2(a－x,－y)，即a＝eq\f（3，2)x〉0，b＝3y〉0．点Q(－x,y)，故由eq\o(OQ，\s\up7(→)）·eq\o（AB，\s\up7（→））＝1，得(－x，y）·(－a,b）＝1，即ax＋by＝1．将a，b代入ax＋by＝1，得所求的轨迹方程为eq\f(3,2)x2＋3y2＝1（x>0,y〉0）．]3．已知定长为6的线段，其端点A、B分别在x轴、y轴上移动,线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为________．x2＋y2＝9［作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知|OM|＝eq\f（1,2)｜AB|＝3．所以M的轨迹是以原点O为圆心,以3为半径的圆，故点M的轨迹方程为x2＋y2＝9．］4．一动点到y轴距离比到点(2，0)的距离小2，则此动点的轨迹方程为________．y2＝8x(x≥0)或y＝0(x〈0)［设动点P(x，y），则由条件，得eq\r（x－22＋y2)＝|x|＋2,两边同时平方，得y2＝4x＋4｜x|，当x≥0时，y2＝8x；当x<0时，y＝0,所以动点的轨迹方程为y2＝8x(x≥0)或y＝0(x<0）．］5．过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．［解]法一：如图，设点M的坐标为(x，y）,∵M为线段AB的中点，∴A点的坐标为（2x，0)，B点的坐标为(0，2y）．∵l1⊥l2，且l1,l2过点P(2，4），∴PA⊥PB，即kPA·kPB＝－1，而kPA＝eq\f(4－0，2－2x)＝eq\f（2，1－x）（x≠1），kPB＝eq\f（4－2y，2－0)＝eq\f(2－y,1），∴eq\f(2,1－x）·eq\f（2－y，1)＝－1(x≠1），整理得x＋2y－5＝0（x≠1)．∵当x＝1时,A，B的坐标分别为（2,0),(0,4),∴线段AB的中点坐标是(1,2），它满足方程x＋2y－5＝0．综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0．法二：设点M的坐标为（x，y）,则A，B两点的坐标分别是(2x，0）,(0,