两个随机变量的函数的概率分布

两个随机变量的函数的概率分布第一页，共五十二页，2022年，8月28日5.1离散型随机变量的函数的概率分布已知随机变量(X,Y)的概率分布,

g(x,y)为已知的二元函数,

转化为(X,Y)的事件问题方法求Z=g(X,Y)的概率分布第二页，共五十二页，2022年，8月28日例1

设两个独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y的分布律.得因为X与Y相互独立,所以解第三页，共五十二页，2022年，8月28日可得所以第四页，共五十二页，2022年，8月28日例2

设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XYpij-112-10求：的概率分布第五页，共五十二页，2022年，8月28日解

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：P

X+Y

X

-Y

XYY/X(X,Y)(-1,-1)

(-1,0)

(1,-1)

(1,0)

(2,-1)

(2,0)-2-10112

0-12132

10-10-20

10-10-1/20第六页，共五十二页，2022年，8月28日故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123第七页，共五十二页，2022年，8月28日PXY-2-101PY/X-1-1/201第八页，共五十二页，2022年，8月28日1.设

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布：2.设

X~(1),Y~(2),且独立，则X+Y~B(n1+n2,p)则X+Y~(教材P86例5.2)（习题课教程P383例18）第九页，共五十二页，2022年，8月28日X~(1),Y~(2),则Z=X+Y

的可能取值为0,1,2,,

Poisson分布可加性的证明第十页，共五十二页，2022年，8月28日结论：第十一页，共五十二页，2022年，8月28日5.2连续型随机变量的函数的概率分布

1.

Z=X+Y的概率分布第十二页，共五十二页，2022年，8月28日由此可得概率密度函数为由于X与Y对称,

当X,Y独立时,这两个公式称之为卷积公式。注意：被积函数变元之和x+(z-x)=(z-y)+y=z第十三页，共五十二页，2022年，8月28日(教材P87例5.3)例3

设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.第十四页，共五十二页，2022年，8月28日得第十五页，共五十二页，2022年，8月28日说明：

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即正态分布具有可加性.

例如，设X、Y独立，都具有正态分布，则3X+4Y+1也具有正态分布.第十六页，共五十二页，2022年，8月28日为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例４若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:

解法一由卷积公式也即（教材P88例5.4）第十七页，共五十二页，2022年，8月28日为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域也即于是第十八页，共五十二页，2022年，8月28日解法二

从分布函数出发x+y=z当z<0时，1yx1第十九页，共五十二页，2022年，8月28日当0z<1时，yx11x+y=z•z•z第二十页，共五十二页，2022年，8月28日x+y=z当1

z<2

时，z-11yx1•z•z第二十一页，共五十二页，2022年，8月28日1yx1x+y=z22当2

z时，(书P90例5.5、P92例5.6）第二十二页，共五十二页，2022年，8月28日例５已知(X,Y)的联合概率密度为Z=X+Y,求fZ(z)解（图形定限法）由公式（1）考虑被积函数取非零值的区域第二十三页，共五十二页，2022年，8月28日zxz=xz=2xx=112当z<0或z>2,zzzz当0≤z<1,当1≤z<2,

fZ

(z)=0第二十四页，共五十二页，2022年，8月28日这比用分布函数做简便。第二十五页，共五十二页，2022年，8月28日解课堂练习：第二十六页，共五十二页，2022年，8月28日第二十七页，共五十二页，2022年，8月28日此时第二十八页，共五十二页，2022年，8月28日2.极值分布的分布函数则有第二十九页，共五十二页，2022年，8月28日故有第三十页，共五十二页，2022年，8月28日推广：第三十一页，共五十二页，2022年，8月28日第三十二页，共五十二页，2022年，8月28日若X与Y相互独立同分布且为连续型随机变量,X的分布密度为f(x),则M与N的分布密度为

上述结论可以推广到n维情形,即若设随机变量相互独立同分布,令

第三十三页，共五十二页，2022年，8月28日它们的概率密度函数分别为则它们的分布函数分别为

第三十四页，共五十二页，2022年，8月28日需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值.第三十五页，共五十二页，2022年，8月28日例6

设X,Y独立同分布,P{X=i}=1/3,i=1,2,3,求M=Max(X,Y),N=min(X,Y)的分布律.解

第三十六页，共五十二页，2022年，8月28日类似可得N的分布率为

N

1

2

3

P

5/9

1/3

1/9

M

1

2

3

P

1/9

1/3

5/9从而M的分布律为第三十七页，共五十二页，2022年，8月28日

设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为于是解课堂练习：第三十八页，共五十二页，2022年，8月28日第三十九页，共五十二页，2022年，8月28日例7（教材Ｐ93例5.7）第四十页，共五十二页，2022年，8月28日解第四十一页，共五十二页，2022年，8月28日第四十二页，共五十二页，2022年，8月28日第四十三页，共五十二页，2022年，8月28日第四十四页，共五十二页，2022年，8月28日附:平方和的分布Z=X2+Y2设(X,Y)的联合概率密度

为f(x,y)，则第四十五页，共五十二页，2022年，8月28日例如，X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，

Z=X2+Y2,则自由度为2的2分布称为第四十六页，共五十二页，2022年，8月28日解

设的分布函数为，当时，有（教材P95例5.8）第四十七页，共五十二页，2022年，8月28日第四十八页，共五十二页，2022年，8月28日当时，