2020-2021高中数学人教版第一册学案：5.5.1 第3课时两角和与差的正切公式含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册学案：5.5.1第3课时两角和与差的正切公式含解析第3课时两角和与差的正切公式［目标］1.理解两角和与差的正切公式及其推导过程；2.能够灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．[重点]记住并会应用两角和与差的正切公式．[难点]灵活运用公式进行求值、化简、证明．知识点两角和与差的正切公式［填一填］两角和与差的正切公式［答一答]1．你能总结出公式T(α±β)的结构特征和符号规律吗？提示：（1）公式T（α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差,分母为1与tanαtanβ的差或和．(2）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．taneq\f（π,12）＝2－eq\r（3）.解析：taneq\f（π，12)＝taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π，4）－\f（π，6）））＝eq\f(tan\f(π，4）－tan\f(π，6），1＋tan\f（π,4）tan\f(π，6））＝eq\f（1－\f（\r(3)，3）,1＋\f（\r(3）,3））＝2－eq\r（3).类型一公式的简单应用［例1]求下列各式的值：（1）taneq\f(11π，12）；(2)eq\f(tan75°－tan15°，1＋tan75°tan15°)。［解]（1)原式＝－taneq\f（π,12)＝－taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4）－\f(π,6)）)＝－eq\f(tan\f（π,4)－tan\f(π,6）,1＋tan\f(π，4）tan\f(π,6）)＝－eq\f（1－\f(\r(3），3），1＋\f(\r（3）,3)）＝－2＋eq\r(3)。（2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3）.公式Tα±β只有在α≠eq\a\vs4\al（\f(π,2）)＋kπ，β≠eq\a\vs4\al（\f（π,2））＋kπ，α±β≠eq\a\vs4\al（\f（π，2))＋kπk∈Z时才成立，否则就不成立，这是由正切函数的定义域决定的.[变式训练1]已知taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(π，4)＋α)）＝2，tan（α－β)＝eq\f(1,2)，α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（π,4))），β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（π，4)，0））.（1）求tanα的值；(2)求eq\f（1，2sinαcosα＋cos2α)的值;(3）求2α－β的值．解：（1）taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，4）＋α)）＝eq\f（1＋tanα,1－tanα)＝2，得tanα＝eq\f（1,3)。（2）eq\f（1,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f（tan2α＋1,2tanα＋1）＝eq\f(2，3)。（3）因为tan(2α－β)＝tan［α＋(α－β）］＝eq\f(tanα＋tanα－β,1－tanαtanα－β)＝1，因为β∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π，4),0）)，又α∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，4))），得2α－β∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4）))，所以2α－β＝eq\f(π，4).类型二公式的变形应用[例2］（1）化简:tan23°＋tan37°＋eq\r(3)tan23°tan37°；（2)若锐角α，β满足（1＋eq\r（3）tanα)(1＋eq\r（3)tanβ）＝4，求α＋β.［分析］(1）的求解可利用23°＋37°＝60°及两角和的正切公式将tan(23°＋37°）展开变形求解，（2)的求解需将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出tan（α＋β)．［解析］(1）∵tan（23°＋37°)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq\r（3)＝eq\f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°).∴eq\r(3)－eq\r(3)tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°.∴tan23°＋tan37°＋eq\r（3)tan23°tan37°＝eq\r(3）.(2）∵（1＋eq\r(3）tanα)(1＋eq\r(3）tanβ）＝1＋eq\r(3）(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，∴tanα＋tanβ＝eq\r(3)（1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β）＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）＝eq\r（3）。又∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<180°.∴α＋β＝60°.T（α±β)可变形为如下形式:①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)或②1∓tanαtanβ＝eq\f（tanα±tanβ，tanα±β）。当α±β为特殊角时,常考虑使用变形①，遇到1与正切的乘积的和（或差）时常用变形②.［变式训练2]（1）若tan28°·tan32°＝m,则tan28°＋tan32°＝(B）A．eq\r（3）m B．eq\r（3)（1－m）C．eq\r（3）（m－1） D．eq\r(3）(m＋1)解析：（1）∵28°＋32°＝60°。∴tan(28°＋32°）＝eq\f(tan28°＋tan32°，1－tan28°·tan32°）＝tan60°＝eq\r(3).∴tan28°＋tan32°＝eq\r（3）(1－m)．选B．(2）△ABC不是直角三角形，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．证明：由题意得A＋B＋C＝π,所以tanA＝tan(π－B－C）＝－tan（B＋C）＝－eq\f（tanB＋tanC,1－tanBtanC），所以－tanA(1－tanBtanC)＝tanB＋tanC,所以－tanA＋tanAtanBtanC＝tanB＋tanC，所以tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．类型三公式的综合应用［例3］已知A，B，C为△ABC的内角，tanA,tanB是关于x的方程x2＋eq\r（3）px－p＋1＝0（p∈R）的两个实根．求C的大小．［解]由已知，方程x2＋eq\r(3)px－p＋1＝0的判别式Δ＝(eq\r(3）p)2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0，所以p≤－2或p≥eq\f（2，3）.易知tanA＋tanB＝－eq\r（3)p，tanAtanB＝1－p.于是1－tanAtanB＝1－(1－p）＝p≠0。从而tan(A＋B)＝eq\f（tanA＋tanB,1－tanAtanB）＝－eq\f（\r（3)p，p)＝－eq\r（3）。所以tanC＝－tan(A＋B)＝eq\r（3），所以C＝60°.和差公式是高考的重点内容,有时高考会将公式与函数、方程、不等式等知识综合考查.[变式训练3］已知tanα和taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,4)－α）)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根,则a,b,c的关系是(A）A．c＝b＋a B．2b＝a＋cC．b＝a＋c D．c＝ab解析：eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(tanα＋tan\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4）－α)）＝－\f(b,a)，,tanαtan\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,4）－α）)＝\f(c，a），）)所以taneq\f（π,4）＝taneq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)－α))＋α)）＝eq\f（－\f（b，a）,1－\f(c，a)）＝1,所以－eq\f(b，a）＝1－eq\f(c,a)，所以－b＝a－C．所以c＝a＋B．故选A．1.eq\f(\r（3）－tan18°，1＋\r(3)tan18°）等于（A）A．tan42° B．tan3°C．1 D．tan24°解析：eq\f(\r（3)－tan18°,1＋\r（3）tan18°）＝eq\f（tan60°－tan18°,1＋tan60°tan18°)＝tan(60°－18°)＝tan42°。2．已知cosα＝－eq\f（4,5），且α∈（eq\f（π，2),π），则tan(eq\f(π，4)－α）等于（D)A．－eq\f(1,7) B．－7C．eq\f(1，7) D．7解析:由于α∈(eq\f（π，2），π），则sinα＝eq\r（1－cos2α）＝eq\f(3，5)，所以tanα＝eq\f(sinα，cosα)＝－eq\f(3,4），所以tan（eq\f（π，4)－α)＝eq\f（1－tanα,1＋tanα）＝7。3．已知tan(α＋β)＝eq\f(1,3），tanα＝－2，则tanβ的值为（A）A．7 B．－7C．－eq\f（7,5) D．eq\f（7,5）解析:tanβ＝tan[（α＋β）－α］＝eq\f（tanα＋β－tanα，1＋tanα＋βtanα)＝eq\f(\f（1,3）－－2，1＋\f（1，3)×－2）＝7.4．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r（3)x＋4＝0的两个根,且－eq\f(π,2)〈α<eq\f（π,2）,－eq\f（π,2)〈β〈eq\f（π,2），则α＋β＝－eq\f(2π,3)。解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（tanα＋tanβ＝－3\r(3），，tanα·tanβ＝4>0，))所以tanα<0，tanβ<0,所以－eq\f（π，2）<α〈0，－eq\f（π，2)〈β〈0,所以－π<α＋β〈0.又tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f（－3\r(3）,1－4)＝eq\r(3).所以α＋β＝－eq\f(2π，3).5．已知tanα＋tanβ＝2，tan（α＋β）＝4，求tan2α＋tan2β的值．解:∵tan(α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ），∴4＝eq\f（2,1－tanαtanβ），解得tanαtanβ＝eq\f(1,2)，∴tan2α＋tan2β＝(tanα＋tanβ)2－2tanαtanβ＝4－2×eq\f(1，2)＝3.——本课须掌握的三大问题1．公式T（α±β）的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β（或α－β）的终边不能落在y轴上,即不为kπ＋eq\f(π,2）（k∈Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如taneq\f（π,4)＝1，taneq\f（π,6）＝eq\f(\r（3）,3），taneq\f(π,3)＝eq\r(3）等．要特别注意taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\a