2020-2021高中数学人教版第一册5.4.2 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质（一）含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课时作业：5.4.2第1课时正弦函数、余弦函数的性质（一）含解析第五章5.45.4。2第1课时A组·素养自测一、选择题1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(D）2．函数y＝sin2x是（A）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为eq\f(π，2)的偶函数 D．周期为eq\f(π,2）的奇函数3．对于函数y＝cos(eq\f(π，2）－2x)，下列命题正确的是(D)A．函数是周期为2π的偶函数B．函数是周期为2π的奇函数C．函数是周期为π的偶函数D．函数是周期为π的奇函数[解析]因为函数y＝cos(eq\f(π,2）－2x)＝sin2x，T＝eq\f(2π，2)＝π，且y＝sin2x是奇函数，所以y＝cos(eq\f（π，2）－2x）是周期为π的奇函数．4．函数y＝4cos（2x＋π）的图象关于（C)A．x轴对称 B．原点对称C．y轴对称 D．直线x＝eq\f（π,4)对称[解析］因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos2x，所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．5．函数y＝sin(2x＋eq\f(5π,2）)的一个对称中心是(B）A．(eq\f(π,8）,0） B．（eq\f(π,4)，0）C．(－eq\f(π,3）,0) D．(eq\f（3π，8)，0)[解析］y＝sin（2x＋eq\f(5π，2)）＝cos2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证,只有（eq\f（π，4)，0）符合要求，故选B．6．函数f(x)＝eq\f(sinx，1＋cosx）的奇偶性是（A）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数［解析]因为f(x)的定义域为｛x|x≠2kπ＋π,k∈Z｝，关于原点对称,又f(－x)＝eq\f（sin－x,1＋cos－x）＝－eq\f(sinx，1＋cosx）＝－f（x)，所以函数f（x)为奇函数,故选A．二、填空题7．已知函数f(x）是以2为周期的函数,且当x∈[1，3)时，f(x)＝x－2，则f（－1）＝__－1__.[解析］因为T＝2,则f(x）＝f(x＋2)．又f（－1)＝f（－1＋2）＝f(1)，且x∈［1，3)时，f（x)＝x－2，所以f(－1）＝f(1)＝1－2＝－1。8．使函数y＝sin(2x＋φ）为奇函数的φ值可以是__π(答案不唯一)__.［解析]因为函数y＝sin（2x＋φ）的定义域为R，且为奇函数，所以f（0)＝0，即sin(2×0＋φ）＝sinφ＝0，故φ＝kπ（k∈Z）．9．函数f（x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（ωx－\f(π,6）))（ω〉0)的最小正周期为4π,当f（x）取得最小值时，x的取值集合为__{x|x＝4kπ－eq\f(2π，3）（k∈Z）}__。［解析]∵T＝eq\f（2π,ω)＝4π，∴ω＝eq\f(1，2），∴f（x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)x－\f(π，6)）)。由eq\f(1，2）x－eq\f(π，6)＝2kπ－eq\f（π,2）（k∈Z)，得x＝4kπ－eq\f(2π,3)（k∈Z）．三、解答题10．已知定义在R上的函数f（x)满足f（x＋2）f(x）＝1，求证：f(x)是周期函数．［证明］∵f(x＋2)＝eq\f（1,fx),∴f(x＋4)＝f［(x＋2）＋2]＝eq\f(1，fx＋2）＝eq\f(1,\f(1,fx）)＝f(x）．∴函数f（x）是周期函数，4是一个周期．11．定义在R上的函数f（x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0,eq\f（π,2）］时，f(x）＝sinx.(1）求当x∈［－π,0]时，f(x）的解析式；(2)画出函数f（x）在[－π，π］上的简图;（3）求当f(x）≥eq\f（1，2）时x的取值范围．[解析］（1)∵f（x)是偶函数，∴f（－x）＝f(x）．∵当x∈[0，eq\f(π，2)]时，f(x)＝sinx，∴当x∈[－eq\f(π，2）,0］时，f(x)＝f(－x）＝sin（－x)＝－sinx。又∵当x∈［－π，－eq\f（π,2）]时，x＋π∈［0，eq\f(π，2)]，f(x）的周期为π，∴f(x)＝f（π＋x)＝sin(π＋x）＝－sinx.∴当x∈[－π,0]时，f（x)＝－sinx.（2）如图．(3）∵在[0，π］内，当f（x）＝eq\f(1，2)时，x＝eq\f（π,6）或eq\f（5π,6），∴在［0，π]内，f(x）≥eq\f(1,2)时，x∈［eq\f(π，6),eq\f(5π,6)]．又∵f（x)的周期为π，∴当f(x)≥eq\f(1,2)时，x∈[kπ＋eq\f（π，6),kπ＋eq\f(5π,6)]，k∈Z.B组·素养提升一、选择题1．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ)(A〉0,ω〉0，φ∈R），则“f(x）是偶函数"是“φ＝eq\f(3π,2）”的(B)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件［解析］若f(x)是偶函数,则φ＝kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z)，φ＝eq\f（3π,2)不一定成立;而φ＝eq\f（3π，2）时,f（x）为偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“φ＝eq\f（3π，2）”的必要不充分条件，故选B．2．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0，2π］;③y＝sinx，x∈[－π，π］;④y＝xcosx中,奇函数的个数为（C)A．1 B．2C．3 D．4［解析]①③④是奇函数，故选C．3．（多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(AC)A．y＝sin(2x＋eq\f（π,2）)＋1B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．f(x)＝eq\r（1＋sin2x）＋eq\r(1－sin2x）D．y＝eq\r（2）cos(2x＋eq\f(π，4））[解析]由y＝sin(2x＋eq\f(π,2）)＋1＝cos2x＋1知，y＝sin(2x＋eq\f(π,2)）＋1为偶函数,且周期为π，故A满足条件；由y＝cos（2x＋eq\f(π，2）)＝－sin2x知,y＝cos(2x＋eq\f(π,2))为奇函数，故B不满足条件;对任意x∈R，－1≤sin2x≤1，∴1＋sin2x≥0,1－sin2x≥0.∴f（x)＝eq\r（1＋sin2x)＋eq\r(1－sin2x）的定义域是R,关于原点对称．∵f(－x）＝eq\r(1＋sin－2x)＋eq\r(1－sin－2x）＝eq\r(1＋sin2x）＋eq\r（1－sin2x）＝f(x)，∴f（x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；y＝eq\r(2)cos(2x＋eq\f(π，4)）是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC．4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin（x＋φ)的说法错误的是(AD）A．对任意的φ，f（x）都是非奇非偶函数B．存在φ，使f(x）是偶函数C．存在φ，使f(x）是奇函数D．对任意的φ，f（x)都不是偶函数[解析］φ＝0时，f（x）＝sinx是奇函数;φ＝eq\f（π,2)时，f（x)＝cosx是偶函数，所以B、C中的说法正确,A、D中的说法错误，故选AD．二、填空题5．已知函数f（x）＝sin(ωx＋eq\f(π,6））（0<ω〈2）,若f(eq\f(2π,3））＝1,则函数y＝f(x)的最小正周期为__4π__。[解析］因为f(eq\f(2π,3)）＝sin(ω·eq\f（2π,3)＋eq\f(π,6）)＝1，所以ω·eq\f（2π,3）＋eq\f(π，6）＝2kπ＋eq\f（π,2)(k∈Z），由此可得ω＝3k＋eq\f（1,2)（k∈Z）．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝eq\f(1,2)，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π。6．若函数f(x)是以eq\f（π,2）为周期的偶函数，且f（eq\f（π,3)）＝1，则f(－eq\f（17π,6））＝__1__.[解析］∵f(x）的周期为eq\f（π,2），且f（x）为偶函数，∴f（－eq\f（17π,6)）＝f(－3π＋eq\f（π，6））＝f（－6×eq\f(π,2)＋eq\f（π,6))＝f(eq\f(π，6）)＝f(eq\f(π,6)－eq\f(π,2））＝f（－eq\f(π，3））＝f(eq\f(π,3）)＝1.7．关于函数f（x)＝4sin(2x＋eq\f(π，3））(x∈R)有下列命题:①y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x－eq\f（π，6));②y＝f（x)是以2π为最小正周期的周期函数;③函数y＝f（x－eq\f（π，6)）是奇函数；④y＝f（x＋eq\f（π，12))的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是__①③④__.[解析］①正确,f（x)＝4sin(2x＋eq\f(π,3）)＝4cos［eq\f（π,2)－(2x＋eq\f(π,3）)]＝4cos（2x－eq\f（π,6））；②错误,由题意知T＝eq\f（2π,2）＝π;③正确，f（x－eq\f（π，6）)＝4sin[2（x－eq\f（π,6)）＋eq\f(π,3)］＝4sin2x，是奇函数；④正确,f（x＋eq\f(π,12）)＝4sin［2×(x＋eq\f(π,12））＋eq\f（π,3）]＝4cos2x,是偶函数，其图象关于y轴对称．综上知，①③④正确．三、解答题8．已知函数y＝eq\f(1，2)sinx＋eq\f(1,2）｜sinx|.（1）画出函数的简图；(2）这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期．［解析］(1）y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx｜＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（sinx,x∈［2kπ，2kπ＋πk∈Z，，0，x∈[2kπ－π,2kπk∈Z。)）函数图象如图所示．(2）由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.9．已知f(x）是以π为周期的偶函数，且x∈[0，eq\f（π，2）]时，f(x）＝1－sinx,求当x∈[eq\f(5,2）π，3π]时f（x)的解析式．［解析］x∈[eq\f（5,2)π，3π］时，3π－x∈［0，e