因式分解的多种方法

因式分解的多种方法编者按：很多同学在做因式分解的题目时，会觉得无从入手。而面临竞赛题目时，更加摸不着头脑。在此介绍几种因式分解的方法。其实，因式分解没有想象中的那么难。1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：2xA2-3x=0解：x(2x-3)=0x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例二：xA2-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=22,适用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)2解：原式=(x+2)(x-2)3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意：它不难。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1-a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1-c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果例三：把2xA2-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2=1x2=2x1；分解常数项：3=1x3=3x1=(-3)x(-1)=(-1)x(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：11X231x3+2x1=5TOC\o"1-5"\h\z3X11x1+2x3=7-1X-31x(-3)+2x(-1)=-5-3X-11x(-1)+2x(-3)=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数一7.解原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax”2+bx+c(a手0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1c1Xa2c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。它可以包括前两者方法。4】分组分解法也是比较常规的方法。一般是把式子里的各个部分分开分解，再合起来需要可持续性！例四：xA2+4x+4yA2-yA2可以看出，前面三项可以组成平方，结合后面的负平方，可以用平方差公式解：原式=(x+2)A2-yA2=(x+2+y)(x+2-y)总结：分组分解法需要前面的方法作基础，可见前面方法的重要性。5】换元法整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上例五：(x+y)A2-2(x+y)+1分解因式考虑到x+y是以整体出现，展开是十分繁琐的，用a代替x+y那么原式=aA2-2a+1=(a-1)A2回代原式=(x+y-1)A26】主元法这种方法要难一些，多练即可即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数例六：因式分解16y+2xA2(y+1)A2+(y-1)A2xA4分析：本题尚且属于简单例用，只是稍加难度，以y为主元会使原式极其烦琐，而以x为主元的话，原式的难度就大大降低了。原式=(y-1)A2xA4+2(y+1)A2xA2+16y【主元法】=(xA2yA2-2xA2y+xA2+8y)(xA2+2)【十字相乘法】可见，十字相乘十分重要。7】双十字相乘法难度较之前的方法要提升许多。是用来分解形如axA2+bxy+cyA2+dx+ey+f的二次六项式在草稿纸上，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)要诀：把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,例七：ab+bA2+a—b—2分解因式解：原式=0x1xaA2+ab+bA2+a—b—2=(0xa+b+1)(a+b—2)=(b+1)(a+b—2)8】待定系数法将式子看成方程，将方程的解代入这时就要用到1】中提到的知识点了当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式例八：xA2+x-2该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法我们可以把它当方程做，xA2+x-2=0一眼看出，该方程有一根为x=1那么必有一因式为(x-1)结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2(因为乘-1要为-2)一次项系数必为1(因为与1相乘要为1)所以另一因式为(x+2)分解为(x-1)(x+2)9】列竖式让人拍案叫绝的方法。原理和小学的除法差不多。要建立在待定系数法的方程法上不足的项要用0补除的时候，一定要让第一项抵消例九：3xA3+5xA2-2分解因式提示：x=-1可以使该式=0，有因式(x+1).XF+l,3ka3+5xa2-2'3x^343^：224-Zji-2x-2cT'那么该式分解为(x+1)(3xA2+2x-2)因式分解有9种方法，这么多？其实是不止的，还有很多很多。不过了解这些，初中的因式分解是不会有问题了。考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。(ab+b)A2-(a+b)A2(aA2-xA2)A2-4ax(x-a)A23aA3bA2c—6aA2bA2cA2+9abA2cA3xy+6—2x—3y(3a-b)A2-4(3a-b)(a+3b)+4(a+3b)A2(x+2)(x-3)+(x+2)(x+4)12xA2-29x+15x(y+2)-x—y—14xA2+4xy+yA2-4x-2y-32xA4+13xA3+20xA2+11x+22xA2-7xy-22yA2-5x+35y-34mA2+8mn+