二次型与极值

二次型与极值摘要"元函数极值的判别法很多，在本文中我们将利用二次型来判别〃元函数的普通极值与条件极值并应用到二元函数上。首先，再讨论二次型与普通极值的关系时我们先讨论极值存在的必要条件，再讨论极值存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），在讨论第一充分条件是利用函数的连续性，而在讨论极值存在的第二充分条件中以二阶偏导数和泰勒展开式的知识为基础，利用二次型的性质得出极值的存在性和为何种极值就取决于二次型的正定性和负定性，当二次型为正定时多元函数此时取极小值；当二次型为负定时多元函数此时取极大值；当二次型为不定时，此时多元函数无极值。再从多元函数的情形中得到二元函数和一元函数的极值判别法。在讨论□元函数的条件极值问题时，利用的是拉格朗日乘数法先得出条件极值的必要条件，再根据必要条件讨论11元函数极值存在的充分条件再举一在实际问题中的条件极值的例子加以说明。关键词：二次型，〃元函数，极值，稳定点，正定性，负定性。QUADRATICFORMANDEXTREMEVALUEPROBLEMEOFMULTI-VARIABLEFUNCTIONABSTRCTThecirculai-functionextremevaluedistmctionlawareveiymany,wewilluseinthisarticletwotimedistinguishedtheciiculaifiinctiontheorduiaiyextremevalueandtheconditionextremevalueandwillapplyinthedualfunction.First,thendiscussestwotimewithwhentheordinaiyextremevaluerelationswefirstdiscusstlieextremevalueexistencetheessentialcondition,thendiscussestheextremevalueexistencethemdiscussesthefirstsufficiencyisusesthefxinctiontliecontinuity,butmthediscussionextiemevalueexistencesecondsufficiencytaketwostepspartialderivativeandtheTaylor'sexpansionknowledgeasthefoundationtObtamsusingtwonatuiewhytheextiemevaluetheexistenceandakindofextremevalueisdecidedbytwoqualitativeandnegativequalitative,whentwothistimeaietakingthenunmiumforfixedtimethefunctionofmanyvariables;Whentwothistimetaketliemaximumvalueforthenegativefixedtimefiinctionofmanyvariables;Whentwoaretheindefinitetenses,thistimethefiinctionofmanyvariablesdoesnothavetheextiemevalue・Againobtamsthedualfunctionandacirculai-functionextremevaluedistmctionlawfromthefiinctionofmanyvaluablessituation.Whendiscussesthencirculai-fiinctiontlieconditionnmimiumproblem,usesistheLagrangemultiplicatorlawfiistobtamstheconditionextiemevaluetheessentialcondition,thendiscussestliencircularfunctionextiemevalueexistenceaccordmgtotheessentialconditionthesufficiencytoliftagamoneperformsmtheactualproblemconditionextiemevalueexampletoexplamKEYWORDS:QuadraticForm,ExtremeValue,Multi-VaiiableFunction,ExtiemeValue,StablePoint,PositiveDefiiutePiopeity,NegativeDefiniteProperty目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一章绪论 1\o"CurrentDocument"1.1课题研究背景 11.2二次型与极值的发展及研究现状 1\o"CurrentDocument"第二章定义及相关定理 22.1定义 2\o"CurrentDocument"2.2二次型与矩阵的关系及相关定理 2第三章普通极值与二次型 43.1定义 4\o"CurrentDocument"3.2极值存在的必要条件 4\o"CurrentDocument"3.3n元函数极值存在的充分条件 5第四章条件极值与二次型 94.1定义 9\o"CurrentDocument"4.2条件极值存在的必要条件 94.3条件极值存在的充分条件 11\o"CurrentDocument"第五章总结和展望 14\o"CurrentDocument"5.1本文总结 145.2展望 14参考文献 15\o"CurrentDocument"致谢 16第一章绪论1・1课题研究背景怎样去求一个〃元函数的极值，很多论文和教材都有不同的方法，其中最常见的是用二次型来判别极值。由泰勒展式和二阶偏导得出的〃元函数的极值与二次型的正定，负定性有关，当二次型不定时〃元函数不取得极值，以及教材中所涉及的判断一元函数极值存在的求导法，在讨论“元函数的条件极值存在的必要条件和充分条件时利用泰勒展式和二阶偏导得出条件极值存在的必要条件和充分条件，这些论文或教材的讨论比较零乱，形式不一，内容不全面。本文将在其他论文和教材的论述基础上进行整理，修正和提出自己的观点。，1・2发展及研究现状目前纵多著作中所讨论的极值问题尤以二次型最多，有些著作讨论一元函数的情形，或〃元函数的情形并应用到二元函数上。在讨论〃元函数的普通极值时得出判别〃元函数极值存在的必要条件（极值点是稳定点但稳定点不一定是极值点），再讨论函数存在的充分条件（第一充分条件和第二充分条件），利用泰勒展式和二阶偏导得岀〃元函数极值存在与二次型的正定，负定有关。泰勒展式的形式不同（利用梯度知识或模长知识），并将〃元函数的情形运用到二元函数上。在讨论元函数的条件极值时利用的是拉格朗日乘数法，也是利用泰勒展式得出条件极值存在的必要和充分条件，最后利用二次型的正定性和负定性来判别条件极的存在和极值的类型。第二章定义及相关定理§2-1定义定义1设〃元函数/(%)= )在点x°=(x°,---xw°)邻近有定义，如果存在>0,使得f(x)>/(x°)(或者/(x)</(x0))yxeU(x°,£)那么我们就说函数/在点取得极小值(极人值)；如果存在§〉0,使得f(x)>f(x°),Vxwt/(x°,£)(或者那么我们就说函数/在点取得严格极小值(严格极大值)极小值与极大值都称极值，严格极人值与严格极小值都称严格极值。定义2设为R为一个数域，為,丕,…,X”的一个系数在数域R中二次多项式f3，呂，•••£)=q內‘+2cl2xtx2+…+2clnx,xn+c22x^+..・+2。任£+...+陰兀「， (1)称为数域尺上的一个"元二次型或简称二次型。如：+3xlx2+4兀兀+需+x2x3+ 叫做有理数域Q上的三元二次型。§2-2二次型与矩阵的关系及相关定理令Cij=C令Cij=Ccji又由于xtj=Xji所以二次型(1)可以写成:+C”d內+—2兀内+…5需=工工r=iy=i(2)Gc12…其中它的系数可以用一个nxn矩阵来表示：C=CziC"…5” 它称为二次型(2)••••••••••••5—2…5扁的矩阵，因为C严ji,i,j=\,2,・・・,H所以c=c我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此二次型的矩阵都是对称的。则二次型可以用矩阵的乘枳来表示*cx=(人x*cx=(人x2…兀)5=(q內+注+…即兀,q站+c22x2+…+c曲，…心0+…+Cnnxn)z=l7=1故f(x故f(xl9x29--,xn)=xTcx,C=,（5=勺）如果二次型是正定的C'l/>（负定的），那么我们就说它的系数方阵C是正定的（负定的）Sylverister定理：/（心兀，…兀）=*煦=工工唧叭，（c»=J）为正定的充分必要条件是：它的系数方阵C的所有顺序主子是都人于0即:c>0;>0;…;>0；c>0;>0;…;>0；推论：/u）=工c/Xj,c严肝QJ=1,2,…仍为负定的充要条件是sCl2sCl2>o,...(-iyC2ic22>0o第三章〃元函数的普通极值与二次型的关系§3-1定义定义1偏导数：对于函数/（x）=几兀,兀，…兀+）给变量兀以增量必则函数/的增\xf量为△兀/= …忑+△兀•，…，兀）一/（x“・・・,Xi，兀•，…，兀J假若hill 存在则Aa;此极限值为函数/（X）在点双兀/■••£）对兀的偏导数极为乞或人。・ 6xi若函数/U）=/（x1,x2,...xJ在某一个开区域R上有对于其中一个变量的偏导数，则该偏导数仍是西,£,•••&的函数，因此它可能在某一点仍有对相同变量或不同变量的偏导数，这样的偏导数称为/（切的二阶偏导数。已知/（切对兀的一阶偏导数上=生~则它对坨和厂（其中/,7=1,2,•••/?,/>J）的定义2：生定义2：生dx:（/=12…仍成立，则称“°为/（X）的稳定点o导数记为亡，加器同样心推出咼阶偏导数：（儿・・・J=l，・・・s）§3-2极值存在的必要条件定理1（判别极值存在的必要条件）设f可微,若/（x）在屮=（斗\兀0,・・・£0）取得极值且偏导数=/）存在，则/（X）在X。处的微分为零。8x.t证明（反证法）假设/（X）在才处取得极人值，不妨设/（X）在才处的微分不为0,则至少

存在一个量兀使的也（x=x°）h0再设ZU°）>0则

3xtlull红=Hillf'…'兀°）一'（X,，…,…）由极限的性MT0心a.itO+O Ax质知存在Ax>h>0使得/（护，…,心「,兀°+九…,兀,）一/（為°,…，兀「,兀°,…,£°）〉0h即/（才,…，兀「用+九…，兀°）>/（玳…,心「,兀°,…,兀°）这与/（x°）为极大值相矛盾则定理1成立。同理可以证得/（X）若在x°取得极小值则得竺（x=x°）=o此时的X0称为/（X）的稳oxi定点，由定理1知偏导数存在的函数的极值点必为稳定点，但稳定点不一定是极值点。如函数w=A>z其中（0,0,0）是它的稳定点，但不是的极值点。因在点（0,0,0）处函数的值为0,在此点的任一邻域内，函数既可以取得正直也可以取得负值。因此（0,0,0）不是函数W=A>Z的极值点。§3-3"元函数极值存在的充分条件3-3-1海赛矩阵设"元函数f（x）=f（xl,x2,--xn）在x°=（x1°,x2°,---xw°）点具有二阶连续偏导数并记人（*）人七（兀°）…厶乂3）、

f（x°）f（XQ） •…f（x°）为H代门=xz w w 此矩阵称为/在点的Hessian矩阵。••••••••••••厶卫。）fvsxQ）...由二阶偏导数的连续性知比曲是实对称矩阵。3-3-2定理2（第一充分条件）若函数/*（"）=于（不,“2,…兀）在=（坷°，无°，…兀,）处连续且在t/°（x°）内可微，如果f厶（心兀,…,兀）（兀—兀°）<0,（或土厶3,七,…，兀）（忑一兀°）>0）且/=!/=!(x1,x2,---xn)Gt/0(x0),则函数f(xl,x2,---xn)在x°=(x10,x20,---x/j°)处有极大值(或极小值)。证明：设n元函数/U)=/(x1,x2,...xn),x°=(x1°,x2°,...x/j0)Gt/°(x°)令/(，)=/(X,+心一兀°),•••,x”°+心一兀,)’te［o,l］由条件知/⑴在处连续且在U°(x°)内可微，所以/(/)在［0,1］上连续且在(0,1)内可微，于是存在se(O,l)使得/(1)-/(0)=/(5)即/w-/a°)=4(V+s(x-聲)，…,x°+s(x一x°))(x-聲)+•••+£”(X1°+S(X一兀°)，…,xn+S(x~Xn))(X~Xn)1r=-/^©，…，©。(厲-兀门+…+厶/久…‘卽何-兀：)］〉。或(<0)则/(x)<f(x°)或/(x)>f(x°)即f(x)在处取得极人值(或极小值)3-3-3定理3(第二充分条件)设函数/(%)=f(Xl9X29---Xn)在点X。=(才,耳°,…兀°)邻近至少是二阶连续可微的,X。是f的一个稳定点(/(X0)=0,z=1,•••/?;f..(X0)=0,i,J=1,•••/?)如果函数/■在点x°的Hessian方阵(门是正定的，那么/(x)在点x°取得极小值。如果函数/在x°的Hessian方阵日/曲是负定的，那么/(%)在点x°取得极大值。如果函数/在点%0的Hessian方阵H,。’是不定的，那么/(%)在点x°不取得极值。证明:考察函数f(x)=/(xpx2,...x„)在屮=(好,席,・7”°)点处的Taylor展开式：/W=/U°)+SA(〃)(兀-家)+£££厶的(兀--®。)/=1 乙・r,7=l+0(卜-一牙。~)

=/(*)+[人(F),人(小,…人(X。)]+£(兀一X]°, x2-x2°,…X”一兀°)+0(卜-x°「)=/(X°)+[厶(V5),人(/),•••£”(-v°)]Ar\兀一£°丿因此f在点x°能否取得极值取决于二次型Av77/Ar0Ax的符号Ax>0,Ar<0，当二次型心7力/曲心是正定二次型(即日心。丿是正定矩阵)即HH则在|Ax|足够小时f(x)-/(x°)>0,则f(x)在Ax>0,Ar<0，当二次型心7耳曲心是负定二次型(即(鬥是负定矩阵)即2H则在|纲足够小时/(x)-/(x°)<0,则/⑴在处取得极人值。当日几门不定时，则f(x)-f(xQ)的符号是不定的，则无极值。例1三元函数f(x,y,z)=x2+2y2+3z2+2x+4y-6z求它的极值。x=-l£=2x+2=0解由</v=4y+4=0=><[y=-1,x=-l£=6z-6=0[Z=-i二> 稳定点=(―1厂1、—1)人(X。)=2,人(X。)=0,人X)=0，人(X。)=0,4(x°)=4心匕°)二0,尢(小=0,人(X。)=0,尢(士)=6,

200=8>0,0400060\200\20又宀％可得04(00所以，Ht^Q）是正定的则/（兀丁⑵在点x°=（—1,-1厂1）处取得极小值即/(-L-l,-1)=(-1)2+2x(-l)2+3xl2+2x(-1)+4x(-1)-6xl=-63-3-4当f为二元函数对二元函数Z=f（x.y）在稳定点（X0,/）处£（兀°“°）=0/v（x°O,0）=0，令"=yQ）^=人（/，y°）=人CAy°）,w=人£才），（1）当％正定时，即（1）当％正定时，即u>0.uw-v2>0,则函数z=在点（X%/）处取得极小值。⑵当%（3）在二次矩阵H负定时，即u<0,wvv-v⑵当%（3）在二次矩阵H负定时，即u<0,wvv-v2>0,则函数2=/（兀刃在点IIf(x°) \)中因为MVV-V2>0,比W中至少有一个不为H-u=w=0时函数Z=/（・5y）在点（x\yQ）处不取得极值。3-3-5当/（X）为一元函数若/（Q在点*处有二阶连续的偏导数且/（x°）=0（1） 当f'\x°）>0时即巧曲=[f'（x°）]>0时/（X）在点x°处取得极小值。（2） 当f'\x°）<0时即色曲=[/”（/）]<0时/⑴在点兀。处取得极大值。第四章〃元函数的条件极值与拉格朗日乘数法§4-1定义定义1目标函数：在实际问题中我们要求某个函数使得其总能取得的值尽可能的人或小，来得到最好的效益，我们称这种能反映我们所期望的效益的函数为目标函数。定义2条件极值：在实际问题中，有时要考察这样的目标函数/（兀）=饷,兀,…兀田），（1）它的变元必须满足一定的约束条件了©）=人（兀,…,£+,）=0< ,（2）丿⑴=/（兀，…,£+,）=0我们有时需要求目标函数（1）在条件（2）的约束卞的极值这样的极值称为条件极值。§4-2条件极值存在的必要条件4-2-1在讨论之前先假定（1）和（2）中的函数均连续口I微且（2）中的各函数满足以下正则条件rank£L即表示矩阵的秩，条件（3）在一定的情况卞要变换形式，假定在所涉及的点邻近有°（人…丿）工0（4）于是在这些点附近由（2）可以解出兀+】，…，兀+J乂+产&（為，•••，£）« ,（5）…，兀）把（5）代入（1）可以得到这样一个函数兀,•••£,£（心£（兀，…,X”））（6）

于是条件极值问题就转化为求目标函数（6）的无条件极值问题，然而在实际运用中困难很大，因为从方程组（2）中解出（5）不容易。4.2.2我们可以采用一种简易的处理方法即拉格朗口提出的待定系数法：首先要定义一个含有/个待定乘数人…人的辅助函数（7）其次证明目标函数（1）在条件（2）的约束卜•的极值点都是这辅助函数的稳定点。定理4目标函数（1）在条件（2）的约束下在点b=（切,®，…化+J达到极值，那么存在兄=（人凡,…人）wR'使得@,刃是辅助函数（7）FQ）=/（%）+ 的稳定点r=l即b和兄应满足方程组：輕+立I,沁（b）=（U=l,.r+f<dxk$dxk （8）/；@）=0,厂=1,.../证明：如前所述，所讨论的条件极值问题等价于函数（6）的无条件极值问题，因而在点b=（b少，…也）处应有$=OJ=1,...〃即生+土卫一处=OJ=1,…,〃（9）- dX> 迦j=L&卄j而笑和卫—均在少少，…,b出）处取值，但邑在&,b、,…如处取值，i=1,•••/,）=1,…,/假定以后遇到类似的情形，同样去理解，由于计算隐函数偏导数的麻烦，有必要消去（9）中的d,我们可以用下面一些恒等式：dxi匕（心…（人，…oj,…，£（心…,£））=o,gi,…r）对这些恒等式两边对X.（/=!,..-7?）求偏导得到QufQuQs丄+工—一d= h…,/J=l…〃（10）将（10）中的各式分别乘以待定乘去，;=1兀+/乞数然后加到（9）上去，可以得到：6（坷,…乞）6（坷,…乞）°（£+1昇・・,兀出）（b）H0、（b=（几…叽）我们可选择备心…儿使得理+ix如）=（）对于这样选择的人,人,…人从（11）式又可以得到由（12）和（13）我们得到约束极值的必要条件：存在久=（人,心・・乂疋尺使得@説）适合方程组-—(Z?,2)=(7r(Z?)=0?r=为了讨论条件极值的充分条件的方便，我们将满足条件（2）的点X的集合记为P,设点b满足定理4中所述的必要条件，对于P上邻近于b的点X,i^h=x-b贝ij有f（b+h）-J（b）= 人+牙工c[（b）h[hk+ ||~）»（15）A=1 上*,/=lGX/OXk由于展式中的一阶导不一定为0,所以不能利用二阶导来判别极值是否存在，为了便于讨论，我们设法从（15）式中消去一阶项bwP,b+hwP,应有0=U@+h）_U「（b）,r=l,・rf用泰勒公式展开即得将（16）式中的各项分别乘以人説空…人，然后加到（15）式上（其中b和兄满足条定理5设（1）和（2）中的各函数至少是二阶连续且可微的，又设b和；I满足必要条件

（8）并记F（x,/l）=/（x）+工久“⑴如果方阵r=l是正定的（负定的）,A（8）并记F（x,/l）=/（x）+工久“⑴如果方阵r=l是正定的（负定的）,A7=1那么目标函数（1）在条件（2）的约束卞在b点取得严格极小值（严格极大值）。19例2曲线y2-x3=0（X>0,）Y0）与直线X—y-—=0之间距离最短的两点位置。解：设曲线上的点为（x,y）,直线上的点为@小）则这两点间的距离为即厂=(x-a)2+(y-b)2,(/>0)下面将采用拉格朗口乘数法求/的最小值。r r IQ令F(x9y,a,b)=l2+Al(y2-xi)+A2(a-b-—)r 194

r8

r，13"回

b=丄，54人=——,1 54入=-丄4

r8

r，13"回

b=丄，54人=——,1 54入=-丄・ 9Fx=2(x-a)-3人亍=0,Fy=2(y-b)-2Aly=09

化=-2(x-a)+A2=0,/r=_2(y_^)_22=0,解得<y2-x3=0(x>0、y>0)，ci-b-—=0.2713 1二丄）又因为A13 1二丄）又因为得到稳定点=(兀儿。上)=(恳,不 丿〜1八9271854J=2-6肚g=0,Fxa=一2,Fxb=0,Fyx=0,F>y=2+2备J=0,Fyb=-2Fax=-2凡=0代=2,珞=o,Fbx=0.Fhy=-2九=0屁=2,□1宀@°)=2-6人x ^.=2+2^=-所以Hessian矩阵为'90-2、02H =010-2皿8-2020<0-202丿

99 2H严一＞0#=99 2H严一＞0#=上2 ■门0（〉°耳=9-2OO1-80O<75_4--

冋O>8-3此时的矩阵既不正定也不负定，由于只有一个稳定点且问题本身决定它一定能够取得最小值,即在稳定点处能取得最小值,则曲线上的点（需）和直线上的点（篇心）即为所求。第五章总结和展望§5-1本文总结本文正文部分共分三章：第一章介绍极值和二次型的定义及相关的定理推论，第二章简介二次型与普通极值的关系主要系统介绍极值存在的必要条件和第一，第二充分件，并应用到二元和一元函数的情