理论力学06五点的运动学

1第二篇运动学理论力学2学习运动学的目的除了为后续课程打基础外，也可以直接用来解决工程实际问题，例如机构运动分析。参考系运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。因此，在描述物体的运动时都需要指明参考系。一般工程问题中，都取与地面固连的坐标系为参考系。主要内容包括建立机械运动的描述方法,即选择合适的参量对物体的机械运动进行数学描述。研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分解与合成的规律。运动的力学模型点和刚体运动学是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。而不考虑运动发生的原因。引言运动学引言3第五章点的运动学理论力学4§5-1矢量法1.运动方程显然矢端曲线就是动点的运动轨迹。2.点的速度3.加速度运动学第五章点的运动学51.运动方程如果取矢径的原点与直角坐标系的原点重合，则有如下关系§5-2

直角坐标法直角坐标表示的点的运动方程为以上也就是点的轨迹的参数方程2.点的速度

运动学第五章点的运动学63.加速度同理速度大小方向大小和方向为运动学第五章点的运动学7

一人在路灯下由灯柱起以匀速v沿直线背离灯柱行走。设人高AB=l，灯高OL=h，试求头顶影子M的速度和加速度。例题5-1vtxhOLABlxM运动学第五章点的运动学8解：取坐标轴Ox如图。由三角形相似关系，有即从而求得M点的直线运动方程

M点的速度而加速度a=0，即M点作匀速运动。vtxhOLABlxM例题5-1运动学第五章点的运动学9

椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M的轨迹方程。ACByOxMxy已知:例题5-2运动学第五章点的运动学10运动演示例题5-2运动学第五章点的运动学11ACByOxMxy

考虑任意位置，M点的坐标x，y可以表示成消去上式中的角j，即得M点的轨迹方程:解:例题5-2运动学第五章点的运动学12轨迹演示例题5-2运动学第五章点的运动学13思考题：M点的轨迹是什么曲线

？例题5-2运动学第五章点的运动学14轨迹演示例题5-2运动学第五章点的运动学15

在上例的椭圆规尺BC上固连一个半径是a/2的圆盘，圆心重合于A。求圆盘边缘上任一点M的运动方程和轨迹方程，已知角φ=t,其中

是常量。

yxABCOM例题5-3运动学第五章点的运动学16运动演示例题5-3运动学第五章点的运动学17

取固定坐标系Oxy，令∠MAC=2q,则M点在Oxy中的坐标为解:

将φ=t代入上式即可得到圆盘边缘上任一点M

的运动方程。另外，由上式可以看出，两个坐标x，y成正比，即

故

M点的轨迹是斜率为tanq并通过坐标原点的直线，上式即为其轨迹方程。例题5-3运动学第五章点的运动学

yxABCOM2q18轨迹演示例题5-3运动学第五章点的运动学19

对于圆盘边缘上不同的点，角q取不同的值。但所有各点均作直线运动，且轨迹通过原点O。

如令轴Oξ重合于M点的轨迹直线，则有代入φ=

t

，得M点沿Oξ的直线运动方程对于点B与C，角q=90o与0o，故有例题5-3运动学第五章点的运动学

yxABCOM2q20xyOACBl

曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且l>r，角=wt，其中w是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。例题5-4运动学第五章点的运动学21运动演示例题5-4运动学第五章点的运动学22考虑滑块B在任意位置，由几何关系得滑块B的坐标将φ=ωt代入上式得令λ=r/l，将上式的根式展开，有xyOACBl解:例题5-4运动学第五章点的运动学23略去λ4以及更高阶项，并利用关系滑块B的速度和加速度为xyOACBl则可表示为例题5-4运动学第五章点的运动学24§5-3自然法

以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置的方法叫自然法。该方法适用于动点的轨迹为已知的情况。1.弧坐标弧坐标表示的运动方程为

S=f(t)选定轨迹上的一点O为参考点，并设O点的某一侧为正向，动点M在轨迹上的位置由弧长s确定,s

称为动点M在轨迹上的弧坐标。运动学第五章点的运动学252.自然轴系运动学第五章点的运动学26运动学第五章点的运动学273.点的速度显然以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。经过t时间,点沿轨迹由M到M‘，矢径有增量，则运动学第五章点的运动学28(1)切向加速度（表示速度大小的变化）4.点的加速度(2)法向加速度（表示速度方向的变化）运动学第五章点的运动学29由图可知全加速度的大小方向为为轨迹曲线在点M处的曲率半径运动学第五章点的运动学30

飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2规律沿半径r=1500m的圆弧作机动飞行（如图），其中s以m计，t以s计，当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。OM0Mr例题5-5运动学第五章点的运动学31OM0Mr(-)s(+)v0vatana解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用自然法求解。取M0为弧坐标s的原点，s的正负方向如图所示。

当t=5s时，飞机的位置M可由弧坐标确定先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度例题5-5运动学第五章点的运动学32

故在这瞬时飞机的总加速度a的大小和方向为OM0Mr(-)s(+)v0vatanaq代入

t=5s

得例题5-5运动学第五章点的运动学33

销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，OA=R=0.1m。已知摆杆的转角（时间以s计，φ以rad计），试求销钉在t1=1/4s和t2=1s时的加速度。ROωφREDBCsO'Aθ-s+s例题5-6运动学第五章点的运动学34运动演示例题5-6运动学第五章点的运动学35

已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在A点，半径是R。选滑道上O'点作为弧坐标的原点，并以O'D为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标

但是，由几何关系知，且，将其代入上式，得这就是B点的自然形式的运动方程。解：

ROωφREDBCsO'Aθ-s+s例题5-6运动学第五章点的运动学36ROωφREDBCsO'Aθ-s+sB点的速度在切向上的投影vtB点的加速度a在切向的投影而在法向的投影atan例题5-6运动学第五章点的运动学37当

时,,，又

,。

可见,这时B点的加速度大小且a1沿切线的负向。

当t1=1s

时,

又可见，这时点B的加速度大小且a2沿半径B2A。a2=a1nADB1B2Rθ1Ea1=a1t例题5-6运动学第五章点的运动学38

半径是r的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。OHCDMxyφ例题5-7运动学第五章点的运动学39OAHBCDMxyφ

在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴x沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴y铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH

。于是，在图示瞬时动点M的坐标为解：1.求M点的运动方程。例题5-7运动学第五章点的运动学40

这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间T=2π/ω

，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。OAHBCDMxyφP

以代入，得M点的运动方程

对E例题5-7运动学第五章点的运动学41

求坐标x，y对时间的一阶导数，得故得M点速度v的大小和方向M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。OAHBCDMPxyφ2.求M点的瞬时速度。v例题5-7运动学第五章点的运动学42

求vx，vy对时间的一阶导数，得

故得M点加速度a的大小和方向，有

x=0,y=0;当t=0时，有

这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。OAHBCDMPExyφa3.求M点的瞬时加速度。例题5-7运动学第五章点的运动学43轨迹演示例题5-7运动学第五章点的运动学44

试求例7中轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。φOHCDMxyPav例题5-8运动学第五章点的运动学45解：因而它的切向加速度

注意，当时，而当时，；两者相差一个负号。在以后，M点进入另一个滚轮环，这里出现尖点，运动方向发生突然逆转，由突变为。OHCDMExyφ2πvata例题5-8运动学第五章点的运动学