天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含解析

2021-2021学年天津市南开中学滨海生态城学校高二第二学期期中数学试卷一、单项选择题〔共12小题〕.1．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，那么拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是〔〕A．0.97B．0.86C．0.65D．0.552．函数f〔x〕的定义域为R，导函数f'〔x〕的图象如下图，那么函数f〔x〕〔〕A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100附表：P〔K2≥k〕0.0500.0100.001k3.8416.63510.828由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关〞B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关〞C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关〞D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关〞4．8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为〔〕A．0，1B．1，2C．0，1，2D．0，1，2，35．X的分布列为X﹣101P121316且Y＝aX+3，E〔Y〕=73，那么A．1B．2C．3D．46．设两个正态分布N〔μ1，σ12〕〔σ1＞0〕和N〔μ2，σ22〕〔σ2＞0〕的密度曲线如下图，那么有〔〕A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ27．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为〔〕A．310B．925C．18．设函数f〔x〕＝ex+x﹣2，g〔x〕＝lnx+x2﹣3．假设实数a，b满足f〔a〕＝0，g〔b〕＝0，那么〔〕A．g〔a〕＜0＜f〔b〕B．f〔b〕＜0＜g〔a〕C．0＜g〔a〕＜f〔b〕D．f〔b〕＜g〔a〕＜09．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是〔〕A．81B．64C．24D．1610．〔1+2x2〕〔1+x〕4的展开式中x3的系数为〔〕A．12B．16C．20D．2411．函数f〔x〕＝ex﹣mx+1的图象为曲线C，假设曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，那么实数m的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1e〕B．〔1e，+∞〕C．〔1e，e〕D．〔e12．假设函数f(x)=4axA．〔1，2]B．〔2，4]C．〔3，4]D．〔3，5〕二.填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分.13．f〔x〕＝x〔2021+lnx〕，假设f'〔x0〕＝2021，那么x0＝．14．随机变量ξ服从正态分布N〔3，σ2〕，且P〔ξ＞2〕＝0.85，那么P〔3＜ξ＜4〕＝．15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是．16．〔x-2x17．假设函数f〔x〕=13x3-32x2+ax+4恰在[18．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，那么3次中恰有2次抽到黄球的概率是．19．f〔x〕＝lnx，g〔x〕=12x2+mx+72〔m＜0〕，直线l与函数f〔x〕，g〔x〕的图象都相切，且与函数f〔x〕的图象的切点为〔1，20．函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f〔x〕+xf'〔x〕＞0，且f〔3〕＝0，那么不等式xf〔x〕＞0的解集是．三、解答题：本大题共4小题，共50分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.21．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2021年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题〞和2道“智慧生活题〞中任选3道作答〔每道题被选中的概率相等〕，设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题〞的个数．〔Ⅰ〕求该选手恰好选中一道“智慧生活题〞的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的分布列及数学期望．22．甲，乙两人进行定点投篮活动，他们每投篮一次投中的概率分别是23和3〔Ⅰ〕甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中〞为事件A，求事件A发生的概率；〔Ⅱ〕甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；〔Ⅲ〕甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望．23．函数f〔x〕＝x3+32ax2﹣x+1〔a〔Ⅰ〕当a＝2时，求曲线y＝f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕当a＜0时，设g〔x〕＝f〔x〕+x．〔i〕求函数g〔x〕的极值；〔ii〕假设函数g〔x〕在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数a的值．24．函数h〔x〕＝x2ex，f〔x〕＝h〔x〕﹣aex〔a∈R〕．〔Ⅰ〕求函数h〔x〕的单调区间；〔Ⅱ〕假设∃x1，x2∈〔1，2〕，且x1≠x2，使得f〔x1〕＝f〔x2〕成立，求a的取值范围；〔Ⅲ〕假设函数f〔x〕有两个不同的极值点x1，x2，求证：f〔x1〕f〔x2〕＜4e﹣2．参考答案一、单项选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.〕1．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，那么拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是〔〕A．0.97B．0.86C．0.65D．0.55【分析】在回归分析中，模型的相关指数R2越接近于1，其拟合效果就越好．解：四种模型的相关指数R2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，那么拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R2的值是0.97．应选：A．【点评】此题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，是根底题．2．函数f〔x〕的定义域为R，导函数f'〔x〕的图象如下图，那么函数f〔x〕〔〕A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′〔a〕＝0，f′〔b〕＝0，f′〔c〕＝0，f′〔d〕＝0．x＜a，函数是增函数，x∈〔a，b〕函数是减函数，x∈〔b，c〕，函数在增函数，x∈〔c，d〕函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．应选：C．【点评】此题考查函数的导数的应用，极值点的判断，考查数形结合以及函数思想的应用．3．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．非一线一线总计愿生452065不愿生132235总计5842100附表：P〔K2≥k〕0.0500.0100.001k3.8416.63510.828由K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关〞B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关〞C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关〞D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关〞【分析】根据K2=100×(45×22-20×13)2解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，K2=100×(45×22-20×13∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关〞，应选：C．【点评】此题考查独立性检验的应用，考查计算能力，属于根底题．4．8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值为〔〕A．0，1B．1，2C．0，1，2D．0，1，2，3【分析】利用条件直接推出ξ的取值即可．解：8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值可以是0，1，2．应选：C．【点评】此题列出离散型随机变量的取值的判断，根本知识的考查．5．X的分布列为X﹣101P121316且Y＝aX+3，E〔Y〕=73，那么A．1B．2C．3D．4【分析】利用期望的计算公式，计算出EX，再由期望的性质，Y＝aX+3，EY＝aEX+3求出a即可．解：先求出EX＝〔﹣1〕×12+0×再由Y＝aX+3得EY＝aEX+3．∴73=a〔-1应选：B．【点评】此题考查离散型随机变量的期望及期望的性质，属根本运算的考查，根底题．6．设两个正态分布N〔μ1，σ12〕〔σ1＞0〕和N〔μ2，σ22〕〔σ2＞0〕的密度曲线如下图，那么有〔〕A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【分析】从正态曲线关于直线x＝μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖〞，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高〞，表示总体的分布越集中，由此可得结论．解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，正态曲线越“瘦高〞，表示取值越集中，σ越小，∴σ1＜σ2应选：A．【点评】此题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于根底题．7．从装有3个红球2个白球的袋子中先后取2个球，取后不放回，在第一次取到红球的条件下，第二次取到红球的概率为〔〕A．310B．925C．1【分析】根据条件概率的计算方法，先求出取两次球，第一次取到红球的取法数，然后求出第一、二次都取得红球的取法数，代入公式计算即可．解：因为共有3个红球2个白球，所以先后取2个球，取后不放回，第一次取到红球的取法数为：C3第一、二次都取到红球的取法数为：C3故所求的概率P=6应选：C．【点评】此题主要考查条件概率的计算方法以及计数原理的应用，要注意对条件概率的理解，属于根底题．8．设函数f〔x〕＝ex+x﹣2，g〔x〕＝lnx+x2﹣3．假设实数a，b满足f〔a〕＝0，g〔b〕＝0，那么〔〕A．g〔a〕＜0＜f〔b〕B．f〔b〕＜0＜g〔a〕C．0＜g〔a〕＜f〔b〕D．f〔b〕＜g〔a〕＜0【分析】先判断函数f〔x〕，g〔x〕在R上的单调性，再利用f〔a〕＝0，g〔b〕＝0判断a，b的取值范围即可．解：①由于y＝ex及y＝x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f〔x〕＝ex+x﹣2在R上单调递增，分别作出y＝ex，y＝2﹣x的图象，∵f〔0〕＝1+0﹣2＜0，f〔1〕＝e﹣1＞0，f〔a〕＝0，∴0＜a＜1．同理g〔x〕＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g〔1〕＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g〔3〕=ln3+(3)2-3=12∴g〔a〕＝lna+a2﹣3＜g〔1〕＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，f〔b〕＝eb+b﹣2＞f〔1〕＝e+1﹣2＝e﹣1＞0．∴g〔a〕＜0＜f〔b〕．应选：A．【点评】熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．9．4名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程，每人限报其中一个课程，不同报法的种数是〔〕A．81B．64C．24D．16【分析】利用排列、组合中的乘法原理求得结果．解：∵每名同学都有3种报名方案，∴四名同学共有3×3×3×3＝81种报名方案．应选：A．【点评】此题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用，属于根底题．10．〔1+2x2〕〔1+x〕4的展开式中x3的系数为〔〕A．12B．16C．20D．24【分析】利用二项式定理、排列组合的性质直接求解．解：〔1+2x2〕〔1+x〕4的展开式中x3的系数为：1×C43应选：A．【点评】此题考查展开式中x3的系数的求法，考查二项式定理、排列组合的性质等根底知识，考查推理能力与计算能力，属于根底题．11．函数f〔x〕＝ex﹣mx+1的图象为曲线C，假设曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，那么实数m的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，1e〕B．〔1e，+∞〕C．〔1e，e〕D．〔e【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为〔ex﹣m〕e＝﹣1，有解，即可得到结论．解：函数的f〔x〕的导数f′〔x〕＝ex﹣m，假设曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，那么切线斜率k＝ex﹣m，满足〔ex﹣m〕e＝﹣1，即ex﹣m=-1即m＝ex+1∵ex+1∴m＞1应选：B．【点评】此题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决此题的关键．12．假设函数f(x)=4axA．〔1，2]B．〔2，4]C．〔3，4]D．〔3，5〕【分析】根据分段函数的表达式，先判断当x＞0时，函数的极值，结合函数极值与0的关系，建立不等式进行求解即可．解：当x≥0时，f′〔x〕＝3x2﹣a，∵a＞0且a≠1，∴f′〔x〕＝3x2﹣a＝0一定有两个根，由f′〔x〕＝0得x=a3或x那么当x=a3时，函数f〔x〕在x＞0时，取得极小值也是最小值f〔a3〕极小＝〔a3〕3﹣即当x＞0时，f〔x〕最多有两个零点，∵f〔0〕＝2＞0，∴此时f〔a3〕极小＝〔a3〕3﹣a•得23a329＞2，即a32＞3那么当x≤0时，f〔x〕为单调增函数，那么此时只有一个零点，∵当x≤0时，﹣a＜f〔x〕≤4﹣a，∴要使f〔x〕有三个零点，那么4-a≥0-a＜0得a≤4a＞0得0＜a综上3＜a≤4，即实数a的取值范围是〔3，4]，应选：C．【点评】此题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数的解析式，结合函数极值和零点关系是解决此题的关键．一、选择题13．f〔x〕＝x〔2021+lnx〕，假设f'〔x0〕＝2021，那么x0＝1．【分析】先求导数，然后令f'〔x0〕＝2021，解出x0即可．解：由得f′〔x〕＝2021+lnx，令2021+lnx0＝2021，∴lnx0＝0，∴x0＝1．故答案为：1．【点评】此题考查导数的运算，属于根底题．14．随机变量ξ服从正态分布N〔3，σ2〕，且P〔ξ＞2〕＝0.85，那么P〔3＜ξ＜4〕＝0.35．【分析】由求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P〔2＜ξ＜3〕，那么答案可求．解：∵随机变量ξ服从正态分布N〔3，σ2〕，∴μ＝3，∵P〔ξ＞2〕＝0.85，∴P〔2＜ξ＜3〕＝0.85﹣0.5＝0.35，那么P〔3＜ξ＜4〕＝P〔2＜ξ＜3〕＝0.35，故答案为：0.35．【点评】此题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于根底题．15．要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同方法的种数是60．【分析】此题根据排列的定义可列出组合式，计算可得结果．解：由题意，根据排列的定义，可知一共有A53=5×故答案为：60．【点评】此题主要考查排列的应用．考查了定义法，逻辑推理能力和数学运算能力．此题属根底题．16．〔x-2x〕6的展开式中常数项是【分析】据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解：展开式的通项为Tr+1＝〔﹣2〕rC6rx3﹣r令3﹣r＝0得r＝3所以展开式的常数项为〔﹣2〕3C63＝﹣160故答案为：﹣160．【点评】二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．17．假设函数f〔x〕=13x3-32x2+ax+4恰在[﹣1，4]上单调递减，那么实数a的值为【分析】原函数是一个三次多项式函数，因此考虑用导函数的方法研究它的单调性．先求出f′〔x〕＝x2﹣3x+a，函数f(x)=13x3-32x2+ax+4，恰在[﹣1，4]上递减，说明f解：先求出f′〔x〕＝x2﹣3x+a，∵函数f(x)=13x∴不等式f′〔x〕≤0的解集恰好是[﹣1，4]，也就是说：方程x2﹣3x+a＝0的根是x1＝﹣1，x2＝4用一元二次方程根与系数的关系，得：-1+4=3所以a＝﹣4故答案为：﹣4【点评】此题以三次多项式函数为例，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．深刻理解一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，是解决好此题的关键．18．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，那么3次中恰有2次抽到黄球的概率是54125【分析】每次取到黄球的概率均为35，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k解：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率均为35∴3次中恰有2次抽到黄球的概率为：P=C故答案为：54125【点评】此题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等根底知识，考查运算求解能力，是中档题．19．f〔x〕＝lnx，g〔x〕=12x2+mx+72〔m＜0〕，直线l与函数f〔x〕，g〔x〕的图象都相切，且与函数f〔x〕的图象的切点为〔1，f〔1〕〕，那么m的值为【分析】由题意，f′〔x〕=1x，g′〔x〕＝x+m〔m＜0〕，从而可得直线l的斜率为k＝f′〔1〕＝1，切点为〔1，0〕；从而求出直线方程，联立令△＝0求解：由题意，f′〔x〕=1x，g′〔x〕＝x+m〔故直线l的斜率为k＝f′〔1〕＝1，切点为〔1，0〕；故直线l的方程为y＝x﹣1；即x﹣y﹣1＝0；由12x2+mx+72=y，y＝xx2+2〔m﹣1〕x+9＝0；故4〔m﹣1〕2﹣4×9＝0，解得，m＝﹣2〔m＜0〕；故答案为：﹣2．【点评】此题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了根本不等式的应用，属于中档题．20．函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f〔x〕+xf'〔x〕＞0，且f〔3〕＝0，那么不等式xf〔x〕＞0的解集是〔﹣∞，﹣3〕∪〔3，+∞〕．【分析】令g〔x〕＝xf〔x〕，g′〔x〕＝f〔x〕+xf'〔x〕，当x＞0时，f〔x〕+xf'〔x〕＞0，可得x∈〔0，+∞〕上，函数g〔x〕单调递增．由f〔3〕＝0，可得g〔3〕＝0．由函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，可得函数g〔x〕是定义在R上的偶函数．进而得出不等式的解集．解：令g〔x〕＝xf〔x〕，g′〔x〕＝f〔x〕+xf'〔x〕，当x＞0时，f〔x〕+xf'〔x〕＞0，∴x∈〔0，+∞〕上，函数g〔x〕单调递增．f〔3〕＝0，∴g〔3〕＝0．∵函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，∴函数g〔x〕是定义在R上的偶函数．由g〔x〕＞0＝g〔3〕，即g〔|x|〕＞g〔3〕，∴|x|＞3，解得x＞3，或x＜﹣3．∴不等式xf〔x〕＞0的解集是〔﹣∞，﹣3〕∪〔3，+∞〕．故答案为：〔﹣∞，﹣3〕∪〔3，+∞〕．【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，共50分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.21．每年9月第三个公休日是全国科普日．某校为迎接2021年全国科普日，组织了科普知识竞答活动，要求每位参赛选手从4道“生态环保题〞和2道“智慧生活题〞中任选3道作答〔每道题被选中的概率相等〕，设随机变量ξ表示某选手所选3道题中“智慧生活题〞的个数．〔Ⅰ〕求该选手恰好选中一道“智慧生活题〞的概率；〔Ⅱ〕求随机变量ξ的分布列及数学期望．【分析】〔Ⅰ〕设该选手恰好选中一道“智慧生活题〞为事件A，利用古典概型求解即可．〔Ⅱ〕ξ＝0，1，2；求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．解：〔Ⅰ〕设该选手恰好选中一道“智慧生活题〞为事件A，那么P〔A〕=C〔Ⅱ〕ξ＝0，1，2；P〔ξ＝0〕=C43C63=15；P〔ξ＝1〕=X012P153515故X的期望E(X)=0×1【点评】此题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是根本知识的考查，根底题．22．甲，乙两人进行定点投篮活动，他们每投篮一次投中的概率分别是23和3〔Ⅰ〕甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中〞为事件A，求事件A发生的概率；〔Ⅱ〕甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；〔Ⅲ〕甲投篮5次，投中次数为ξ，求ξ＝2的概率和随机变量ξ的数学期望．【分析】〔Ⅰ〕从对立面的角度，先求出甲乙两人都未投中的概率，再根据对立事件的概率进行计算即可；〔Ⅱ〕随机变量X的可能取值为0，1，2，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个X的取值即可得分布列，进而求出数学期望；〔Ⅲ〕随机变量ξ～B〔5，23解：〔Ⅰ〕设甲投中为事件B，乙投中为事件C，那么P(B∴P(A)=1-P(B〔Ⅱ〕随机变量X的可能取值为0，1，2，P〔X＝0〕=13×25=215，P〔X＝1〕∴X的分布列为X012P272∴数学期望E〔X〕=0×2〔Ⅲ〕随机变量ξ～B〔5，23∴P〔ξ＝2〕=C数学期望E〔ξ〕=5×2【点评】此题考查独立事件的概率、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列与数学期望，还有二项分布的数学期望，考查学生灵活运用知识的能力和运算能力，属于根底题．23．函数f〔x〕＝x3+32ax2﹣x+1〔a〔Ⅰ〕当a＝2时，求曲线y＝f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕当a＜0时，设g〔x〕＝f〔x〕+x．〔i〕求函数g〔x〕的极值；〔ii〕假设函数g〔x〕在[1，2]上的最小值是﹣9，求实数a的值．【分析】〔Ⅰ〕求出导数，再求出f〔1〕，f′〔1〕，然后代入直线的点斜式，求出切线方程；〔Ⅱ〕〔i〕求出导数的零点，然后判断零点左右的符号，确定极值情况；〔ii〕因为函数连续，所以只需综合极值、端点处函数值，大中取大，小中取小，确立函数的最值．解：〔Ⅰ〕当a＝2时，f〔x〕＝x3+3x2﹣x+1，f′〔x〕＝3x2+6x﹣1，∴k＝f′〔1〕＝8，f〔1〕＝4，故切线方程为y﹣4＝8〔x﹣1〕，即：8x﹣y﹣4＝0．〔Ⅱ〕〔i〕g〔x〕＝f〔x〕+x＝x3+32a∴令g′〔x〕＝3x2+3ax＝3x〔x+a〕＝0得x1＝0，x2＝﹣a＞x1．随着x的变化，g〔x〕和g′〔x〕的变化如下：x〔﹣∞，0〕0〔0，﹣a〕﹣a〔﹣a，+∞〕g′〔x〕+0﹣0+g〔x〕↑极大值↓极小值↑所以g〔x〕的极大值是g〔0〕＝1；极小值为g〔﹣a〕=a〔ii〕g′〔x〕＝3x2+3ax＝3x〔x+a〕，〔1〕当﹣1≤a＜0时，g′〔x〕≥0，g〔x〕在[1，2]内递增，g〔x〕min＝g〔1〕=3〔2〕当﹣2＜a＜﹣1时，那么x，g′〔x〕，g〔x〕关系如下：x〔1，﹣a〕﹣a〔﹣a，2〕g′〔x〕﹣0＝g〔x〕↓极小值↑g〔x〕min＝g〔﹣a〕=1〔3〕当a≤﹣2时，g〔x〕在[1，2]内单调递减，g〔x〕min＝g〔2〕＝6a+9＝﹣9，a＝﹣3．综上可知，a＝﹣3．【点