高中数学331利用导数判断函数单调性

利用导数判断函数的单一性(2)重点精讲从函数图象出发，经过数形联合的方法直观认识可导函数的单一性与其导数的关系，熟练掌握用导数的符号鉴别函数增减性的方法．典型题分析【例1】已知f(x)2x122，g(x)x21，求函数f[g(x)]的单一递加区间.【剖析】先求函数f(x)再求函数的导数f(x),求函数f(x)单一递加区间等阶于求导数f(x)0.【解】设F(x)f[g(x)]2[g(x)1]222x2228x21022x4则F'(x)8x316x，令F'(x)8x316x0解得：

2x0，或

x

2因为

F(x)

是

R上的连续函数，所以函数

f[g(x)]

的单一递加区间为2，0和2，【例2】已知定义在实数集R上的函数f(x)ax3bx2cxd,此中a,b,c,d是实数．（1）若函数f(x)在区间(,1)和(3,)上都是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，而且f(0)7,f(0)18,求函数f(x)的表达式；（2）若a,b,c知足b23ac0，求证：函数f(x)是单一函数.【剖析】函数f(x)在区间(,1)和(3,)上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数转化为－1和3必是f(x)0的两个根．列方程求出函数f(x)的表达式.【解】（1）f(x)3ax22bxc.由f(0)18得c18,即f(x)3ax22bx18.又因为f(x)在区间(,1)和(3,)上是增函数，在区间（－1，3）上是减函数，所以－1和3必是f(x)0的两个根．进而3a2b180,解得a2,27a6b180.b6.又依据f(0)7得d7,所以f(x)2x36x218x7.（2）f(x)3ax22bxc.由条件b23ac0,可知a0,c0.因为f(x)为二次三项式，而且(2)24(3)4(b23)0，bacac所以，当a0时,f(x)0恒建立，此时函数f(x)是单一递加函数；当a0时,f(x)0恒建立，此时函数f(x)是单一递减函数．所以，对随意给定的实数a，函数f(x)老是单一函数．【例3】已知f(x)=4xax22x3(xR)在区间[－1，1]上是增函数．务实数a的值构成3的会合A．【剖析】此题主要考察函数的单一性，导数的应用和不等式等相关知识，考察数形联合及分类议论思想和灵巧运用数学知识剖析问题和解决问题的能力．【解】∵f＇(x)=4+2ax2x2,又f(x)在[－1，1]上是增函数，f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒建立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒建立．①设(x)=x2－ax－2，方法一：(1)=1－a－2≤0，①－1≤a≤1，(－1)=1+a－2≤0．∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a|－1≤a≤1}．方法二：a≥0，a＜0，22①或(－1)=1+a－2≤0(1)=1－a－2≤00≤a≤1或－1≤a＜0－1≤a≤1．∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0A={a|－1≤a≤1}．【例4】设a0，求函数f(x)xln(xa)(x(0,)的单一区间．【剖析】所设的函数含有参数a，议论函数单一区间时，应顾及a值的影响．这样也就考查了分类议论的数学方法，加强了试题对能力的考察功能．利用f(x)0,xDf(x)在D内单一递加．f(x)0,xDf(x)在D内单一递减解决此类问题．11(x0)．【解】f(x)xa2x当a0,x0时f(x)0x2(2a4)xa20．（i）当a1时，对全部x0，有x2(2a4)a20．即f(x)0，此时f(x)在(0,)内单一递加．（ii）当a1时，对x1，有x2(2a4)xa20，即f(x)0，此时f(x)在（0，1）内单一递加，又知函数f(x)在x=1处连续，所以，函数f(x)在（0，+）内单一递加（iii）当0a1时，令f(x)0，即x2(2a4)xa20．解得x2a21a,或x2a21a．所以，函数f(x)在区间(0,2a21a)内单一递加，在区间(2a21a,)内也单一递加．令f(x)0,即x2(2a4)xa20，解得2a21ax2a21a．所以，函数f(x)在区间（2a-21a,2a21a)内单一递减．规律