一元二次方程的认识及解法VIP

千里之行，始于足下。第2页/共2页精品文档推荐一元二次方程的认识及解法

知识点

A要求

B要求

Ｃ要求

一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为普通形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义

能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所

含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值

一元二次方程的解法明白配办法，会用直截了当开平办法、配办法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，明白各种解法的依据

能挑选恰当的办法解一元二次方程；

会用方程的根的判不式判不方程根的事情

能利用根的判不式讲明含有字母系数的一元二次

方程根的事情及由方程根的事情确定方程中待定系数的取值范围；会用配办法对代数式做简单的

变形；会应用一元二次方程解决简单的实际咨询题

一、一元二次方程的定义

一元二次方程：只含有一具未知数，同时未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的普通形式：20(0)axbxca++=≠，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．⑴要推断一具方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：

①一元二次方程是整式方程，即方程的两边基本上对于未知数的整式．②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一具未知数．

③一元二次方程是二次方程，也算是方程中未知数的最高次数是2．

⑵任何一具对于x的一元二次方程通过整理都能够化为普通式20axbxc++=()0a≠．

要特殊注意关于对于x的方程20axbxc++=，当0a≠时，方程是一元二次方程；当0a=且0b≠时，方程是一元一次方程．

⑶对于x的一元二次方程式20axbxc++=()0a≠的项与各项的系数．2ax为二次项，其系数为a；bx为一次项，其系数为b；c为常数项．

二、一元二次方程的解法

１．一元二次方程的解法：

⑴直截了当开平办法：适用于解形如2()(0)xabb+=≥的一元二次方程．⑵配办法：解形如20(0)axbxca++=≠的一元二次方程，知识点睛

中考要求

一元二次方程的认识及解法

②常数项右移．

③配方（两边并且加上一次项系数一半的平方）．

④化成2

()xmn+=的形式．

⑤若0n≥，选用直截了当开平办法得出方程的解．⑶公式法：

设一元二次方程为()200axbxca++=≠，其根的判不式为：24bac?=-，12,xx是方程的两根，则：

⑴0?>?方程()2

00axbxca++=≠有两个别相等的实数根1,2x．

⑵0?=?方程()200axbxca++=≠有两个相等的实数根122b

xxa

==-．

⑶0?<?方程()2

00axbxca++=≠没有实数根．

若a、b、c为有理数，且?为完全平方式，则方程的解为有理根；

若?为彻底平方式，并且b-2a的整数倍，则方程的根为整数根．运用公式法解一元二次方程的普通步骤是：①把方程化为普通形式②确定a、b、c的值．③计算24bac-的值．

④若240bac-≥，则代入公式求方程的根．⑤若240bac-<，则方程无解．

⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一具易于分解的多项式．

2．一元二次方程解法的灵便运用

直截了当开办法，配办法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当依照题目的特点挑选适当的解法．⑴因式分解法：适用于右边为0（或可化为0），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的办法．

⑵公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为普通形式，并计算24bac-的值．

⑶直截了当开平办法：用于缺少一次项以及形如2axb=或()()2

0xabb+=≥或

()

2

axb+=()2

cxd+的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．

⑷配办法：配办法是解一元二次方程的基本办法，而公式是由配办法演绎得到的．把一元二次方程的普通形式20axbxc++=（a、b、c为常数，0a≠）转化为它的简单形式2AxB=，这种转化办法算是配方，具体办法为：

2

axbxc++2

2222244424bbbbacbaxxcaxaaaaa????-??=+++-=++

?????????．因此方程2

0axbxc++=（a、b、c为常数，0a≠）就转化为2

2424bacbaxaa-?

?++

??

?的形式，即2

22424bbacxaa-?

?+=??

?，之后再用直截了当开平办法就可得到方程的解．

三、可化为一元二次方程的特别方程

解方程的基本思想：

化分式方程为整式方程

化高次方程为一次或二次方程化多元为一元

化无理方程为有理方程

总之：最终转化为一元一次方程或一元二次方程．解方程的基本办法：

解整式方程：普通采纳消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），落次（换元落次、因式

解无理方程：普通采纳两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等办法．

一、一元二次方程的定义

【例1】m为何值时，对于x的方程2

(2)(3)4mmxmxm-+=是一元二次方程．

【例2】已知方程2240abxxx--+=是对于x的一元二次方程，求a、b的值．

【例3】已知对于x的方程22(2)1axaxx--=-是一元二次方程，求a的取值范围．

【例4】已知对于x的方程22()(2)xaax-=-是一元二次方程，求a的取值范围．

【例5】若2310ababxx+--+=是对于x的一元二次方程，求a、b的值．

【例6】已知方程20ababxxab+=是对于x的一元二次方程，求a、b的值．

【例7】若一元二次方程

222(2)3(15)40mxmxm-+++-=的常数项为零，则m的值为_________．

二、一元二次方程的解法

1．直截了当开平办法

【例8】解对于x的方程：()()22

2332xx+=+

【例9】解对于x的方程：()()22

425931xx-=-

【例10】解对于x的方程：224(2)(31)0xx=

【例11】解对于x的方程：251250x-=

【例12】解对于x的方程：2

2(31)85

x+=

【例13】解对于x的方程：2269(52)xxx-+=-例题精说

2．配办法

【例15】用配办法解方程：2640xx--=

【例16】用配办法解方程：22310xx++=

【例17】用配办法解方程:2420xx+-=

【例18】用配办法解方程:22810xx+-=

【例19】用配办法解方程：2420xx++=

【例20】用配办法解方程：211

063

xx+-=

【例21】用配办法解方程：231y+=

【例22】用配办法解方程：2250xx+-=

【例23】用配办法解方程：2510yy++=

【例24】用配办法解方程：2243yy-=-

【例25】用配办法解方程2420xx+-=

【例26】用配办法解方程：20axbxc++=（a、b、c为常数且0a≠）

【例27】配办法解方程：20xmxn++=

【例28】用配办法解对于x的方程20xpxq++=（pq，为已知常数）

3．公式法

【例29】解方程210xx--=

【例30】用公式法解方程：25720xx-+=

【例32】用公式法解方程：2362xx=-

【例33】用公式法解方程：23p+=

【例34】用公式法解方程：2952nn=-

【例35】解方程235(21)0xx++=

【例36】解方程(5)(7)1xx--=

【例37】解方程1

(61)432(2)2

xxxx++-=+

【例38】解方程：210xx--=

【例39】解方程：(5)(7)1xx--=

【例40】解方程：1

(61)432(2)2

xxxx++-=+

【例41】解方程：2320x-=

4．因式分解法

【例42】用因式分解法解方程：()()2

3430xxx-+-=

【例43】用因式分解法解方程：222320xmxmmnn-+--=（m、n为常数）

【例44】用因式分解法解方程：21

904

x-=

【例45】用因式分解法解方程：281030xx+-=

【例46】因式分解法解方程：26x-=

【例47】解方程：2(21)60xx--=．

【例48】若代数式2425xx--与221x+的值互为相反数，则x的值为多少？

【例49】解方程23440xx--=

【例50】解方程：23(5)2(5)xx-=-

【例51】解方程：2(21)36xx-=-

【例52】解方程22

5603

xx-+-=．

【例53】解方程2670xx--=

【例54】解方程3(5)14(5)xxx-=-

【例55】解方程：2(42)(21)xxx+=+

【例56】

229(2)16(1)0xx--+=

【例57】解对于x的方程22220xmxmn-+-=

【例58】解对于x的方程223421xaaxa+=-+

【例59】解对于x的方程：()

()()2220xpqxpqpqpq-+++-=

【例60】解方程2(21)36xx-=-

【例61】解方程229(2)16(1)0xx--+=

【例62】解方程：23440xx--=

【例63】解方程2(42)(21)xxx+=+

【例64】解方程23(5)2(5)xx-=-

【例65】解方程2(21)36xx-=-

【例66】解方程6(2)(2)(3)xxxx-=-+

【例67】解方程：23(32)(31)

323

yyyyy+--=+

【例68】解方程：22(34)(23)xx-=+

【例69】解方程：2(2)24xx+=+

5．换元法

【例70】解方程2(5)(5)4xx-=-+

三、含字母系数的一元二次方程的解法

【例71】解方程：22(32)60mxmxm-++=

【例72】解方程22(32)60mxmxm-++=

【例73】解对于x的方程：2(1)(21)30mxmxm-+-+-=．

【例74】解对于x的方程：2222(1)(1)(1)axxaxax-+--=-

四、含绝对值的一元二次方程的解法

【例75】解方程:2560xx--=．

【例76】解方程：320xxx-+=

【例77】绝对值方程(2)(3)41xxx-+=+-的别同实数解共有个．

【例78】已知对于x的方程222xxm-+=恰有三个实数根，求m的值．

【例79】方程34x

xxx

-=的实根的个数为．

【例80】设方程22140xx=．求满脚该方程的所有根之和．

【例81】请阅读下列材料：

咨询题：已知方程230xx+-=，求一具一元二次方程，使它的根分不是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为y，则2yx=．因此2

y

x=

把2yx=代入已知方程，得2

3022yy??

+-=???

化简，得22120yy+-=．故所求方程为22120yy+-=．

这种利用方程根的代换求新方程的办法，我们称为“换根法”．

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所有方程化为普通形式）：

⑴已知方程210xx+-=，求一具一元二次方程，使它的根分不是已知方程根的3倍，则所求方程为：；

⑵已知对于x的一元二次方程20axbxc++=有两个别等于零的实数根，求一具一元二次方程，使它的根分不是已知方程根的倒数；

⑶已知对于x的方程20xmxn-+=有两个实数根，求一具一元二次方程，使它的根分不是已知方程根的平方．

【例82】解方程42650xx-+=，这是一元四次方程，依照该方程的特点，它的通常解法是：

设2xy=，这么42xy=，于是原方程可化为2650yy-+=①，解那个方程得11y=，25y=．

当1y=时，21x=，1x=±；当5y=时，2x=

故原方程有四个根：11x=，21x=-，3x=4x=

⑴填空：由原方程得到①的过程中，利用法达到落次的目的，体现了的数学思想；⑵解方程()()2

224120xxxx=．

【例83】解方程：222(3)2(3)80xxxx+-+-=

【例84】解方程222(32)3(32)2xxxxx=+-++--．

【例85】解方程：()()()()1234120xxxx++++=．

【例86】方程32322(32)(47)615180xx