辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

xxxx，2＜2B．xN，2＜2C．∃x∉N，2＜2D∃x∈Nxn1xxxx，2＜2B．xN，2＜2C．∃x∉N，2＜2D∃x∈Nxn1nn152nnn228855555555学年辽宁省沈阳高二（上期末数学试（理科）一、选题（本大题小题，每小分，在每题给出四个选项中只有一项符合题目要的）1分）若4≤a≤，0≤b≤，则a+的取值范围是（）A，10）

B．410]

C，8

D．[8]2分）命题p“x∈N

+

，2≥2”否定为（）A．∀x∈N

++++

2＜3分）双曲线A．y=±x

=﹣1的渐近线方程是（）B．±xC．y=±xDy=±x4分）已知数列{a}的首项a=1且a=2a+1n≥a为（）﹣A．7．15C．30D．315分知△ABC的三个角A所对的边分别为aa

2

+b

2

﹣ab=c

2

，则C=（）A．

B．

C．

D．6分）若点（x，y）在不式组﹣y的取值范围是（）

表示的平面区域内运动，则t=xA．[﹣2﹣1

B．﹣21]

C．[﹣1，2

D．[2]7分）已知抛物线x=8y上的点到抛物线的焦点距离为则点的纵坐标为（）A．2．3C．4D．8知{a}是等差数列}是等比数列＞0恒成立a=b且a=b，则（）A．a≥b

B．≤b

C．a＞b

D．＜第1页（共19页）

nn36nnnnn22111nn36nnnnn221111119分）已知曲线C的方程为

=1aR且≠0“＞1”是曲线C是焦点在x轴上的双曲线”（）A．充分不必要条件．充要条件

B．必要不充分条件D既不充分也不必要条件10分）等比数列{}的前n项和为S，已知=1，=9则为（）A．8．4C．2D．11）在四面体ABCD中，E，分别是棱，AD的中点，设

=，

的值=，=，且A．

=

B．

，则，，z的值分别为（）C．D．12分）已知数列{a}的通项公式为a=sin

﹣kn，数列{a}的前项和为S，且{S}为递减数列，则实数的取值范围为（）A．k＞

B．

C．

D．二、填题（大题共小题，小题分，共20分）13分）已知椭圆的方程为

=1则该椭圆的离心率为．14分）已知命题设ab，∈，如ac＞bc，则＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为．15分）如图，在正方体ABCD﹣BCD中，E为B的中点，则异面直线AE与AD所成的角的余弦值为．第2页（共19页）

2n25nnn11112n25nnn11111111116分设∈R若x＞0时均（3ax﹣﹣ax﹣≥则

．三、解题（6小题，满分分）17知△ABC的三个内角A所对的边分别为aasinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，，求BC边上中线AD的长．18分）解关于x的一元二次不等式x（﹣2﹣30（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4﹣2a＜0（其中a∈R19分）已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（2（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于AB两点k∈1，2]，求弦长||的取值范围．20分）已知等差数列a}中，a=3a=9．（Ⅰ）求数列{a}的通项a和前n项和S；（Ⅱ）证明：命题“n∈，

”是真命题．21分如图在长方体ABCD﹣ABCD中AB=AD=2AA点F为CD的中点，点E在上，且CE=1（Ⅰ）证明：AE⊥平面ABD；（Ⅱ）求二面角F﹣DB的余弦值．第3页（共19页）

22分）已知椭圆

=1a＞b0的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12

．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ设AB分别为椭圆的左右顶点PQ是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点（﹣9mPQ为直径作圆C判断点A与圆C的位置关系，并说明理由．第4页（共19页）

xxxxx++xxxxxxx++xx年宁沈市（上期末学（科参考答案与试题解析一、选题（本大题小题，每小分，在每题给出四个选项中只有一项符合题目要的）1分）若4≤a≤，0≤b≤，则a+的取值范围是（）A，10）

B．410]

C，8

D．[8]【解答】解：4≤a8，0b2，则a+[10．故选：B．2分）命题p“x∈N

+

，2≥2”否定为（）A．∀x∈N+，2＜2B．x∉，2＜2C．∃x∉N，2＜2D∃x∈N+2＜【解答解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈

+

2≥2”的否定为：∃x∈N，2＜2．故选：D3分）双曲线A．y=±x

=﹣1的渐近线方程是（）B．±xC．y=±xDy=±x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程可知焦点在y轴，且b=2，故渐近线方程为y==第5页（共19页）

，

n1nn15nn1121324354nn154321nn1n1nn15nn1121324354nn154321nn11nn1n﹣nnn552222224分）已知数列{a}的首项a=1且a=2a+1n≥a为（）﹣A．7．15C．30D．31【解答】解一）∵=2a+1，a=1﹣a=2a+1=3a=2a+1=7a=2a+1=15a=2a+1=31（法二）∵a=2a+1﹣∴a=2a+1=4a+++15=31（法三）∴a+1=2（+1）﹣∵a+1=2∴{a+1}是以2为首项，以为等比数列∴a+1=2•2=2∴a=2

﹣1∴a=2﹣1=31故选：D5分知△ABC的三个角A所对的边分别为aa

2

+b

2

﹣ab=c

2

，则C=（）A．

B．

C．

D．【解答】解：由a+b﹣ab=c，可得：a+b﹣c=ab，根据余弦定理得：cosC=又∈（0，π

==，所以C=故选：B．

．第6页（共19页）

2222226分）若点（x，y）在不式组﹣y的取值范围是（）

表示的平面区域内运动，则t=xA．[﹣2﹣1

B．﹣21]

C．[﹣1，2

D．[2]【解答】解：先根据约束条件

画出可行域，由由

得B（0，得A0，1当直线t=xy过点A（0，1）时，t最小，最小是﹣当直线t=xy过点B（2，0时，t最大，最大是2，则t=xy的取值范围是[﹣12]故选：．7分）已知抛物线x=8y上的点到抛物线的焦点距离为则点的纵坐标为（）A．2．3C．4D．【解答】解：抛物x=8y的焦点坐标（02抛物x=8y上的点到抛物线的焦点距离为5可得P的纵坐标为：，第7页（共19页）

nnn22885555555522886622nnn228855555555228866222336552222322322322558知{a}是等差数列}是等比数列＞0恒成立a=b且a=b，则（）A．a≥b

B．≤b

C．a＞b

D．＜【解答】解：设公差为d，公比为q，则∵a=b，a=b，∴a+6d=aq，∴a（q﹣1）∴a﹣b=a+﹣aq=a（1q）+a（q﹣）=a（q﹣1∵a＞0﹣≥0，∴a（q﹣1）≥即有a≥b，故选：A．9分）已知曲线C的方程为

=1aR且≠0“＞1”是曲线C是焦点在x轴上的双曲线”（）A．充分不必要条件．充要条件

B．必要不充分条件D既不充分也不必要条件【解答】解：曲线C的方程为轴上的双曲线，则a≠0．

=1（∈R且a≠0曲线C是焦点在∴“a＞1”是“曲C是焦点x轴上的双曲线”充分不必要条件，故选：A．第8页（共19页）

nn36nn361nn36nn36110分）等比数列{}的前n项和为S，已知=1，=9则为（）

的值A．8

B．C．2D1【解答】解：∵等比数列{a}的前n项和为S，S=1，S，∴，解得a=，q=2，∴===2故选：．11）在四面体ABCD中，E，分别是棱，AD的中点，设

=，

=，=，且A．

=

B．

，则，，z的值分别为（）C．D．【解答】解：如图，根据条件，==

==又

；；∴故选：A．

．第9页（共19页）

nnnnnn1234567812345678n123568nnnnnnnnn1234567812345678n123568nnn1nnn1n12分）已知数列{a}的通项公式为a=sin

﹣kn，数列{a}的前项和为S，且{S}为递减数列，则实数的取值范围为（）A．k＞B．

C．

D．【解答】解：a=sin

﹣kn，可得a=1﹣，a=﹣2k，=﹣13k，a=﹣4k，a=1﹣5k，=﹣6k，=﹣17k，a=﹣8k，即有S=1﹣，S=1﹣，S=﹣6k，S=﹣10kS=1﹣S=1﹣，S=28k，S=﹣36k，由{S}为递减数列，可得S＞S＞S＞S＞S＞S＞S＞S，即为1﹣k＞1﹣3k＞﹣6k＞﹣10k＞15k＞﹣21k﹣28k＞﹣36k，解得＞，当n为4的倍数时，S=nn1）k，由S＞S，可得﹣n（1＞1﹣nn+k﹣（1）k，+解得＞，显然≤；当n为4的倍数加1时，=1nn+1k，由S＞S，可得1nn+1）k＞nn1）﹣（n+1）k，+解得＞0当n为4的倍数加2时，=1nn+1k，第10页（共19页）

nn1nnn12222由S＞S，可得1nn+1）k＞nn1）﹣（n+1）k，nn1nnn12222解得＞0当n为4的倍数加3时，=﹣nn+1），由S＞S，可得﹣n（1＞﹣nn+1﹣（n+1k，+解得＞0综上可得k的范围是k．故选：．二、填题（大题共小题，小题分，共20分）13分）已知椭圆的方程为

=1则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵椭圆的方程为

=1∴a==2

=

，∴该椭圆的离心率为e==故答案为：．

．14分）已知命题设ab，∈，如ac

＞bc

2

，则a＞b”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为

1

．【解答】解：若＞bc，则c≠0∴a＞b成立，即原命题为真命题，则逆否命题也为真命题．逆命题为：若a＞b，则ac

＞bc

2

．当c=0时，

＞bc

2

．不成立，∴逆命题为假命题，则否命题也为假命题．故逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有个．故答案为：1．第11页（共19页）

11111111111111212215分）如图，在正方体ABCD﹣BCD中，E为B的中点，则异面直线AE与AD所成的角的余弦值为111111111111112122【解答】解：以为原点，为x轴，AD为y轴，AA为轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣ABCD中棱长为2则A（0001，2（0，20，2，0=（102=（02，﹣设异面直线AE与AD所成的角为θ，则cos|cos＜，＞|==

=

．∴异面直线AE与AD所成的角的余弦值为故答案为：．

．16分设∈R若x＞时均（3ax﹣2﹣﹣2≥则a=

．【解答】解：构造函数y=3ax﹣2，y=x

﹣ax﹣它们都过定点P0，﹣第12页（共19页）

1222212考查函数y=3ax﹣2令y=0，得M（1222212考查函数y=x﹣ax﹣，显然过点M（

，0a＞0，0入得：﹣﹣2=0，解之得：a=故答案为：

，或﹣

（舍去三、解题（6小题，满分分）17知△ABC的三个内角A所对的边分别为aasinC=csinB．（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若B=30°，，求BC边上中线AD的长．【解答】解）∵asinC=csinB．∴利用正弦定理可得：ac=cb解得：a=b，∴△ABC为等腰三角形．（Ⅱ）如图所示：∵BC=AC，BC=2，∴C=120°，BD=1，∴AB=

=

=2

，∴△ABD中，AD=

=

=

．18分）解关于x的一元二次不等式x（﹣2﹣30（Ⅱ）解关于x的一元二次不等式（x﹣4﹣2a＜0（其中a∈R【解答】解）∵x（x﹣﹣30，∴x﹣2x﹣3＞0，解方程x﹣2x﹣3=0，得=﹣1，=3∴关于x的一元二次不等式x（x﹣2）﹣30的解集为{x|＜﹣1或x＞3}．第13页（共19页）

122212222222121n25nnn（Ⅱ）∵（x﹣﹣2a＜0其中122212222222121n25nnn∴（x﹣﹣2a）=0的解为x=4x=2a∴当2a4即a＞时，关于x的一元二次不等式（x﹣4﹣2a）＜为{x|4x＜；当2a4即a＜2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4﹣2a）＜为{x|2ax＜；当2a=4，即a=2时，关于x的一元二次不等式（x﹣4﹣2a）＜为．19分）已知顶点在原点的抛物线开口向右，且过点（2（Ⅰ）求该抛物线的标准方程；（Ⅱ若过该抛物线焦点F且斜率为k的直线l与抛物线交于AB两点k∈1，2]，求弦长||的取值范围．【解答】解）设抛物线的方程为（p＞代入点（1，2可得，∴抛物线的标准方程y

=4x；（Ⅱ）抛物线焦点坐标为F1，0∴直线l：y=k（﹣1设点A（x，y（x，y联立直线l：y=k（﹣1）与y

=4x，得：k

x

﹣（2k

+4）x+

=0则由韦达定理有：x+x=2则弦长||=

，xx=1=4+，∵∈[12]，∴∈[1，4]，∴弦长||的取值范围是58]．20分）已知等差数列a}中，a=3a=9．（Ⅰ）求数列{a}的通项a和前n项和S；第14页（共19页）

n25111n12n1111111111111111111（Ⅱ）n25111n12n1111111111111111111

+

，

”是真命题．【解答】解）设等差数列a}的公差为d由a=3，=9，可得a+d=3，a4d=9解得a=1，d=2，则a=a+（n1）﹣前n项和S=n12n﹣=n；（Ⅱ）证明：

==（﹣）＜，即有++…+=（1﹣﹣

=（1﹣+﹣+…+

﹣）则命题“∀n∈N

+，

”是真命题．21分如图在长方体ABCD﹣ABCD中AB=AD=2AA点F为CD的中点，点E在上，且CE=1（Ⅰ）证明：AE⊥平面ABD；（Ⅱ）求二面角F﹣DB的余弦值．【解答】证明∵在长方体ABCD﹣ABCD中，AB=AD=2，AA=4，点F为CD的中点，点在CC上，且CE=1∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系，A（200（2，（2，0，（2，2，00，，0第15页（共19页）

1111111=（﹣221•=01111111=0，

=（2，0，4

=（，2，0∴AE⊥DA，AE⊥DB，又DA∩DB=D，∴AE⊥平ABD．解Ⅱ）F（01，4

=（20，4

=（0，4

=（2，0设平面ADF的法向量=（x，y，则，取z=1，得=（﹣2，﹣，设平面ABD的法向量（a，bc则，取c=1，得=（﹣，2，设二面角F﹣ADB的平面角为θ，cosθ===

．∴二面角F﹣ADB的余弦值为

．22分）已知椭圆

=1a＞b0的离心率为，且椭圆的四个顶点相连得到的凸四边形的面积为12（Ⅰ）求椭圆的方程；

．第16页（共19页）

222222PPP22222QQQ（Ⅱ设AB分别为椭圆的左右顶点PQ是椭圆上不同于顶点的两个动点，且满足直线AP与直线BQ交于点（﹣9mPQ为直径作圆C判断点A与圆C的位置关系，并222222PPP22222QQQ【解答】解）由题意可得e==，2a2b=12

，a﹣b=c，解得c=1a=3，

，即有椭圆的方程为+

=1（Ⅱ）A（﹣30（30﹣9，mAM的方程为y=

（x+），代入椭圆的方程8x

2

+9y

2

=72，可得（32m）x+6mx+9m﹣288=0由﹣3x=

，解得x=

，y=

，m≠0BM的y=

（﹣），代入8x+9y=72，可得（128+m）x﹣6mx+9m﹣1152=0，由3x=

，解得x=

，y=

，由

=（，

=（，第17页（共19页）

．．．．．．．．．．．．．．．．即有

==

＜0即有∠PAQ为钝角，即点A在以PQ为直径的圆的内部．赠送—高中数知识点【】单性最大小值（）数的单调性①定义及判定方法函数的性质

定义如果对于属于定义域I内

图象

判定方法（）用定义某个区间上的任意两个

（利已知函数函数的

自变量的值x、,当x<时都有f(x)<f(x)，那么就说f(x)在这区间上是增数

o

f(x)

f(x)

的单调性（利函数图象（在某个区间图象上升为增）（利复合函数单调性

如果对于属于定义域I内

（）用定义某个区间上的任意两个

y

y=f(X)

（利已知函数自变量的值x当x<时都有f(x)>f(x)，那么就说f(x)在这区间上是减数

o

f(x)x

f(x)

x

x

的单调性（利函数图象（在某个区间图象下降为减）（利复合函数②公定域，个函的是函，个函的是减数增数去一减数增数减数去个函为函．③于合数yf[