七,八年级三角形的奥数题及其答案

-.z.《三角形综合》例题1：AD，EF，BC相交于O点，且AO＝OD，BO＝OC，EO＝OF．求证：△AEB≌△DFC例题2：P为正方形ABCD对角线BD上任一点，PF⊥DC，PE⊥BC．求证：AP⊥EF．例题3：△ABC的高AD与BE相交于H，且BH＝AC．求证：∠BCH＝∠ABC．例题4：在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD边上的点，∠PAQ＝45°．求证：PQ＝PB＋DQ．例题5：过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角平分线的垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED∥BC．例题6：如图，P是等边三角形ABC内部的一点，PA＝2，PB＝，PC＝4，求ΔABC的边长.例题7：如图（l)，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD＝∠APB=α。且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．(l）在图（3）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β。(2）在图（4）四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）.(3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图（2))，证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。例题8：已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。练习试题：1．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于．下列四个结论：；②以为圆心、为半径的圆与以为圆心、为半径的圆外切；③设则；④不能成为的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）2．如图1，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，、和分别表示△DNC、△DAC、△DBC的面积。当AB∥CD时，有＝(1)（1）如图2，若图1中AB与CD不平行时，(1)式是否成立？请说明理由。（2）如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，、和有何种相等关系？试证明你的结论。3．如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62o，则∠AEB的度数是【】（A）124o （B）122o （C）120o （D）118o4．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°.试探究MB、MN、之间的数量关系，并给出证明.5．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，点P是△ABC内的一点，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，且PA＝8，PC＝6，则PB＝_____________6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，，则__________7．（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.8．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：．9．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的*一个就能推出△ABC是等腰三角形的是__________________。（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①∠BAD＝∠ACD②∠BAD＝∠CAD，③AB＋BD＝AC＋CD④AB－BD＝AC－CD参考答案例题1、证明：△OAE≌△ODF，因为：二边及夹角（对等角）相等，得：AE=DF。

同理证得：△OBE≌△OCF，△OAB≌△OCD，得：EB=CF，AB=CD。

因为：AE=DF，EB=CF，AB=CD三边相等。

所以：△AEB≌△DFC例2F于点G延长EP交AB于M,延长FP交AD于N

∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点

∴PM=PF,PN=PE

又AMPN为矩形.

∴AN=PM=PF

∵∠EPF=∠BAC=90°

∴△PEF≌△ANP∴∠NAP=∠PFE

又∠NPA=∠FPG(对顶角)

∠NAP+∠NPA=90°

∴∠PFE+∠FPG=90°

∴∠PGF=180°-(∠PFE+∠FPG)=90°

∴AP⊥EF例3∵BH＝AC，∠BDH＝∠ADC＝90°，∠HBD＝∠CAD（这个知道的吧）

∴△BDH≡△ADC

∴HD＝CD，BD=AD

∴△HDC与△ABD是等腰直角三角形∴∠BCH＝∠ABD=45°例4：在CB的延长线上取点G，使BG＝DQ，连接AG

∵正方形ABCD

∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABG＝∠D＝90

∵BG＝DQ

∴△ABG≌△ADQ（SAS）

∴AQ＝AG，∠BAG＝∠DAQ

∵∠PAQ＝45

∴∠BAP+∠DAQ＝∠BAD-∠PAQ＝45

∴∠PAG＝∠BAP+∠BAG＝∠BAP+∠DAQ＝45

∴∠PAG＝∠PAQ

∵AP＝AP

∴△APQ≌△APG（SAS）

∴PQ＝PG

∵PG＝PB+BG＝PB+DQ

∴PB+DQ＝PQ例5、例6例7根据题意可知，所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点．因为在图形内部，所以不能是AC的端点，又由于α≠β，所以不是AC的中点．

（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求．（因为对称的两个图形完全重合）

（3）先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度．∴P1在AC上，同理，P2也在AC上，再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而，则△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称，P是对称轴上的点，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即点P是四边形的半等角点．解答：解：（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即给（4分）．

（2）画点B关于AC的对称点B’，延长DB’交AC于点P，点P为所求（不写文字说明不扣分）给（3分）．

（说明：画出的点P大约是四边形ABCD的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）

（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意，

∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，

∴∠AP1B+∠BP1C=180度．

∴P1在AC上，

同理，P2也在AC上．（9分）

在△DP1P2和△BP1P2中，

∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共，

∴△DP1P2≌△BP1P2．（11分）

所以DP1=BP1，DP2=BP1，DP2=BP2，于是B、D关于AC对称．

设P是P1P2上任一点，连接PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，

所以点P是四边形的半等角点．例8证明：（1）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，

由题意知，OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC

∴∠B=∠C，从而AB=AC。

（2）过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，EF分别是垂足，

由题意知，OE=OF。

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

∵OE=OF，OB=OC，

∴Rt△OEB≌Rt△OFE。

∴∠OBE=∠OCF，B=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD，∴AB=AC。

（3）解：不一定成立。

注：当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC；否则，AB≠AC，如示例图

练习13解：

∵等边△ABC、等边△CDE

∴AC=BC，CE=CD，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB=∠ECD=60

∵∠ACE=∠ACB-∠BCE，∠BCD=∠ECD-∠BCE

∴∠BCD=∠ACE

∴△ACE≌△BCD（SAS）

∴∠CBD=∠CAE

∵∠EBD＝62

∴∠CBD＝∠EBD-∠CBD＝62-∠CBE

∴∠CAE＝62-∠CBE

∴∠BAE＝∠BAC-∠CAE＝60-62+∠CBE＝-2+∠CBE

∴∠ABE+∠BAE＝60-∠CBE-2+∠CBE＝58

∴∠AEB＝180-（∠ABE+∠BAE）＝1224＋BM＝MN

证明：延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1

由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，

∠DBC＝∠DCB＝30°

∴∠ABD＝∠ACD＝90°

∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB＝∠M1DC，而DM＝DM1

∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°

又∵∠MDN＝60∴∠M1DN＝∠MDN＝60°

∴△MDN≌△M1DN∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝＋BM

即＋BM＝MN5（1）证明：

∵∠APB=∠BPC=∠CPA，三角之和是360º

∴∠APB=∠BPC=120º

∴∠PAB+∠PBA=180º-120º=60º

∠ABC=∠PBC+∠PBA=60º

∴∠PAB=∠PBC

∴⊿PAB∽⊿PBC【∠APB=∠BPC，∠PAB=∠PBC】

（2）解：

∵⊿PAB∽⊿PBC

∴PA/PB=PB/PC

推出PB²=PA·PC=6×8=48

PB=√48=4√36设∠EDC=*,∠B=∠C=y

∠AED=∠EDC+∠C=*+y

又因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=*+y

则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2*+y

又因为∠ADC=∠B+∠BAD

所以2*+y=y+30

解得*=15

所以∠EDC的度数是15度71）如图3，

∵△OCD和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，

∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，

∴∠4=∠5．

又∵∠4+∠5=∠2=60°，

∴∠4=30°．

同理∠6=30°．

∵∠AEB=∠4+∠6，

∴∠AEB=60°．

（2）如图4，

∵△OCD和△ABO都是等边三角形，

∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．

又∵OD=OA，

∴OD=OB，OA=OC，

∴∠4=∠5，∠6=∠7．

∵∠DOB=∠1+∠3，

∠AOC=∠2+∠3，

∴∠DOB=∠AOC．

∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，

∴2∠5=2∠6，

∴∠5=∠6．

又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，

∴∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2，

∴∠AEB=60°．8①可以找出△BAE≌△C