第6章状态变量反馈控制系统

第六章状态变量反馈控制系统

6.1能控性

能控性的定义

对于线性定常系统，存在一个无约束的输入信号u(t)，在有限时间T内，将系统从任意初始状态x(0)≠0，转移至另一个预期状态x(T)＝0，称系统为能控系统。

6.1能控性例6.1根据能控性的定义，系统的能控性。

例6.2

u(t)为输入电压信号，y(t)为输出电压信号，x1(t)和

x2(t)为电容电压，状态变量。

能控性判据能控性判据之一:线性定常系统(A，B)

状态完全能控，当且仅当系统能控性矩阵，满秩，即rank[S]=n。例6.3

rank(S)=2，故系统能控。能控性判据例3.4

rank[S]<3，故系统不能控。能控性判据能控性判据证明：如何得到的线性表达是问题的关键。

其状态响应为，

将t=T、x(T)=0等代入

线性定常系统能控性判据由Cayley-Hamilton定理，对于n阶方阵A存在以下关系，

则有，

1，A满足自己的特征方程。如果有，2，推论：一个n阶方阵A，大于或等于n阶的幂可以用零到n－1阶的幂线性表出。

k≥n能控性判据若有

n＝2

能控性判据3，推论：矩阵指数函数可以由方阵及以下阶的幂线性表出。

j=0~n－1式中

能控性判据

能控性判据1，对单输入系统，则有n个未知数，n个代数方程

若S满秩，rank[S]=n，则其逆存在，方程有唯一解。存在u(t)，能够使x(0)转移到x(T)=0。系统能控。若rank[S]<n，则方程无解，系统不能控。

唯一解无解能控性判据2，对多输入系统，设输入量为p个(p>1)，方程有n个，未知量有np个，且np>n。

若rank[S]<n，则方程无解，系统不能控；若rank[S]＝n，则方程有无穷多个解，系统能控。无穷解无解能控性判据变换后系统为(A′，B′)线性非奇异变换为

或线性变换不改变能控性

原系统(A，B)线性非奇异变换为

变换后系统为(A′，B′)线性变换不改变能控性设线性定常系统(A，B)具有相异的特征值，则系统能控的充分必要条件是经线性变换后的对角标准型中的矩阵B中不包含元素全为零的行。

单输入系统（SI系统）

能控显表达式

能控性判据之二则能控性矩阵满秩，即rank[S]=n。

当能控性判据之二例6.5

系统能控。例6.6rank[S]=1<2，故系统不能控。

能控性判据之二具有能控标准型状态方程的系统一定能控。rank[S]=n，能控性矩阵满秩，系统是能控的。

能控标准型（SISO）6.2能观性

能观性的定义

对于线性定常系统(A，B，C)，对于任意时刻t0，能在有限时间T内，根据输出量y(t)的量测值，可唯一确定系统状态x(t0)，则称系统是能观的。（完全）能观测（完全）能重构t0≤tt≤t0能观性的定义例6.7

例6.8输出量y(t)不包含状态uc(t)的信息

系统不能观能观性判据

满秩，即rank[S]=n。能观性判据之一：线性定常系统(A，C)

状态完全能观，当且仅当系统能观性矩阵,例6.9

故系统能观。例6.10故系统不完全能观。能观性判据能观性判据由可得，令能观性判据1，对单输出系统，在t=t0时刻，为有n个未知数的n个代数方程，

当rank[V]＝n，V-1存在，方程有唯一解，能观。当rank[V]<n，方程无解，故系统不能观。能观性判据2，对多输出系统，设输出量为q个，在t=t0时刻，

共有nq

(nq

=n×q)个方程，n个未知数，且nq>n。

当rank[V]＝n，取n个方程，有唯一解，系统能观。当rank[V]<n,方程无解，系统不能观。

能观性判据线性非奇异变换不改变线性系统的能观性。

能观性判据之二：设线性定常系统具有相异的特征值，则系统能观的充分必要条件是经线性变换后的对角标准形的矩阵C中不包含元素全为零的列。两两互异

能观性判据则能控性矩阵满秩，即rank[V]=n。

能观性判据例6.11系统能观具有能观标准型状态方程的系统一定能观。

rank[S]=n，系统能观。6.3能控性能观性与传递函数的零极点对消例6.12能控性和能观性是系统的特性，不是传递函数的特性。6.3能控性能观性与传递函数的零极点对消(1)设

状态空间方程为，a≠2且a≠3能控且能观

a＝2或a＝3不能控(2)设状态空间方程为，a≠2且a≠3能控且能观

a＝2或a＝3不能观6.3能控性能观性与传递函数的零极点对消以a＝2为例

极点－3对应能控能观的模态

b1=0，c1=0，极点－2对应既不能控也不能观模态

对于(1)不能控模态

对于(2)不能观模态

6.3能控性能观性与传递函数的零极点对消1，单输入单输出系统(A，b，cT)状态完全能控能观的充要条件是传递函数无零极点相消。2，在单输入单输出系统中传递函数G(s)被对消的极点可能对应不能控，或者不能观，或者不能控也不能观模态。传递函数G(s)只能描述能控能观模态。6.4系统的能控性和能观性分解

6.4系统的能控性和能观性分解1，线性定常系统，，则存在线性非奇异矩阵P，

，使系统具有按能控性分解的显表达式。

非奇异矩阵P

构成：S中选取m个线性无关列

再在n维实数空间中任意选（n－m）个线性无关列向量

为能控状态向量，为不能控状态向量

6.4系统的能控性和能观性分解2，线性定常系统，，则存在线性非奇异矩阵Q，

，使系统具有按能控性分解的显表达式。为能观状态向量，为不能观状态向量

线性非奇异矩阵Q

6.4系统的能控性和能观性分解3，若线性定常系统不能控不能观，则存在线性非奇异矩阵P，,使系统经线性变换后具有如下形式：为能控能观部分，为能控不能观部分，为不能控能观部分，为不能控不能观部分

6.4系统的能控性和能观性分解例6.13rank(S)=2<3，系统不能控。

6.4系统的能控性和能观性分解、为能控部分，为不能控部分

6.5状态反馈与极点配置

若对状态方程的输入量u取

则称状态反馈控制

反馈增益矩阵

单输入单输出的线性定常系统（SISO系统）

6.5状态反馈与极点配置1，状态反馈极点配置定理

对SISO系统（A,b,

cT），全维状态反馈使闭环极点可任意配置的充要条件是系统完全能控。

证明：如果系统能控，则可经线性变换得到能控标准型，6.5状态反馈与极点配置状态反馈后的系统具有如下形式，因为有6.5状态反馈与极点配置状态图存在对应的传递函数根据特征方程，由任意n个极点，唯一确定系数k1、k2、…

kn。6.5状态反馈与极点配置

对SISO系统（A,b,

cT），全维状态反馈使闭环极点可任意配置的充要条件是系统完全能控。

充分性：系统能控能控标准型由全维状态反馈可调整特征方程系数必要性：确定闭环极点（反证法）若不能控，则通过结构分解，有不能控子系统，其特征值不能配置。6.5状态反馈与极点配置2，配置极点位置求kT的待定系数法

将状态反馈控制规律代入状态方程

特征方程

期望的闭环系统的特征方程

通过对比以上两式

6.5状态反馈与极点配置3，状态反馈不改变系统的能控性，但可能影响系统的能观性

引入状态反馈kT后的系统

原系统能控性矩阵

反馈后系统的能控性矩阵

都可以由b、Ab、A2b，…，线性表出。

6.5状态反馈与极点配置例6.14rank[S]=2，系统能控

要求闭环系统的极点配置在－2±j2位置能控标准型一定能控期望特征方程，对比上两式，k1=6，k2=16.5状态反馈与极点配置状态反馈控制规律为原系统方程6.5状态反馈与极点配置例6.15要求闭环系统的极点配置在－2，－1±j位置

6.5状态反馈与极点配置比较上两式

期望特征多项式

6.5状态反馈与极点配置状态反馈控制规律

原系统方程6.6状态观测器

为状态变量估计值

系统状态空间表达式

6.6状态观测器

1，开环状态估计算法状态变量的估值误差

6.6状态观测器

2，全维闭环状态观测器方程G称为线性反馈矩阵6.6状态观测器

全维闭环状态观测器

G

称为观测器的线性反馈矩阵或增益矩阵6.6状态观测器

只要（A－GC）特征值均为负实部，则误差将最终趋于零。

若（A－GC）可任意配置极点，可以调整估计的速度。

状态估值误差6.6状态观测器

系统(A，C)状态可由全维状态观测器估计，且存在一个增益矩阵G，可以任意配置（A－GC）极点的充要条件是(A，C)完全能观。

证明：根据对偶原理，(A，C)

对偶系统(A*，B*)能控。并对偶系统(A*，B*)的极点可以由状态反馈任意配置。令则3，观测器配置定理6.6状态观测器

例5.16设计观测器，并将其极点配置在

系统能观

6.6状态观测器

期望观测器特征多项式对比上两式系数

观测器方程

6.6状态观测器

观测器方程

6.7带观测器的状态反馈控制系统

分离性原理

若线性定常系统(A，B，C)完全能控能观，通过观测器实现状态反馈时，观测器极点和状态反馈极点可以分别设计，互相没有影响。

6.7带观测器的状态反馈控制系统

控制对象

观测器方程控制规律6.7带观测器的状态反馈控制系统

故状态反馈与观测器可以分别独立进行设计。6.7带观测器