平面向量基本定理系数的等值线法(答案)

平面向量基本定理系数的等值线法一、适用题型在平面向量基本定理的表达式中,若需研究两系数的和差积商、线性表达式及平方和时,可以用等值线法.二、基本理论（一）平面向共线定理已知OA二尢OB+oC，若九+卩=1，则a,b,C三点共线；反之亦然（二）等和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP二尢OA+卩OB（尢,R），若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则九+卩=k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，ke（0,1）；（3）当直线AB在O点和等和线之间时，ke（1,+s）；（4）当等和线过O点时，k二0；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数;（6）定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.（三）等差线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP二尢OA+卩OB（尢,yeR），C为线段AB的中点，若点P在直线OC上或在平行于OC的直线上，则九-卩=k（定值）；反之也成立，我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等差线（1）当等差线恰为直线OC时，k=0；（2）当等差线过A点时，k=1；（3）当等差线在直线OC与点A之间时，ke（0,1）；（4）当等差线与BA延长线相交时，ke（1,+s）；（5）若两等差线关于直线OC对称，则两定值k互为相反数.（四）等积线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP二尢OA+yOB（尢,yeR），若点P在以直线OA,OB为渐近线的双曲线上，则九y为定值k，反之也成立，我们把以直线OA,OB为渐近线的双曲线称为等积线（1）当双曲线有一支在ZAOB内肘，k>0；

（2）当双曲线的两支都不在ZAOB内吋，k<0；X2y2(3)特別的，若OA—(a,b),OB—(a,—b)，点P在双曲线——一=l(a>0,b>0)上时,a2b2（五）等商线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP—尢OA+卩OB（尢,R），若点P在过O点（不与OA重合）的直线上，则-—k（定值），反之也成立，我们把过点O的直线（除OA外）称为等商线（1）当等商线过AB中点吋，k—1；（2）当等商线与线段AC（除端点）相交时，ke（1,+s）；（3）当等商线与线段BC（除端点）相交时，ke（0,1）；（4）当等商线为OB时，k—0；（5）当等商线与线段BA延长线相交时，ke（—^,—1）；（6）当等商线与线段AB延长线相交时，ke（—1,0）；（7）当等商线与直线AB平行时，k——1.（六）等平方和线平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OP-尢OA+卩OB（尢,yeR），且|oA|—|oB|,若点P在以ZAOB角平分线为半长轴的椭圆上，则九2+y2为定值k，反之也成立，我们把以ZAOB角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线X2y2特別的，若OA—(a,b)，OB—(a,—b),，点P在椭圆一+一—1(a>0,b>0)上时,a2b2三、解题步骤1、确定等值线为1的线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值;3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值;四、几点补充1、平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；2、若需要研究的是两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式

为基底的系数和或差；五、典型例题例1.给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为12Oo，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC=xOA+yOB，其中x,yeR,则x+y的最大值是解法1：以点O为原点，OA为x轴建立平面直角坐标系，则13A(l,0)，B(-Q,亍)设ZAOC=9，则C(cosO,sin0)，所以13OC=xOA+yOBn(coS9,sin0)=x(1,0)+y(——^—)x=cosOx=cosO+丄：占y=sin03sin0cosO=n<sin0=x+y=cos0+\3sin0=2sin(0+—)<2当且仅当0+=即0=时等号成立TOC\o"1-5"\h\z6623所以(x+y)=2max解法2：设OC交AB于点D，则当点C在C处时，(x+y)=21max当点C在A或B处时，(x+y)=1minx+ye[1,2]例2.在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内(包括边界)的动点，设AP=xAB+yAF，则x+y的取值范围解析：设AP与BF相交于点Q，贝卩当点P在点D处时，(x+y)=4max当点P在CE上(不如让点P在AD与CE的交点处)时，(x+y).=3minx+ye[3,4]例3•如图，在平行四边形ABCD中,M,N为CD边的三等分点，S为AM与BN的交点,P为边AB边上一动点，Q为ASMN内一点(含边界)，若PQ=xAM+yBN，则x+y的取值范围是解析：作PR=AM,PT=BN，则

PQ—xAM+yBN-xPR+yPT3所以当点P在S点处时，(x+y)—―,当点P在MN上时，(x+y)—1min4max―故x+yG[4,1]例4.梯形ABCD中，AD丄AB,AD—DC—1,AB—3,P为三角形BCD内一点(包括边界），AP—xAB括边界），AP—xAB+yAD,则x+y的取值范围.4解析：当点P在点C处时，（x+y）—max―当点P在BD上时，(x+y)—1minx+x+ygBE——BC，若例5.设D,E分别是AABC的边AB,BC上的点，AD-2AB,BE——BC，若DE巳AB+~AC（5入2为实数），则入严2的值为解析：作DM—AB,DN—AC，则MN//BE（BE在ADMN中位线上）.DE巳AB+^2AC讥DM乞DN注：此题为2013年江苏高考题第8题，但点E为三等分的条件其实没有必要，可舍例6•在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，设AE—xAD+yAP，则2x+y的最小值为解析：取AD的中点M，则AE—xAD+yAP—2xAM+yAP因为点P在半圆上滑动，当点E离直线MP最近时，2x+y最小由图可知点P在半圆上的最高点处时，点E离直线MP最近此时点E在MP上，所以（2x+y）—1minDC例7•在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一DC点，设AC—xDE+yAP，则x+y的最小值为解析：作AF—DE，贝0AC—xDE+yAP—xAF+yAP当点C离PF最近时，x+y最小所以当点P在圆上滑到点B处时，x+y最小为22

8.已知OM=ON=1,OP=xOM+yON（x,y为实数），若APMN8.已知OM=点的直角三角形，则x-y取值的集合为,解析：作OA=-ON，则有OMON=OA，所以ZAMN=点的直角三角形，则x-y取值的集合为,解析：作OA=-ON，则有OMON=OA，所以ZAMN=900所以x-y=1，故答案为Wx2y2例9.已知椭圆E:而+±=1的上顶点为A，直线y=-4交椭圆于B,C（B在C的左侧），点P在椭圆E上，若BP=mBA+nBC，求m+n的最大值解析：可知点P为椭圆的与AC平行的切线的切点处时，m+n最大5、：10+13计算可得（m+n）max182兀例10.已知O为AABC的外心，若A(0,0)，B(2,0),AC=1，ABAC=—，且AO二尢AB+卩AC，则九+卩=AD解析：过点O作ODIIBC交AB于点D，则九+卩=——ABO为AABC的外心n点O在BC的垂直平分线上n点O的横坐标为1TOC\o"1-5"\h\z—'-■'3_.———)2+(-2-2)2需亍晶BC3

)2+(-2-2)2需1心3C(1心3C(一片，kBC-52RC由正弦定理得2OA=—rnOA==，所以点O的纵坐标为smABACv332x=2直线OD:y-233=-11（x-1），令y=0得点D的坐标为（耳,0）3,AD13

.3,AD13

.•.入+卩==-AB6例11.已知O为AABC的外心，若cosABAC=—，AO=XAB+卩AC，则（九+卩）=3maxAOAO解析：设AO交BC于点D，则九+卩=——=ADAO+OD3当OD最小即AD丄BC时，X+卩最大，此时九+卩=-43所以(九+卩)=-max4

例12.平面内有三个向量OA、oB、OC，其中OA与OB的夹角为i2Oo,OA与OC的夹角为3Oo，且OA=OB=1,OC=2y：3，若OC=mOA+nOB，则m+n的值为OC解析：设OC交AB于点D，则m+n=——ODAOAD中，ZAOD=ZOAD=300，OA=1nOD=仝3OC2占匚所以===6OD空T例13.如图，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围为—C解析：m+n=-g(-1,0)例14.在平面直角坐标系中，双曲线r的中心在原点，它的一个焦点坐标为(^5,0)，e=(2,1)，=(2,-1)分别是两条渐近线的方向向量，任取双曲线r上的点P，若OP=a^+be2(a,bgR)，则a,b满足的一个等式是解析：等积线：双曲线的方程为—-y2=1，设P(2sec0,tan0)，则由OP=ae+be(a,bgR)412n(2sec0n(2sec0,tan0)=a(2,1)+b(2,-1)n<2a+2b=2sec0n<a一b=tan0a+b=sec0a一b=tan0n(a+b)2-(a-b)2=sec20-tan20=1nab=—4例15.已知OA=1，OB=丁3，OA-OB=0例15.已知OA=1，OB=丁3，mOC=mOA+nOB，则一的值为n答案：等商线：分别以OA,OB为x,y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0),B(0,方)OC=mOA+nOB=m(1,0)+n(0,<5)=(m,訂n)，又ZAOC=300v'3nm小所以=tan30。n=3mn

例16•如图，倾斜角为&的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，单位圆与坐标轴交于点A(—1,0)，点B(0，—1)，PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设PO=xPM+yPN(x,yeR)，求x+y的最小值解析：设OP交MN于点Q，MN的中点为DTOC\o"1-5"\h\zPOPO11x+y===>—PQPO—OQ1—OQ]—117271例17.如图，在扇形OAB中，ZAOB=6Oo，C为弧AB上且不与A、B重合的一个动点,OC=xOA+yOB，若u=x+九y(九〉0)存在最大值，则九的取值范围为——1—■解析：因为九〉0，在射线OB上取点D，使得OD=-OB，则九OC=xOA+yOB=xOA+九yOD，过点C作CE//AD交OB于点E，过"点A作AM丄OB于点M，过点A作弧AB的切线交OB于点N则易知当E离D最远时u有最大值，而E只能在线段MN上，所以ue(|,2)例18•在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点A,B满足OA=OB=OA-OB=2，则{•——}点集P|OP=XOA+yOB,|X|+|^<1,九,peR需表示的区域面积为解析：由题意可知ZAOB=600,设OC=—OA,OD=—OBOP=XOA+pOB,|X|+|p|<1,X,peR，则可知点P的轨迹为平行四边形ABCD及其内部的部分，其面积为—x4x4xsin60。=4、3