2009届高考数学总复习-函数

函数的分析式、定义域及其函数的性质小结函数是高考取的“大户”，求解函数的定义域与分析式是函数题型中最常有的题型之一，而函数的性质不单对于整个函数的学习至关重要，并且仍是解决高考取函数问题所一定的工具。现将函数的分析式、定义域以及函数的性质做一小结。以供各位学子复习参照。一、函数的分析式:把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的分析式，简称分析式。『综合例证』1、换元法：11例1、求出函数f（x）的分析式：f(1)1x2x2（1）解：令1+1/x=tf(t)(t1)2t2t1即：(x1)6例2、已知f(4x+1)=4x，求f(x)16x21解：设t=4x+12、配变量法：1)1例3、求出函数的分析式：f(xx2解：xx2用x代替式中的又考虑到f(x)x22(x2)３、待定系数法：例4、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x－1，求f(x)的分析式。解：设f(x)=kx+b则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x－1４、解函数方程组法：例5、已知3f(x)2f(1)解：由1x５、代入法：2f(x)13f()例6、设函数xf(x)xx求C2对应的函数g(x)

x(x，求f(x)0)解得f(x)3x2(x0)155xxC1，C1对于点A(2,1)对称的图象为C2，的图象为的表达式。解：设yg(x)图象上任一点(x,y)，则对于A(2,1)对称点为(4x,2y)在yf(x)上，即：即：故：(x4)二、函数定义域的种类和求法下文介绍函数定义域的种类和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。现举例说明。1、惯例型即给出函数的分析式的定义域求法，其解法是由分析式存心义列出对于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。x22x15y3|8例1求函数|x的定义域。x22x150①解：要使函数存心义，则一定知足|x3|80②由①解得x3或x5。③由②解得x5或x11④③和④求交集得x3且x11或x>5。故所求函数的定义域为{x|x3且x11}{x|x5}y1sinx2例2求函数16x的定义域。sinx0①解：要使函数存心义，则一定知足16x20②由①解得2kx2k，kZ③由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4x或0x故函数的定义域为(4，](0，]评注：③和④如何求公共部分？你会吗？2、抽象函数型抽象函数是指没有给出分析式的函数，不可以惯例方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的分析式，一般有两种状况。（1）已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。其解法是：已知f(x)的定义域是［a，b］求f[g(x)]的定义域是解ag(x)b，即为所求的定义域。例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x21)的定义域。解：令2x212，得1x23，即0x23，所以0|x|3，进而3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4已知f(2x1)的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。解：由于1x2，22x4，32x15。即函数f(x)的定义域是{x|3x5}。3、逆向型即已知所给函数的定义域求分析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题往常是转变为恒建立问题来解决。例5已知函数ymx26mxm8的定义域为R务实数m的取值范围。剖析：函数的定义域为R，表示mx26mx8m0，使全部x∈R都建立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m0进行议论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当m0时，mx26mxm80是二次不等式，其对一确实数x都建立的充要条件是综上可知0m1。评注：许多学生简单忽视m=0的状况，希望经过此例解决问题。f(x)kx74kx3的定义域是R，务实数k的取值范围。例6已知函数kx2解：要使函数存心义，则一定kx24kx3≠0恒建立，由于f(x)的定义域为R，即kx24kx30无实数16k20k3①当k≠0时，43k0恒建立，解得4；②当k=0时，方程左侧=3≠0恒建立。0k34。综上k的取值范围是4、实质问题型这里函数的定义域除知足分析式外，还要注意问题的实质意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y对于一边长x的函数的分析式，并求函数的定义域。1(a2x)解：设矩形一边为x，则另一边长为2于是可得矩形面积。yx1(a2x)1axx2x21ax222。x001xa2x)0a2x0(a0x由问题的实质意义，知函数的定义域应知足22。yx21ax0，a故所求函数的分析式为2，定义域为（2）。例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆构成的图形的面积，如图。LABCDL2xx由于CD=AB=2x，所以CDx，所以AD22，y2xL2xxx2(2)x2Lx故2222x0LL2xx0x220依据实质问题的意义知y(2)x2LxL2）。故函数的分析式为2，定义域（0，5、参数型对于含参数的函数，求定义域时，一定对分母分类议论。例9已知f(x)的定义域为［0，1］，求函数F(x)f(xa)f(xa)的定义域。解：由于f(x)的定义域为［0，1］，即0x1。故函数F(x)的定义域为以下不等式组的解集：0xa1ax1a0xa1，即ax1a即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知10（1）当aax1a}；2时，F（x）的定义域为{x|01ax1a}；（2）当2时，F（x）的定义域为{x|aa11a2时，上述两区间的交集为空集，此时（3）当2或F（x）不可以构成函数。6、隐含型有些问题从表面上看其实不求定义域，可是不注意定义域，常常致使错解，事实上定义域隐含在问题中，比如函数的单一区间是其定义域的子集。所以，求函数的单一区间，一定先求定义域。例10求函数ylog2(x22x3)的单一区间。解：由x22x30，即x22x30，解得1x3。即函数y的定义域为（－1，3）。函数ylog2(x22x3)是由函数ylog2t，tx22x3复合而成的。tx22x3(x1)24，对称轴x=1，由二次函数的单一性，可知t在区间(，1]上是增函数；在区间[1，)上是减函数，而ylog2t在其定义域上单一增；(1，3)(，1](1，1]，(1，3)[1，)[1，3)，所以函数ylog2(x22x3)在区间(1，1]上是增函数，在区间[1，3)上是减函数。三、函数的性质1、函数的单一性⑴单一性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：假如对于定义域I内的某个区间D上的随意两个自变量值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的单一增区间；假如对于定义域I内的某个区间D上的随意两个自变量值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的单一减区间。⑵单一函数与严格单一函数设f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2I，当x1x2时，总有f(1)f(x2)，则称f(x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)f(x2)(ⅰ)x建即刻称f(x)为I上的严格单一递加函数。f(1)f(x2)，则称f(x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式f(x1)f(x2)(ⅱ)x建即刻称f(x)为I上的严格单一递减函数。⑶函数单一的充要条件★若f(x)为区间I上的单一递加函数，x1、x2为区间内两随意值，那么有：f(x1)f(x2)0x1x2)[f()f()]0x1x2（或x1x2★若f(x)为区间I上的单一递减函数，x1、x2为区间内两随意值，那么有：f(x1)f(x2)0x1x1x2（或⑷函数单一性的判断(证明)⑸复合函数的单一性的判断

x2)[f(x1)f(x2)]0①作差法(定义法)②作商法对于函数yf(u)和ug(x)，假如函数ug(x)在区间(a,b)上拥有单一性，当xa,b时um,n，且函数yf(u)在区间(m,n)上也拥有单一性，则复合函数f(g(x))在区间a,b拥有单一性。⑹由单一函数的四则运算所获得的函数的单一性的判断对于两个单一函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且IJ：A.当f(x)和g(x)拥有同样的增减性时，函数F1(x)f(x)g(x)、F2(x)f(x)g(x)的增减性与f(x)(或g(x))同样，F3(x)f(x)F4(x)f(x)(g(x)0)g(x)、g(x)的增减性不可以确立；B.当f(x)和g(x)拥有相异的增减性时，我们假定f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么：①F1(x)f(x)g(x)、F2(x)f(x)g(x)的增减性不可以确立；F3(x)f(x)g(x)F4(x)f(x)(g(x)0)F5(x)g(x)(f(x)0)②、g(x)为增函数，f(x)为减函数。2、函数的奇偶性⑴奇偶性的定义假如对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)f(x)，则称函数f(x)为偶函数；假如对于函数f(x)的定义域内的随意一个x，都有f(x)f(x)，则称函数f(x)为奇函数。⑵奇偶性的几何意义拥有奇偶性的函数的定义域对于原点对称，奇函数的图像对于原点对称，偶函数的图像对于轴对称。⑶函数奇偶性的判断(证明)A比较f(x)与f(x)的关系；f(x)Bf(x)（f(x)0）与1的关系；Cf(x)f(x)与0的关系⑷由拥有奇偶性的函数的四则运算所获得的函数的奇偶性的判断对于两个拥有奇偶性的函数f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且IJ：当f(x)和g(x)拥有同样的奇偶性时，假定为奇函数，那么：①函数F1(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)也为奇函数；F2(x)f(x)g(x)F4(x)f(x)(g(x)0)②、g(x)为偶函数；当f(x)和g(x)拥有相异的奇偶性时，那么：①F1(x)f(x)g(x)、F3(x)f(x)g(x)的奇偶性不可以确立；F(x)f(x)(g(x)0)F(x)g(x)(f(x)0)F2(x)f(x)g(x)4g(x)5f(x)②、、为奇函数。3、函数的对称性A.函数自对称（1）对于y轴对称的函数（偶函数）的充要条件是f(x)f(x)（2）对于原点0,0对称的函数（奇函数）的充要条件是f(x)f(x)0（3）对于直线yx对称的函数的充要条件是f1(x)f(x)两个函数的图象对称性（1）yf(x)与yf(x)对于x轴对称。换种说法：yf(x)与yg(x)若知足f(x)g(x)，即它们对于y0对称。（2）yf(x)与yf(x)对于y轴对称。换种说法：yf(x)与yg(x)若知足f(x)g(x)，即它们对于x0对称。（3）yf(x)与yf(2ax)对于直线xa对称。换种说法：yf(x)与yg(x)若知足f(x)g(2ax)，即它们对于xa对称。（4）yf(x)与y2af(x)对于直线ya对称。换种说法：yf(x)与yg(x)若知足f(x)g(x)2a，即它们对于ya对称。（5）yf(x)与y2bf(2ax)对于点a,b对称。换种说法：yf(x)与yg(x)若知足f(x)g(2ax)2b，即它们对于点a,b对称。xab（6）yf(ax)与y2(xb)对于直线对称。（7）yf(x)与yf1(x)对于直线yx对称。4、函数的周期性⑴周期性的定义对于函数yf(x)，假如存在一个非零常数T，使适当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)都建立，那么就把函数yf(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。假如全部的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。假如非零常数T是函数f(x)的周期，那么T、nT（nN*）也是函数f(x)的周期。⑵函数的周期性的主要结论：结论1：假如f(xa)f(xb)（ab），那么f(x)是周期函数，此中一个周期Tab结论2：假如f(xa)f(xb)（ab），那么f(x)是周期函数，此中一个周期T2ab结论3：假如定义在R上的函数f(x)有两条对称轴xa、xb对称，那么f(x)是周期T2ab函数，此中一个周期结论4：假如偶函数f(x)的图像对于直线xa（a0）对称，那么f(x)是周期函数，此中一个周期T2a结论5：假如奇函数f(x)的图像对于直线xa（a0）