一轮复习人教版（文理通用）第3章第3讲第2课时三角函数式的化简与求值作业

对应学生用书[练案23理][练案22文]第二课时三角函数式的化简与求值A组根底稳固一、选择题1．(2021·安徽怀远一中月考)sin10°sin50°sin70°＝(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,16)[解析]sin10°sin50°sin70°＝sin10°cos40°cos20°＝eq\f(sin10°cos10°cos20°cos40°,cos10°)＝eq\f(\f(1,8)sin80°,cos10°)＝eq\f(1,8).2.eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)(C)A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).3．(2021·东北四市联考)sin(eq\f(π,6)－α)＝cos(eq\f(π,6)＋α)，那么cos2α＝(D)A．1 B．－1C．eq\f(1,2) D．0[解析]因为sin(eq\f(π,6)－α)＝cos(eq\f(π,6)＋α)，所以eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα，即(eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2))sinα＝－(eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2))cosα，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－1，所以cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＝0，应选D．4．(2021·湖南岳阳三校第一次联考)α为锐角，且满足cos2α＝sinα，那么α的值为(A)A．30° B．45°C．60° D．30°或60°[解析]由cos2α＝sinα，得1－2sin2α＝sinα，即2sin2α＋sinα－1＝0，得sinα＝eq\f(1,2)或sinα＝－1.因为α为锐角，所以sinα＝eq\f(1,2)，所以α＝30°，应选A．5．(2021·内蒙古鄂尔多斯四校联考)sinθ＝－eq\f(1,3)，那么sin2(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4))＝(D)A．eq\f(2\r(2),3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(1,3)[解析]sin2(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4))＝eq\f(1－cosθ＋\f(π,2),2)＝eq\f(1＋sinθ,2)＝eq\f(1－\f(1,3),2)＝eq\f(1,3)，应选D．6．(2021·河南郑州一中月考)假设eq\f(2cos2α＋cos\f(π,2)＋2α－1,\r(2)sin2α＋\f(π,4))＝4，那么tan(2α＋eq\f(π,4))＝(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)[解析]∵eq\f(2cos2α＋cos\f(π,2)＋2α－1,\r(2)sin2α＋\f(π,4))＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝4，∴tan(2α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tan2α,1－tan2α)＝eq\f(1,4).应选C．7．(2021·全国高考信息卷)假设α为第二象限角，且sin2α＝sin(α＋eq\f(π,2))cos(π－α)，那么eq\r(2)cos(2α－eq\f(π,4))的值为(A)A．－eq\f(1,5) B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)[解析]∵sin2α＝sin(α＋eq\f(π,2))cos(π－α)，∴2sinαcosα＝－cos2α，∵α是第二象限角，∴cosα≠0,2sinα＝－cosα，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，∴sin2α＝eq\f(1,5)，∴eq\r(2)cos(2α－eq\f(π,4))＝cos2α＋sin2α＝cos2α－sin2α＋2sinαcosα＝－sin2α＝－eq\f(1,5)，应选A．8．(2021·江西九江两校第二次联考)函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x，假设α∈(eq\f(π,2)，π)，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，那么α的值为(C)A．eq\f(5π,8) B．eq\f(11π,16)C．eq\f(9π,16) D．eq\f(7π,8)[解析]由题意知f(x)＝cos2xsin2x＋eq\f(1,2)cos4x＝eq\f(1,2)sin4x＋eq\f(1,2)cos4x＝eq\f(\r(2),2)sin(4x＋eq\f(π,4))，因为f(α)＝eq\f(\r(2),2)sin(4α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)，所以4α＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即α＝eq\f(π,16)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.因为α∈(eq\f(π,2)，π)，所以α＝eq\f(π,16)＋eq\f(π,2)＝eq\f(9π,16)，应选C．二、填空题9．sin15°＋sin75°＝eq\f(\r(6),2).[解析]sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin(15°＋45°)＝eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(6),2).另解：原式＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝2×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),2).10．化简：eq\f(sin2α－2cos2α,sinα－\f(π,4))＝2eq\r(2)cosα.[解析]原式＝eq\f(2sinαcosα－2cos2α,\f(\r(2),2)sinα－cosα)＝2eq\r(2)cosα.11．(2021·福建龙岩第一次质量检测)化简：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)－sin10°(eq\f(1,tan5°)－tan5°)的值为eq\f(\r(3),2).[解析]原式＝eq\f(2cos210°,4sin10°cos10°)－sin10°(eq\f(cos5°,sin5°)－eq\f(sin5°,cos5°))＝eq\f(cos10°,2sin10°)－sin10°×eq\f(2cos10°,sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin30°－10°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).12．(2021·河南濮阳一模)设0°<α<90°，假设sin(75°＋2α)＝－eq\f(3,5)，那么sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝eq\f(\r(2),20).[解析]因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－eq\f(3,5)<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos(75°＋2α)＝－eq\f(4,5)，所以sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝sin(15°＋α)·cos(15°＋α)＝eq\f(1,2)sin(30°＋2α)＝eq\f(1,2)sin[(75°＋2α)－45°]＝eq\f(1,2)[sin(75°＋2α)cos45°－cos(75°＋2α)·sin45°]＝eq\f(1,2)×(－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),20).三、解答题13．(2021·江西临川一中月考)0<x<eq\f(π,4)，sin(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(5,13)，求eq\f(cos2x,cos\f(π,4)＋x)的值．[解析]解法一：(先化简后求值)：原式＝eq\f(cos2x－sin2x,\f(\r(2),2)cosx－sinx)＝eq\r(2)(cosx＋sinx)＝2cos(eq\f(π,4)－x)．因为0<x<eq\f(π,4)，所以0<eq\f(π,4)－x<eq\f(π,4)，那么原式＝2eq\r(1－sin2\f(π,4)－x)＝eq\f(24,13).解法二：(先局部后整体)：cos(eq\f(π,4)＋x)＝cos[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)－x)]＝sin(eq\f(π,4)－x)＝eq\f(5,13).下面从两个角度求cos2x.角度1：cos2x＝sin(eq\f(π,2)－2x)＝sin[2(eq\f(π,4)－x)]＝2sin(eq\f(π,4)－x)cos(eq\f(π,4)－x)；角度2：cos2x＝cos2x－sin2x＝(cosx－sinx)·(cosx＋sinx)＝eq\r(2)sin(eq\f(π,4)－x)·eq\r(2)cos(eq\f(π,4)－x)＝2sin(eq\f(π,4)－x)·cos(eq\f(π,4)－x)．因为0<x<eq\f(π,4)，所以0<eq\f(π,4)－x<eq\f(π,4)，那么cos(eq\f(π,4)－x)＝eq\r(1－sin2\f(π,4)－x)＝eq\f(12,13)，故cos2x＝2×eq\f(5,13)×eq\f(12,13)＝eq\f(120,169).所以eq\f(cos2x,cos\f(π,4)＋x)＝eq\f(24,13).14．(2021·江西吉安白鹭洲中学联考)0<α<eq\f(π,2)<β<π，cos(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5).(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋eq\f(π,4))的值．[解析](1)方法一：∵cos(β－eq\f(π,4))＝coseq\f(π,4)cosβ＋sineq\f(π,4)·sinβ＝eq\f(\r(2),2)(sinβ＋cosβ)＝eq\f(1,3)，∴cosβ＋sinβ＝eq\f(\r(2),3)，∴1＋sin2β＝eq\f(2,9)，∴sin2β＝－eq\f(7,9).方法二：sin2β＝cos(eq\f(π,2)－2β)＝2cos2(β－eq\f(π,4))－1＝－eq\f(7,9).(2)∵0<α<eq\f(π,2)<β<π，∴eq\f(π,4)<β－eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)，∴sin(β－eq\f(π,4))>0，cos(α＋β)<0.∵cos(β－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5)，∴sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(2\r(2),3)，cos(α＋β)＝－eq\f(3,5).∴cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)·cos(β－eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq\f(π,4))＝－eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＋eq\f(4,5)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(8\r(2)－3,15).B组能力提升1．(2021·巴中模拟)化简(tanα＋eq\f(1,tanα))·eq\f(1,2)sin2α－2cos2α＝(D)A．cos2α B．sin2αC．cos2α D．－cos2α[解析]原式＝(eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα))·sinαcosα－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos2α.2．(2021·贵州遵义模拟)θ是第一象限角，假设sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，那么sin2θ＝(C)A．eq\f(4,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(2\r(2),3) D．－eq\f(2\r(2),3)[解析]∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin4θ＋cos4θ＋2sin2θcos2θ＝1，∵sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，∴2sin2θcos2θ＝eq\f(1,2)sin22θ＝eq\f(4,9)，∵θ是第一象限角，∴sin2θ＝eq\f(2\r(2),3)，应选C．3．(2021·湖北八校第一次联考)3π≤θ≤4π，且eq\r(\f(1＋cosθ,2))＋eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\f(\r(6),2)，那么θ＝(D)A．eq\f(10π,3)或eq\f(11π,3) B．eq\f(37π,12)或eq\f(47π,12)C．eq\f(13π,4)或eq\f(15π,4) D．eq\f(19π,6)或eq\f(23π,6)[解析]∵3π≤θ≤4π，∴eq\f(3π,2)≤eq\f(θ,2)≤2π，∴coseq\f(θ,2)>0，sineq\f(θ,2)<0，那么eq\r(\f(1＋cosθ,2))＋eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\r(cos2\f(θ,2))＋eq\r(sin2\f(θ,2))＝coseq\f(θ,2)－sineq\f(θ,2)＝eq\r(2)cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(6),2)，∴cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)＋2kπ或eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4)＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，即θ＝－eq\f(π,6)＋4kπ或θ＝－eq\f(5π,6)＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝eq\f(19π,6)或eq\f(23π,6)，应选D．4．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，那么α＋β＝－eq\f(3π,4).[解析]由，得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝1.∵α，β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a