2022-2023学年江西省宜春市丰城中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省宜春市丰城中学八年级（下）开学数学试卷一．选择题（共6小题，每小题3分）1．下列计算正确的是（）A．32＝6 B．（﹣）3＝﹣ C．（﹣2a2）2＝2a4 D．+2＝32．2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．43．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为（）A． B． C．3 D．4．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等5．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+16．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣二．填空题（共6小题，每小题3分）7．代数式有意义，则x的取值范围是．8．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了步路．（假设2步为1米）9．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O与AD、BC相交于点E、F，若AB＝5，BC＝6，OF＝2，那么四边形ABFE的周长是．11．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为．12．若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为．三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分）13．计算：（1）++（﹣）；（2）+6．14．暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．（1）请在网格中作出平行四边形ABCD，使得边长为4和（顶点均在格点上）．（2）求（1）平行四边形ABCD中较大的对角线的长是．16．已知x＝+，y＝﹣，求下列各式的值；（1）x2﹣xy+y2；（2）．17．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）如果AD＝7，DC＝2，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？18．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝m，BC＝m，CD＝m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送m．19．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：（1）将分母有理化可得；（2）关于x的方程的解是．20．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．（1）如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；（2）如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；（3）如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．21．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．22．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的：∵＝＝2﹣∴a﹣2＝﹣∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：（1）a＝，则2a2﹣8a+1＝．（2）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒（t＞0）．（1）用含t的式子表示线段的长度：PD＝cm，（2）当0＜t＜2.5时，运动时间t为秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．（3）当5＜t＜10时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．

参考答案一．选择题（共6小题，每小题3分）1．下列计算正确的是（）A．32＝6 B．（﹣）3＝﹣ C．（﹣2a2）2＝2a4 D．+2＝3【分析】根据有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方以及二次根式的加法运算法则计算即可．解：32＝9，故A选项错误；（﹣）3＝﹣，故B选项错误；（﹣2a2）2＝4a4，故C选项错误；+2＝3，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查二次根式的加减法、有理数的乘方、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握基本运算法则是解答本题的关键．2．2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．3．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为（）A． B． C．3 D．【分析】由折叠的性质可得DN＝CN，根据勾股定理可求DN的长，即可求CN的长．解：∵D是AB中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2，∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN＝CN，∴BN＝BC﹣CN＝6﹣DN，在Rt△DBN中，DN2＝BN2+DB2，∴DN2＝（6﹣DN）2+4，∴DN＝，∴CN＝DN＝，故选：D．【点评】本题考查了翻折变换，折叠的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．4．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分 B．互相垂直 C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是正方形，那么邻边互相垂直且相等，选择即可，解：如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，∴AC⊥BD，AC＝BD，故选：D．【点评】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理以及正方形的性质，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．5．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（）A．2+2 B．5﹣ C．3﹣ D．+1【分析】方法一：如图，延长DA、BC交于点G，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG＝90°，AB＝2，∠ABC＝60°，运用解直角三角形可得AG＝2，DG＝2+2，再求得∠G＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，利用解直角三角形可得EH＝1，BH＝，再证明△BEH≌△DEG，可得DG＝BH＝，即可求得答案．解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，题目的综合性很好，难度不大．6．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1 B．+ C．2+1 D．2﹣【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．二．填空题（共6小题，每小题3分）7．代数式有意义，则x的取值范围是x＞﹣3【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．解：由题意得：x+3＞0，解得x＞﹣3，故答案为：x＞﹣3．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．8．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了8步路．（假设2步为1米）【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据2步为1米，即可得出少走的步数．解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，∴AB＝＝10（m），则（8+6﹣10）×2＝8，∴他们仅仅少走了8步，故答案为：8．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理知识是解题的关键．9．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为．【分析】连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，根据勾股定理求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含AM的代数式表示ME、NF，计算即可．解：连接AC交BD于O，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，由勾股定理得：OA＝＝＝，∵ME⊥BD，AO⊥BD，∴ME∥AO，∴△DEM∽△DOA，∴＝，即＝，解得：ME＝，同理可得：NF＝，∴ME+NF＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O与AD、BC相交于点E、F，若AB＝5，BC＝6，OF＝2，那么四边形ABFE的周长是15．【分析】先证明△AOE≌△COF，得出AE＝CF，OE＝OF＝2，可求得EF＝4，即可得出四边形ABFE的周长＝EF+AE+AB+BF＝EF+BC+AB，进而可求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，OE＝OF＝2，∴EF＝4，∴四边形EFCD的周长＝EF+AE+AB+BF＝EF+BC+AB＝4+6+5＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．11．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为2．【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根据勾股定理即可解决问题．解：如图，连接AP，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E是BC的中点，∴BE＝CE＝AB＝3，由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，在Rt△AFP和Rt△ADP中，，∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），∴PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2+CP2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得x＝2．则DP的长度为2．故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．12．若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为2或2．【分析】通过完全平方公式去掉括号求出a＝m2+3n2，2mn＝6，根据a，m，n均为整数，分两种情况求出m，n，进一步求出a，从而求解．解：∵a+6，∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，m，n均为整数），∴a＝m2+3n2，2mn＝6，∴mn＝3，①m＝1，n＝3，a＝28，②m＝3，n＝1，a＝12，故的值为2或2．【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用是解题关键．三．解答题（共11小题，13-17题每题6分，18，19，20题每题8分，21，22题每题9分，23题12分）13．计算：（1）++（﹣）；（2）+6．【分析】（1）先化简，再进行加减运算即可；（2）先化简，再进行加法运算即可．解：（1）++（﹣）＝＝3；（2）+6＝+6×＝2＝5．【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．14．暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少？【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度，构造直角三角形利用勾股定理求解．解：过点B作BD⊥AC于点D，根据题意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8千米，在Rt△ADB中，由勾股定理得AB＝＝10千米，答：登陆点到宝藏处的距离为10千米．【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，解题的根据是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．（1）请在网格中作出平行四边形ABCD，使得边长为4和（顶点均在格点上）．（2）求（1）平行四边形ABCD中较大的对角线的长是3．【分析】（1）根据要求作平行四边形即可；（2）由勾股定理可得答案．解：（1）如图：四边形ABCD即为所求；（2）如图：在Rt△ACE中，AC＝＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握勾股定理及其应用．16．已知x＝+，y＝﹣，求下列各式的值；（1）x2﹣xy+y2；（2）．【分析】由题意可得：x+y＝2，xy＝2，再把（1）（2）整理，代入相应的值运算即可．解：∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝2，xy＝2，∴（1）x2﹣xy+y2＝x2+2xy+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣3xy＝（2）2﹣3×2＝28﹣6＝22；（2）＝＝＝＝＝12．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．17．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；（2）如果AD＝7，DC＝2，∠EBD＝60°，那么当四边形BFCE为菱形时BE的长是多少？【分析】（1）由AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF＝EC，∠ACE＝∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；（2）当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，根据菱形的性质即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AB＝DC，∴AC＝DB，在△AEC和△DFB中，，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF＝EC，∠ACE＝∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）解：当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，∵AD＝7，DC＝2，AB＝CD＝2，∴BC＝7﹣2﹣2＝3，∵∠EBD＝60°，∴BE＝BC＝3，∴当四边形BFCE是菱形时，BE的长是3．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．18．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）根据题意，BF＝1.6m，BC＝3m，CD＝1m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．（3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送4m．【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m；（2）设秋千的长度为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，∴四边形BCEF是矩形，∴CE＝BF＝1.6m，∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m），故答案为：1.6，3，1；（2）∵BC⊥AC，∴∠ACB＝90°，设秋千的长度为xm，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x﹣1）2+32＝x2，解得：x＝5（m），即秋千的长度是5m；（3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，∵DE＝0.6m，∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m），由（2）可知，AD＝AB＝5m，∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（m），即需要将秋千AD往前推送4m，故答案为：4．【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．19．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：（1）将分母有理化可得﹣1；（2）关于x的方程的解是．【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可．（2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解．解：（1），故答案为：﹣1．（2），，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键．20．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．（1）如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；（2）如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；（3）如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．【分析】（1）先判定四边形AEGF是平行四边形，证明△ABE≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝AF，由菱形的判定可得出结论；（2）过点F作FH⊥AC于点H，证明△FHC是等腰直角三角形，得出FC＝FH＝DF，则可得出答案；（3）过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作FP⊥AE于点P，证明△ABE≌△ADK（ASA），由全等三角形的性质得出BE＝DK，AE＝AK，证明△AEF≌△AKF（SAS），由全等三角形的性质得出EF＝KF，求出BE＝3，由勾股定理求出AE和AF的长，由平行四边形的面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵EG∥AF，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴四边形AEGF是菱形；（2）解：过点F作FH⊥AC于点H，∵四边形AEGF为菱形，∴AC平分∠EAF，∴∠EAC＝∠FAC＝∠EAF＝22.5°，又∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAF+∠FAC＝∠ACF＝45°，∴∠DAF＝∠FAC＝22.5°，∵FD⊥AD于点D，FH⊥AC于点H，∴FH＝FD，∵∠FHC＝90°，∠ACF＝45°，∴△FHC是等腰直角三角形，∴FC＝FH＝DF，∴DF+CF＝DF+DF＝DC＝6，∴DF＝6﹣6；（3）过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作FP⊥AE于点P，∴∠APF＝∠EAK＝∠EAF+∠DAF+∠DAK＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠FAD+∠DAK＝45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAK，又∵AB＝AD，∠B＝∠ADK＝90°，∴△ABE≌△ADK（ASA），∴BE＝DK，AE＝AK，又∵AF＝AF，∠EAF＝∠KAF，AE＝AK，∴△AEF≌△AKF（SAS），∴EF＝KF，设EF＝KF＝DK+DF＝x+2，又∵BE＝x，EC＝6﹣x，FC＝6﹣2＝4．在Rt△EFC中，∠C＝90°，EF2＝FC2+EC2，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，∴x＝3，∴BE＝3，∴AE＝＝＝3，AF＝＝＝2，∴等腰直角三角形AFP中，FP＝AF＝＝2，又∵四边形AEGF为平行四边形，∴S四边形AEGF＝AE•PF＝3×2＝30．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定，等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，判定四边形AEGF为菱形是解题的关键．21．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；（2）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（3）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2．（2）24÷4＝6，设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，×（3+1）×3×4＝×4×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24．（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案为：．【点评】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出S1，S2，S3，再利用S1+S2+S3＝40求出是解决问题的关键．22．在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题：已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他们是这样解答的：∵＝＝2﹣∴a﹣2＝﹣∴（a﹣2）2＝3即a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1∴2a2﹣8a+