哈尔滨某大学结构力学I一五

七、结构的地震反应分析地震作用与地震作用理论概述单自由度地震作用分析地震反应谱多自由度地震作用分析地震反应的时程分析法几点结论7.1地震作用与地震作用理论概述7.1.1地震作用(地震力)由于地面运动结构质量所产生的惯性力称为地震作用或地震力.结构的抗震设计当然必须首先解决地震力的计算.因为地震力不仅和地面运动有关,而且还和结构的动力特性有关.而地面运动的特征(强度、频谱特征、持续时间等)受震源机制、地质条件等等影响,结构本身又是一十分复杂的力学系统,加之结构和基础间的相互作用,其中许多因素是搞不清楚的.因此地震作用的研究经历了艰难的历程.7.1.2地震作用理论由于问题的复杂性,地震作用理论经历了一个由粗略到科学的如下逐步发展过程:7.1地震作用与地震作用理论概述1)静力理论这是本世纪初日本大森房吉提出的,为了简化他把结构视作刚体.因此如果地面运动的最大加速度为,结构某处的重量为,则此质量所受的地震力为(1)由于完全不考虑结构的变形,显然静力理论与实际不符.2)定函数理论这是原苏联扎夫里耶夫在大森房吉之后首先提出的“动力理论”.他将地震地面运动视作余弦函数7.1地震作用与地震作用理论概述后来原苏联柯尔琴斯基又对其进行了修正,将地面运动假设为(2)该理论虽然克服了静力理论不考虑结构变形的缺点,但实际地面运动复杂的多,根本不能用确定函数来描述.3)反应谱理论这是以单自由度线性体系在实际地面运动作用下的反应为基础,对结构进行分析的“拟静力理论”.我国和许多国家的抗震设计规范都以这种理论为依据,后面将专门介绍.(3)7.1地震作用与地震作用理论概述4)时程分析理论这是以体系运动方程为基础,用数值积分方法求体系反应时间历程的“动力理论”(也称直接积分理论).随着电算技术的发展,我国抗震设计规范已规定,对一些高层和大型重要建筑要用时程分析法进行补充计算，今后还将得到更广泛的应用和发展。5)其他理论地震、脉动风荷载等都是随机荷载，当然可以用随机振动理论来进行地震反应的统计特征分析.也可从地震时结构不破坏条件下所能吸收的能量来进行设计.但这些地震作用理论都还未被列入规范,因此都未能在抗震设计中普遍应用.7.1地震作用与地震作用理论概述地震地面运动是多维的,但经验表明水平地面运动是导致结构破坏的主要因素,作为初学,本章只讨论受单向水平地面运动激励的情况.震害和计算都表明,对高烈度区地震竖向地面运动的影响较显著。因此，我国对高烈度区的一些大跨、高耸结构和靠自重保持平衡的结构规定需要考虑竖向地震的作用。7.2单自由度地震作用分析本节是反应谱理论的基础,为此首先讨论受地面运动激励的体系运动方程.7.2.1单、多自由度体系地震作用运动方程7.2单自由度地震作用分析h

m

EI解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平相对位移。设x坐标向右。又设横梁（质量m）相对地面位移为u，以它为隔离体，受力如图所示。h

列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运动方程为图中Fs1和Fs2可由图是有位移法（实际直接可由形常数）得到例-1)试建立图示结构受地面运动的运动方程。7.2单自由度地震作用分析解：为用刚度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座产生图示单位位移。由层刚度定义可得1h1h2k1k2h1h2k1k21k11k21k22k12h2h1k1k2m1m2ug(t)fe1fd1fI1fe2fI2fd2加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体例-2)试用刚度法建立图示受地面运动激励的剪切型结构的运动方程。k1和k2为层侧移刚度。ug(t)fe1fd1fI1fe2fI2fd27.2单自由度地震作用分析图中各项和第二章例子相仿，分别为列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下元素全为1ui为相对位移7.2单自由度地震作用分析7.2.2单自由度体系地震反应分析单自由度体系地震反应分析运动方程为(4)或表示成(5)在零初始条件下式(5)的位移解答为由此体系的地震作用(惯性力)为(6)(10)由于一般结构阻尼比很小,可近似认为d,所以(11)(6)(7)(8)式中(9)7.2单自由度地震作用用分析对抗震设计来说,关心的是最大地震震作用,也即式(14)和式(1)形式上完全相同,但其概念是根本不不同的.式(1)中a0是地面最大加速度度,与体系的动力特性性无关.而式(14)中amax是质点最大绝对加加速度,它和体系的动力特特性(频率和阻尼)有关.对抗震设计来说,一旦求得地震作用用P,即可将其看作静力力作用进行结构强强度和刚度等验算算.(12)(13)(14)7.3地震反应谱从式(6)-(8)或式(11)-(14)可见,相对位移、相对速速度、绝对加速度度反应和地面加速速度、周期和阻尼尼有关,都是时间的函数.7.3.1相对位移、速度和和绝对加速度反应应谱对于某一地面地震震记录,相对位移、相对速速度、绝对加速度度的最大反应只是是周期T和阻尼比的函数，，如果固固定阻尼尼比,则最大反反应只和和周期有有关,这一关系系曲线则则分别称称为该地地震的相对位移移、相对对速度、、绝对加加速度的的反应谱谱,分别记作作D(T)、V(T)、A(T)。讲义上图图5-2、5-3和5-4分别为1940年Elcentro南-北地震分分量的相相对位移移、相对对速度、、绝对加加速度反反应谱.7.3地震反应应谱由于一般般结构阻阻尼比很很小,可近似认认为d,所以从式(11)-(13)可见,D(T)、V(T)、A(T)分别为(15)(16)(17)(18)如果称下下式为准速度反反应谱7.3地震反应应谱则位移、、加速度度反应谱谱和准速速度反应应谱间有有如下关关系(19)(21a)(20)(22a)如果记(21b)则速度和和准速度度反应谱谱分别为为(22b)7.3地震反应应谱由式(22)可见(23a)(24a)式中(24b)由此可见见(25)(23b)由式(19)、(20)、(25)可见,只要有三三个反应应谱之一一,就可利用用其间所所述关系系方便地地求得另另两个反反应谱.7.3地震反应应谱上面介绍绍了用计计算机计计算的办办法获得得反应谱谱,实际上也也可利用用“多摆摆地震仪仪”在地地震现场场实测出出反应谱谱.7.3.2地震反应应谱的标标准化地震反应应谱随地地面运动动的不同同而变化化，不同同次地震震的反应应谱是不不同的，，同一次次地震不不同地点点由于地地质条件件的不同同，地面面运动也也是不同同的，因因此地震震反应谱谱也不同同。工程抗震震所要设设计的建建筑场地地未来的的地震更更是无法法预知的的，自然然无法得得到其地地震反应应谱。但但是，由由大量地地震记录录计算获获得的反反应谱却却有如下下共同的的特征：：1)阻尼对减减少反应应谱峰值值有很大大作用.2)速度反应应谱在相相当宽的的周期范范围内接接近于一一定值.3)加速度反反应谱当当周期稍稍长时谱谱值随周周期反比比下降.7.3地震反应应谱这样就有有可能利利用众多多的地震震记录算算得其平平均反应应谱作为为设计的的依据.这个平均均反应谱谱称为标准反应应谱.讲义上图图5-6和图5-7为C.W.Housner得到的平平均速度度和平均均加速度度反应谱谱.图5-8是三种反反应谱随随周期变变化趋势势的示意意.当周期很很短时,由于加速速度仪严严重失真真,因此反应应谱的这这一段误误差较大大.但作为极极端情况况T=0,此时体系系为刚体体,无相对位位移和速速度,所以D=V=0.而amax=|üg|max.当周期很很长时,系统刚度度很小,质点相当当于空中中定点,地面运动动时处于于不动的的状态.此时D=|ug|max.另两反应应谱可由由三反应应谱关系系得到.7.3.3抗震设计计反应谱谱目前抗震震设计主主要是确确定地震震作用,然后根据据地震作作用按静静力作结结构强度度和刚度度验算.7.3地震反应应谱单自由度度体系的的地震作作用为(26)为地震影影响系数数,我国抗震震设计规规范<建筑抗震震设计规规范>(GBJ11-89)给出了地地震影响响系数和和体系周周期的关关系曲线线如讲义义图5-9所示.7.4多自由度度地震作作用分析析多自由度度地震作作用分析析又称作作振型分分解反应应谱法,顾名思义义不难想想到是利利用振型型分解和和反应谱谱来解决决多自由由度体系系的地震震反应.图中Tg和max根据场地地土的类类别和国国家规定定的近震震还是远远震、建建设地点点的设防防烈度由由表5-1和5-2来确定。。7.4多自由度度地震作作用分析析7.4.1反应谱理理论的适适用条件件实际上反反应谱理理论有如如下三个个假定:1)结构的地地基式刚刚性盘体体.这一假定定对一般般建筑物物由于其其长度远远小于地地震波的的波长,可认为近近似满足足.但对于大大跨度桥桥梁和大大型水坝坝等结构构,这一假定定是不合合理的.2)结构是理理想弹性性体.在小震作作用下,结构不破破坏,可近似看看作弹性性体.但在大震震、罕遇遇地震作作用下,我国抗震震设计原原则是““大震不不倒”,允许结构构进入非非弹性状状态,此时反应应谱理论论不适用用.3)地面运动动过程可可以用地地震记录录来表示示.虽然地震震仪在高高频和低低频部分分有失真真,但是除地地震记录录外,没有更可可靠的资资料能说说明地震震地面运运动的规规律.7.4多自由度度地震作作用分析析7.4.2多自由度度体系地地震反应应分析多自由度度体系的的运动方方程为(27)利用第四四章振型型分解法法结果,设{u}=yj(t){A}j,将式(27)两边左左乘{A}iT,可得Mi*ÿi(t)+Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(28)式中Mi*={A}iT[M]{A}i(29)Ci*={A}iT[C]{A}i(30)Ki*={A}iT[K]{A}i(31)Pi*(t)=-{A}iT[M]{1}üg(t)(32)式(28)也可改改写为为ÿi(t)+2iiýi(t)+i2yi(t)=-iüg(t)(33)其中振振型参参与系系数为为i={A}iT[M]{1}/Mi*(34)7.4多自由由度地地震作作用分分析式(33)和单自自由度度运动动方程程只差差一个个振型型参与与系数数,因此对对每一一振型型均可可利用用单自自由度度的解解答(35)将其代代回{u}=yi(t){A}i,即可得得{u}=ii(t){A}i.式中i(t)称为第第i振型的的广义位位移,由式(35)可知[和式(11)一样](36)7.4.3多自由由度体体系地地震作作用分分析多自由由度体体系第第r质点的的地震震作用用(地震力力)为(37)若将[M]{1}üg也按振振型分分解,即设[M]{1}=ai[M]{A}i,则7.4多自由由度地地震作作用分分析由振型型正交交性可可证:ai=i.因此mrüg=mrügiAri(38)式(37)和(38)中Ari为第i振型第第r自由度度的值值.由式(38)可知iAri=1(39)将式(38)代回式式(37)可得由于i(t)=ui(t)[对比式式(11)和式(36)],因此绝绝对加加速度度(40)式(41)称为第i振型的的广义义加速速度反反应函函数.由此(41)(42)7.4多自由由度地地震作作用分分析若记考虑到到设计计关心心的是是最大大反应应,如取imax=i(T)称为第i振型地地震影影响系系数(由图5-9确定),则第i振型最最大地地震作作用为为(44)(43)i振型影影响函函数i振型作作用函函数(46)则(45)式(45)表明地地震作作用反反应函函数Pi(t)为各振振型地地震作作用反反应函函数之之和,它是地地震作作用的的一般般公式式.而工程程抗震震设计计中,要用结结构最最大内内力作作设计计依据据.7.4.4振型组组合问问题7.4多自由由度地地震作作用分分析7.4.4振型组组合问问题(47)(48)用式(48)计算最最大内内力反反应显显然不不便于于工程程抗震震设计计应用用.为此,利用反应谱谱确定各振振型地震反反应影响函函数的最大大值imax=i(T),则可求得各各振型的最最大地震内内力由各振型的的地震作用用反应函数数可求得各各振型的内内力反应函函数.设k截面第i振型内力反反应函数为为式中为作为静力作用所引起的k截面内力.由叠加原理k截面内力反应函数为(49)7.4多自由度地地震作用分分析(50)1)平方和开放放的组合方