质量管理7种工具

§4.1质量限制的数理统计学基础一、数据的种类1.计量值数据

（长度、重量、电流、温度等。测量结果的数据可以是连续的,也可以是不连续的）

２．计数值数据不能连续取值的，只能以个数计算的数为计数值数据。（不合格品数、缺陷数）

二、总体和样本把所探讨的对象的全体称为全及总体，也叫做母体或简称为总体。通常全及总体的单位数用N来表示，样本单位数称为样本容量，用n来表示。相对于N来说，n则是个很小的数。它可以是总体的几特别之一乃至几万分之一。三、数据特征值

数据特征值是数据分布趋势的一种度量。数据特征值可以分为两类。

集中度：平均值、中位数、众数等；

离散度：极差、平均偏差、均方根偏差、标准偏差等。1.表示数据集中趋势的特征值(1)频数计算各个值反复出现的次数，称之为频数。(2)算术平均值假如产品质量有n个测量数据xi(i=1,2,…，n)，平均值为：假如测量数据按大小分组，则平均值为(3)中位数数据按大小依次排列，排在中间的那个数称为中位数。用表示。当数据总数为奇数时，最中间的数就是；当数据总数为偶数时，中位数为中间两个数据的平均值。(4)众数众数是一组测量数据中出现次数(频数)最多的那个数值，一般用M0表示。2.表示数据离散程度的特征值

(1)极差极差是一组测量数据中的最大值和最小值之差。通常用于表示不分组数据的离散度，用符号R表示。

(2)平均偏差将每个数据减去平均值，并把它们的差值的确定值相加再除以测量数据的总个数，即得到平均偏差，用AD表示。(3)均方根偏差均方根偏差是测量数据平均值之差的平方和被总测数平均，然后再求其平均值，用σ表示。用均方根偏差作为的度量，可以干脆比较两组数据的均方根偏差的大小就可看出两组数据离散程度的大小。(4)标准偏差测量数据分布的离散最重要的度量是标准偏差，用S表示。对于大量生产的产品来说，不行能对全部产品进行检验，通常只对其中一部分产品（样本）进行检验。当把有限数量产品测量数据按标准方差的公式求得的样本方差和总体方差作一比较，会发觉这个估计值将偏小。因此，必需用因子n/n-1乘上样本方差来修正，则样本标准方差S2为

把样本标准方差开平方后，可得样本标准偏差为

当计算样本标准偏差时，随着样本大小n增大，便愈接近，则标准偏差估计值得误差将会缩小。数据的修整过多的四舍五入会造成误差过大，可实行进位和舍弃机会均等的修整方法：1）位数＞5，则：进位并舍去后面的数。2）位数＜5，则：舍去，及后面的数。3）位数＝5，则：a)后面的数为0或多数字，5前面的数为奇数进一、偶数舍去。b)后面的数不全为零，5前面的数进一、舍去5和以后的数。4）不得连续进行修整。序号平均数四舍五入后的平均数数值修整后的平均数1234567891012．42512．55012．47512．50012．40012．37512．62512．65012．47512．45012．4312．5512．4812．5012．4012．3812．6312．6512．4812．4512．4212．5512．4812．5012．4012．3812．6212．6512．4812．45合计124．925124．95124．93总平均12．492512．49512．493四、最常见的概率分布—正态分布连续随机变量最重要的分布正态分布,表达形式

式中，μ为总体的算术平均值；σ为总体的标准偏差；

假如我们令Z=(x-μ)/σ，那么我们可以得到正态密度函数标准化形式为μμ±σfμμ±3σf面积是全体变量的68.26％落在μ±σ的范围之内；95.46％的变量是落在μ±2σ界限之内；99.73％的变量落在μ±3σ界限之内。但是，必需特殊留意，在同样的两个已知界限内，对于样本界限内所占的百分比同总体界线内所占的百分比可能不很一样。这个差别特别重要，它构成了假设检验的基本原理。老七种工具之一：调查表调查表是为了调查客观事物、产品和工作质量，或为了分层收集数据而设计的图表。即把产品可能出现的状况及其分类预先列成调查表，则检查产品时只需在相应分类中进行统计。为了能够获得良好的效果、可比性、全面性和精确性，调查表格设计应简洁明白，突出重点；应填写便利，符号好记；调查、加工和检查的程序与调查表填写次序应基本一样，填写好的调查表要定时、准时更换并保存，数据要便于加工整理，分析整理后刚好反馈。

1.不良项目调查表质量管理中“良”与“不良”，是相对于标准、规格、公差而言的。一个零件和产品不符合标准、规格、公差的质量项目叫不良项目，也称不合格项目。

不良品项目调查表项目

日期交验数合格数不良品不良品类型废品数次品数返修品数废品类型次品类型返修品类型良品率（%）

2.缺陷位置调查表缺陷位置调查表宜与措施相联系，能充分反映缺陷发生的位置，便于探讨缺陷为什么集中在那里，有助于进一步视察、探讨发生的缘由。缺陷位置调查表可依据具体状况画出各种不同的缺陷位置调查表，图上可以划区，以便进行分层探讨和对比分析。3.频数调查表为了做直方图而需经过收集数据、分组、统计频数、计算、绘图等步骤。假如运用频数调查表，那就在收集数据的同时，干脆进行分解和统计频数。4.检查确认调查表检查确认调查表是对所做工作和加工的质量进行总的检查与确认。在有限的时间内检查太多的项目，稍有疏忽，同一项目可能检查两次，而有的项目可能漏检。因此，当检查项目较多时（100项以上），为了不致弄错或遗漏，预先把应检查的项目统统列出来，然后按依次，每检查一项在相应处作记号，防止遗漏。5.作业抽样调查表作业抽样是分析作业时间的方法。它将全部时间分为加工、准备、空闲的时间，然后通过随意时刻，反复多次瞬间观测作业的内容，进而调查各段时间占全部时间的百分比。目前，调查表广泛应用于各行各业，调查表的形式也多种多样。老七种工具之二：分层法分层就是把所收集的数据进行合理的分类，把性质相同、在同一生产条件下收集的数据归在一起，把划分的组叫做“层”，通过数据分层把错综困难的影响质量因素分析清晰。当分层分不好时，会使图形的规律性隐藏起来，还会造成假象。例如：☆作直方图分层不好时，就会出现双峰型和平顶型。☆排列图分层不好时，无法区分主要因素和次要因素，也无法对主要因素作进一步分析。☆散布图分层不好时，会出现几簇互不关连的散点群。☆限制图分层不好时，无法反映工序的真实变更，不能找出数据异样的缘由，不能作出正确的推断。☆因果图分层不好时，不能搞清大缘由、中缘由、小缘由之间的真实传递途径。二、分层法分层就是把所收集的数据进行合理的分类，把性质相同、在同一生产条件下收集的数据归在一起，把划分的组叫做“层”，通过数据分层把错综困难的影响质量因素分析清晰。通常，我们将分层与其他质量管理中统计方法一起联用，即将性质相同、在同一生产条件下得到的数据归在一起，然后再分别用其他方法制成分层排列图、分层直方图、分层散布图等。【例1-1】在柴油机装配中常常发生气缸垫漏气现象，为解决这一质量问题，对该工序进行现场统计。（1）收集数据：n=50，漏气数f=19，漏气率p=f/n=19/50=38%

通过分析，认为造成漏气有两个缘由：①该工序涂密封剂的工人A、B、C三人的操作方法有差异；②气缸垫分别由甲、乙两厂供应，原材料有差异。因此接受分层法列成表3、表4进行分析。（2）分析缘由由表3和表4，人们似乎以为，降低气缸漏气率的方法可接受乙厂供应的气缸垫和工人B的操作方法。但实践结果表明，这样做漏气率非但没有降低，反而增加到来43%，这是什么缘由呢？这是由于仅单纯地分别考虑操作者和原材料造成漏气的状况，没有进一步考虑不同工人用不同工厂供应的气缸垫也会造成漏气。为此，须要进行更细致的综合分析，如表5。由表1-5再次提出降低气缸漏气率的措施是：①运用甲厂供应的气缸垫时，要接受工人B的操作方法。②运用乙厂供应的气缸垫时，要接受工人A的操作方法。实践表明，上述的分层法及接受的措施特别有效，漏气率大大降低。老七种工具之三：直方图直方图法是适用于对大量计量值数据进行整理加工，找出其统计规律，即分析数据分布的形态，以便对其总体的分布特征进行推断，对工序或批量产品的质量水平及其匀整程度进行分析的方法。1.作直方图的方法步骤如下(1)收集数据

一般收集数据都要随机抽取50个以上质量特性数据，最好是100个以上的数据，并按先后依次排列。表是收集到的某产品数据，其样本大小用n=100表示。(2)找出数据中的最大值，最小值和极差。

数据中的最大值用xmax表示，最小值用xmin表示，极差用R表示。例4-2

某项目统计数据为：xmax=63，xmin=38，极差R=xmax-xmin=63-38=25。区间[xmax,xmin]称为数据的散布范围(3)确定组数。组数常用符号k表示。k与数据数多少有关。数据多，多分组；数据少，少分组。例中100个数据，常分为10组左右。也有人用这样一个阅历公式计算组数：k=1+3.31(logn)例中n=100，故：k=1+3.31(1ogn)=1+3.31(log100)=7.62≈8一般由于正态分布为对称形，故常取k为奇数。所以例中取k=9。

(4)求出组距(h)。组距即组与组之间的间隔，等于极差除以组数，即组距(5)确定组界为了确定边界，通常从最小值起先。先把最小值放在第一组的中间位置上。例4-2中数据最小值xmin=38，组距(h)=3，故第一组的组界为：(6)计算各组的组中值(wi)。▲所谓组中值，就是处于各组中心位置的数值，又叫中心值。▲某组的中心值(wi)=(某组的上限+某组的下限)/2▲第一组的中心值(w1)=（36.5+39.5）/2=38▲其次组的中心值(w2)=（39.5+42.52）/2=41▲其它各组类推，组中值如表4-7中所示。(7)统计各组频数。统计频数的方法，如表4-7所示。(8)画直方图。以分组号为横坐标，以频数为高度作纵坐标，作成直方图，如图4-2所示。510152012345678943图4—2直方图22频数组号16182317152.直方图的用途直方图在生产中是常常运用的简便且能发挥很大作用的统计方法。其主要作用是：(1)视察与推断产品质量特性分布状态(2)推断工序是否稳定。(3)计算工序实力，估算并了解工序实力对产品质量保证状况。3.直方图的视察与分析对直方图的视察，主要有两个方面：一是分析直方图的全图形态，能够发觉生产过程的一些质量问题；二是把直方图和质量指标比较，视察质量是否满足要求。直方图可分为正常型和非正常型,下面分别它们的形态。（1）正常型图形中心有一顶峰，左右大致对称，这时工序处于稳定状态。其它都属非正常型。正常型(2)偏向型图形有偏左、偏右两种情形，缘由是：(a)一些形位公差要求的特性值是偏向分布。(b)加工者担忧出现不合格品，在加工孔时往往偏小，加工轴时往往偏大造成。

偏向型(左)偏向型(右)(3)双峰型图形出现两个顶峰极可能是由于把不同加工者或不同材料、不同加工方法、不同设备生产的两批产品混在一起形成的。双峰型

(4)锯齿型图形呈锯齿状参差不齐，多半是由于分组不当或检测数据不准而造成。

锯齿型(5)平顶型无突出顶峰，通常由于生产过程中缓慢变更因素影响(如刀具磨损)造成。

平顶型(6)孤岛型由于测量有误或生产中出现异样(原材料变更、刀具严峻磨损等)。孤岛型4.直方图与标准界限比较统计分布符合标准的直方图有以下几种状况：（1）志向直方图：散布范围B在标准界限T=［Tl，Tu］内，两边有余量，TBSLTlTu(2)B位于T内，一边有余量，一边重合，分布中心偏移标准中心，应实行措施使分布中心与标准中心接近或重合，否则一侧无余量易出现不合格品。

(S)LTlTuTBS(L)TlTuTB（3）B与T完全一样，两边无余量，易出现不合格品。TB(S)(L)TlTu统计分布不符合标准的直方图有以下几种状况：1.分布中心偏移标准中心，一侧超出标准界限，出现不合格品。

TBSLTlTu统计分布不符合标准的直方图有以下几种状况：2.散布范围B大于T，两侧超出标准界限，均出现不合格品。

TBSLTlTu尽管直方图能够很好地反映出产品质量的分布特征，但由于统计数据是样本的频数分布，它不能反映产品随时间的过程特性变更，有时生产过程已有趋向性变更，而直方图却属正常型，这也是直方图的局限性。老七种工具之四：散布图散布图是通过分析探讨两种因素的数据之间的关系，来限制影响产品质量的相关因素的一种有效方法。有些变量之间有关系，但又不能由一个变量的数值精确地求出另一个变量的数值。将这两种有关的数据列出，用点子打在座标图上，然后视察这两种因素之间的关系。这种图就称为散布图。如棉纱的水分含量与伸长度之间的关系；喷漆时的室温与漆料粘度的关系；零件加工时切削用量与加工质量的关系；热处理时钢的淬火温度与硬度的关系(如图4-9)等等。从图4-9可见，数据的点子近似于一条直线，在这种状况下可以说硬度与淬火温度近似线性关系。散布图从图中可见，数据的点子近似于一条直线，在这种状况下可以说硬度与淬火温度近似线性关系。45505560850900淬火温度(oC)硬度HRC图4—9钢的淬火温度与硬度分布图。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1.散布图的视察分析依据测量的两种数据做出散布图后，视察其分布的形态和密疏程度，来推断它们关系亲密程度。散布图大致可分为下列情形：

(1)完全正相关

x增大，y也随之增大。x与y之间可用直线y=a+bx(b为正数)表示。yx完全正相关················散布图大致可分为下列情形：(2)正相关

x增大，y基本上随之增大。此时除了因素x外，可能还有其它因素影响。

yx正相关··························散布图大致可分为下列情形：(3)负相关

x增大，y基本上随之减小。同样，此时可能还有其它因素影响。yx负相关······················散布图大致可分为下列情形：(4)完全负相关

x增大，y随之减小。x与y之间可用直线y=a+bx(b为负数)表示。yx(d)完全负相关·················散布图大致可分为下列情形：(5)无关即x变更不影响y的变更。yx无关················制作与视察散布图应留意的几种状况(a)应视察是否有异样点或离群点出现，即有个别点子脱离总体点子较远。假如有不正常点子应剔除；假如是缘由不明的点子，应慎重处理，以防还有其它因素影响。制作与视察散布图应留意的几种状况(b)散布图假如处理不当也会造成假象，如图。若将x的范围只局限在中间的那一段，则在此范围内看，y与x似乎并不相关，但从整体看，x与y关系还比较亲密。

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

局部与整体的散布图xy○○制作与视察散布图应留意的几种状况(c)散布图有时要分层处理。如图，x与y的相关关系似乎很亲密，但若细致分析，这些数据原是来自三种不同的条件。假如这些点子分成三个不同层次A、B、C。从每个层次中考虑，x与y实际上并不相关。○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

应分层处理的散布图xy○○ABC2.散布图与相关系数r变量之间关系的亲密程度，须要用一个数量指标来表示，称为相关系数，通常用r表示。不同的散布图有不同的相关系数，r满足：-1≤r≤1。因此，可依据相关系数r值来推断散布图中两个变量之间的关系。r值两变量间的关系，判断r=1完全正相关1＞r＞0正相关

（越接近于1，越强：

越接近于0，越弱）r=0不相关0＞r＞-1负相关

（越接近于

-1，越强；越接近于0，越弱）r=-1完全负相关散布图与相关系数r表相关系数的计算公式是：

式中

——表示n个x数据的平均值；——表示n个y数据的平均值；——表示x的离差平方之和，即——表示y的离差平方之和，即——表示x的离差与y的离差的乘积之和，即通常为了避开计算离差时的麻烦和误差，在计算相关系数时，也可接受下列进行：留意r所表示线性相关。当r的确定值很小甚至等于0时，并不表示x与y之间就确定不存在任何关系。如x与y之间虽然是有关系的，但是经过计算相关系数的结果却为0。这是因为此时x与y的关系是曲线关系，而不是线性关系造成的。老七种工具之五：排列图排列图是通过找出影响产品质量的主要问题，以便改进关键项目。排列图最早由意大利经济学家巴累特(Pareto)用于统计社会财宝分布状况的。他发觉少数人占有大部分财宝，而大多数人却只有少量财宝，即所谓“关键的少数与次要的多数”这一相当普遍的社会现象。。排列图的形式

●●●●●●问题（项目）B类C类频数（件）频率（%）A类㈠㈡㈢㈣㈥㈤

1.排列图的作图步骤

(1)确定分析对象

一般指不合格项目、废品件数、消耗工时等等。(2)收集与整理数据

可按废品项目、缺陷项目，不同操作者等进行分类。列表汇总每个项目发生的数量即频数fi，按大小进行排列。(3)计算频数fi、频率Pi%、累计频率Fi等。

(4)画图

排列图由两个纵坐标，一个横坐标。左边的纵坐标表示频数fi，右边的纵坐标表示频率Pi；横坐标表示质量项目，按其频数大小从左向右排列；各矩形的底边相等，其高度表示对应项目的频数。

排列图的作图步骤排列图的作图步骤(5)依据排列图，确定主要、有影响、次要因素。主要因素——累计频率Fi在0~80%左右的若干因素。它们是影响产品质量的关键缘由，又称为A类因素。其个数为1~2个，最多3个。有影响因素——累计频率Fi在80~95%左右的若干因素。它们对产品质量有确定的影响，又称为B类因素。次要因素——累计频率Fi在95~100%左右的若干因素。它们对产品质量仅有稍微影响，又称为C类因素

例4-3：某化工厂对十五台尿素塔焊缝缺陷所需工时进行统计分析，如表4-9。序

号项

目返修工时fi频率Pi(%)累计频率Fi(%)类

别12焊缝气孔夹渣.1485160.420.860.481.2A34焊缝成型差焊道凹陷20158.26.189.495.5B5其

他114.5100C

合

计245100

按排列图作图步骤，确定焊缝气孔和夹渣为主要因素；焊缝成型差和焊道凹陷为有影响因素，其它为次要因素。●●●●●问题（项目）频数fi（件）Pi频率（%）60.4%焊缝气孔81.2%89.4%100%95.5%50%夹渣焊缝成型差焊缝凹陷其它501001502002502.排列图的用途(1)找出主要因素。排列图把影响产品质量的“关键的少数与次要的多数”直观地表现出来，使我们明确应当从哪里着手来提高产品质量。实践证明，集中精力将主要因素的影响减半比歼灭次要因素收效显著，而且简洁得多。所以应当选取排列图前1~2项主要因素作为质量改进的目标。假如前1~2项难度较大，而第3项简易可行，立刻可见效果，也可先对第3项进行改进。排列图的用途

(2)解决工作质量问题也可用排列图。不仅产品质量，其它工作如节约能源、削减消耗、平安生产等都可用排列图改进工作，提高工作质量。检查质量改进措施的效果。实行质量改进措施后，为了检验其效果，可用排列图来核查。假如确有效果，则改进后的排列图中，横坐标上因素排列依次或频数矩形高度应有变更。老七种方法之六：因果图因果图是表示质量特性与缘由的关系的图。收集各种信息，比较缘由大小和主次，找出产生问题的主要缘由；也就是依据反映出来的主要问题（最终结果），找出影响它的大缘由、中缘由、小缘由、更小缘由等等。主干箭头所指的为质量问题，主干上的大枝表示大缘由，中枝、小枝芽表示缘由的依此绽开。大原因小原因中原因更小原因结果（第一质量问题）1.因果图作图步骤（1）确定要探讨分析的质量问题和对象，既确定要解决的质量特性是什么。将分析对象用确定语气（不标问号）写在图的右边，最好定量表示，以便推断实行措施后的效果。因果图作图步骤（2）确定造成这个结果和质量问题的因素分类项目。影响工序质量的因素分为人员、设备、材料、工艺方法、环境等；再依次细分，画大枝，箭头指向主干，箭尾端记上分类项目，并用方框框上。

因果图作图步骤（3）把到会者发言、探讨、分析的看法归纳起来，按相互的相依隶属关系，由大到小，从粗到细，逐步深化，直到能够实行解决问题的措施为止。将上述项目分别绽开：中枝表示对应的项目中造成质量问题的一个或几个缘由；一个缘由画一个箭头，使它平行于主干而指向大枝；把探讨、看法归纳为短语，应言简意准，记在箭干的上面或下面，再绽开，画小枝，小枝是造成中枝的缘由。如此绽开下去，越具体越细致，就越好。因果图作图步骤（4）确定因果图中的主要、关键缘由，并用符号明显的标出，再去现场调查探讨，验证所确定的主要、关键缘由是否找对、找准。以此作为制订质量改进措施的重点项目。一般状况下，主要、关键缘由不应超过所提出的缘由总数的三分之一。因果图作图步骤（5）注明本因果图的名称、日期、参与分析的人员、绘制人和参考查询事项。做因果图的一个重要内容就是要收集大量的信息，而很多信息是靠人们主观想象和思维得到的。2.作因果图的留意事项（1）要充分发扬民主，把各种看法都记录、整理入图。确定要请当事人、知情人到会并发言，介绍状况，发表看法。（2）主要、关键缘由越具体，改进措施的针对性就越强。主要、关键缘由初步确定后，应到现场去落实、验证主要缘由，在订出切实可行的措施去解决。作因果图的留意事项（3）不要过分的追究个人责任，而要留意从组织上、管理上找缘由。实事求是的供应质量数据和信息，不相互推托责任。（4）尽可能用数据反映、说明问题。作因果图的留意事项（5）作完因果图后，应检查下列几项：图名、应标明主要缘由是哪些等、文字是否简便通俗、编译是否明确、定性是否精确、应尽可能地定量化、改进措施不宜画在图上。（6）有必要时，可再画出措施表。老七种工具之七：限制图限制图是推断和预报生产过程中质量状况是否发生波动的一种有效方法。例如：美国某电气公司的一个工厂有3千人，制定了5千张限制图；美国柯达彩卷公司有5千人，制定限制图有3万5千张，平均每人7张。我国某飞机制造厂中的先进质量体系(AQS)中，要求一些工序必需作限制图。

1.限制图的基本格式限制图的基本格式如图所示。中心线CL(CentralLine)——用细实线表示；上限制界限UCL(UpperCortrolLimit)——用虚线表示；下限制界限LCL(LowerControlLimit)——用虚线表示。UCL●●●●●●●●●●CLLCL子样号重量特性数据所谓限制图的基本思想就是把要限制的质量特性值用点子描在图上，若点子全部落在上、下限制界限内，且没有什么异样状况时，就可推断生产过程是处于限制状态。否则，就应依据异样状况查明并设法解除。通常，点子越过限制线就是报警的一种方式。2.常用限制图的种类常用质量限制图可分为两大类：（1）计量值限制图包括：单值限制图（），中位数限制图。（2）计数值限制图包括：不良品数限制图，不良品率限制图，缺陷数限制图，单位缺陷数限制图。依据所要限制的质量特性和数据的种类、条件等，按图中得箭头方向便可作出正确的选用。数据种类样本容量指标中心位置计数值计量值复数不良品缺陷平均数中位数平均值—极差控制图(—R)中位数控制图()缺陷数控制图(C)单位缺陷数控制图(u)单值控制图(x)单数单值—移动极差控制图(x—RS)样本容量确定不确定不良品数控制图(Pn)不良品率控制图(P)确定不确定样本容量图4—18控制图的种类及选用流程计量值限制图一般适用于以计量值为限制对象的场合。计量值限制图对工序中存在的系统性缘由反应敏感，所以具有刚好查明并消退异样的明显作用，其效果比计数值限制图显著。计量值限制图常常用来预防、分析和限制工序加工质量，特殊是几种限制图的联合运用。计数值限制图则用于以计数值为限制对象的场合。离散型的数值，比如，一个产品批的不合格品件数。虽然其取值范围是确定的，但取值具有随机性，只有在检验之后才能确定下来。计数值限制图的作用与计量值限制图类似，其目的也是为了分析和限制生产工序的稳定性，预防不合格品的发生，保证产品质量。3.限制界限的原理限制图中的上、下限制界限，一般是用“三倍标准偏差法”(又称3σ法)。而把中心线确定在被限制对象(如平均值、极差、中位数等)的平均值上。再以中心线为基准向上或向下量3倍标准偏差，就确定了上、下限制界限。表4-11计量值限制图计算公式中的系数值表小组观察数目(n)A2D3D4m3A2E21/d221.830/3.2671.8802.6600.88631.023/2.5751.1871.7720.59140.729/2.2320.7961.4570.48650.577/2.1150.6911.2900.43060.483/2.0040.5491.1840.39570.4190.0761.9240.5091.1090.37080.3730.1361.8640.4321.0540.35190.3370.1841.8160.4121.0100.337100.3080.2231.7770.3630.9450.32例4-4：某厂生产φ10±0.20毫米的圆柱销，每隔确定时间随机抽取5个样品，共取20组，所得数据。表4-12例4-4解：(1)平均值的中心值，（2）依据表4-15的计算公式求出：(3)依据R图的计算公式求出：

（4）依据以上数据作图并打点。4.限制图的分析与推断用限制图识别生产过程的状态，主要是依据样本数据形成的样本点位置以及变更趋势进行分析和推断，推断工序是处于受控状态还是失控状态。1）受控状态的推断工序是否处于受控状态（或稳定状态），其推断的条件有两个：(a)在限制界限内的点子排列无缺陷；(b)限制图上的全部样本点全部落在限制界限之内。在满足了条件(a)的状况下，对于条件(b)，若点子的排列是随机地处于下列状况，则可认为工序处于受控状态。(1)连续25个点子没有1点在限制界限以外；(2)连续35个点子中最多有1点在限制界限以外；(3)连续100个点子中最多有2点在限制界限以外。若过程为正态分布，d为界外点数，则P(连续35点，d≤1)=C035(0.9973)35+C135(0.9973)34(0.0027)=0.9959P(连续35点，d＞1)=1-0.9959=0.0041于0.0027位统一数量级的小概率。同理，P(连续100点，d＞2)=0.0026但是P(连25点，d＞0)=0.0654(有人建议这一判据应划为稳态)2)失控状态的推断只要限制图上的点子出现下列状况时，就可推断工序为失控状态：(a)

限制图上的点子超出限制界限外或恰好在在界限上；(针对判真为假而言，α越小越好)(b)限制界限内的点子排列方式有缺陷，呈现非随机排列。(针对判假为真而言，β越小越好)αβUCLCLLCL两类错误往往不行避开，α削减而β削减，反之，β削减而α削减。因此，只能依据两类错误造成的总损失最小来确定上下的限制界限。限制图有缺陷的状态(1)点子越出限制界限。(2)点子在限制界限旁边，即在2σ~3σ之间。(称为警戒区间)a）连续3点中有2点在警戒区内（0.0053）；

3σ2σμ●●●●●●●b）连续7点中有3点在警戒区内；c）连续10点中有4点在警戒区内。3σ2σμ●●●●●●●说明：μ±2σ—μ±3σ的概率为0.0428μ±2σ——0.9545；μ±3σ——0.9973连续3点有2点在