2021年湖南省各市各区数学中考模拟试题分类汇编：三角形填空

2021年湖南省各市各区数学中考模拟试题分类汇编：三角形填空1．（2021•娄底模拟）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝1，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．2．（2021•天心区二模）如图，矩形ABCD中，点E在AD上，过点E作EF⊥BE交CD于F，且BC＝BE＝10，FC＝FE＝5，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H．以下结论：①∠FED＝∠EBA；②AE＝6；③AE•ED＝CD•DF；④连接CH，则CH的最小值为﹣5；其中正确的结论是．（所有正确结论的序号都填上）3．（2021•岳阳二模）数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五丈，中斜十二丈，大斜十三丈，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5丈，12丈，13丈，问这块沙田面积有多大？（题中的“丈”是我国市制长度单位，1丈＝10尺．）则该沙田的面积为平方丈．4．（2021•长沙模拟）如图，等腰Rt△OA1A2，OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，以此规律作等腰Rt△OA8A9，则△OA8A9的面积是．5．（2021•邵阳模拟）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，动点P从点B出发沿射线BC运动，当△APB为等腰三角形时，这个三角形底边的长为．6．（2021•天心区一模）如图，点O是三角形ABC内的一点，OA＝OB＝OC＝4，∠BAC＝45°，已知S△AOC﹣S△AOB＝2，则∠BOC＝，S△ABC＝．7．（2021•邵阳县模拟）中国的《周髀算经》明确记载了：勾广三，股修四，径隅五．还给出了勾股定理的一般形式．在西方数学史中，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理．我们把像3，4，5这样一组满足a2+b2＝c2的正整数解称为勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成如图（八）的表，其中每行数为勾股数．观察表中每列数的规律，可知x+y的值为．a381524…xb46810…yc5101726…828．（2021•永州模拟）如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝米．9．（2021•天心区一模）如图，△ABC≌△DCB，AC与BD相交于点E，若∠ACB＝40°，则∠BEC等于．10．（2021•怀化模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，则∠CAE＝．11．（2021•天心区二模）笔直的公路AB，AC，BC如图所示，AC，BC互相垂直，AB的中点D与点C被建筑物隔开，若测得AC的长为6km，BC的长为8km，则C，D之间的距离为km．12．（2021•邵阳模拟）如图所示，我国汉代数学家赵爽，为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为5，则S1+S2+S3＝．13．（2021•湘潭模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，且BD＝CE，请你在图中找出一组全等三角形．（不添加任何字母和辅助线）14．（2021•醴陵市模拟）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．15．（2021•张家界模拟）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕O点顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕O点连续旋转2021次得到正方形OA2021B2021C2021，则点A2021的坐标为．16．（2021•攸县模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则△ABC的周长为．17．（2021•长沙模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝．18．（2021•高新区模拟）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等．若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A、B分别在l3、l2上，则tanα的值是．19．（2021•郴州模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为．20．（2021•娄底模拟）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字8，x，10，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是．21．（2017•宜兴市一模）如图，在△ABC和△BAD中，BC＝AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是（只填一个）．22．（2021•湘西州模拟）如图，△ABC与△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，DE交AC于点F，且AB＝5，AD＝3．当△CEF是直角三角形时，BD＝．23．（2021•邵阳模拟）如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为8cm，母线OE（OF）长为8cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为cm．24．（2021•岳阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD．若AD＝12cm，则BC的长为cm．25．（2021•娄底模拟）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是尺．26．（2021•娄底模拟）如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为．27．（2021•长沙模拟）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．28．（2021•娄底模拟）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是．（只填一个即可）29．（2021•娄底模拟）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是．30．（2021•娄底模拟）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝．

参考答案1．【解答】解：作∠BCE＝30°，过A作AE⊥CE交BC于D，在Rt△CED中，∠BCE＝30°，∴DE＝，∴AD+＝AD+DE，∴当A、D、E三点共线时，AD+DE最小，在△ABC中，∠A＝90°，∵∠B＝60°，AB＝1，∴AC＝tan60°×1＝，在Rr△ACE中，∠ACE＝60°，∴AE＝sin60°×＝，∴AD+最小值为，∴2AD+DC的最小值为3．故答案为：3．2．【解答】解：连接BF，CE交于点O，由BE＝BC，EF＝FC可得BF垂直平分EC，∵BF垂直平分EC，∴在Rt△BEF中，BF＝，FO＝，BO＝，EO＝，EC＝2EO＝4，设DF为x，DC＝5+x，DE＝，过E作EG⊥BC，在Rt△EGC中，EG2+GC2＝EC2，即（5+x）2+（52﹣x2）2＝（4）2，解得x＝3，∴DC＝8，DE＝4，AE＝6，②正确；∵，∴△ABE∽△DEF，∵AB＝CD，∴，即AE•ED＝CD•DF，③正确；∵△ABE∽△DEF，∴∠FED＝∠EBA，①正确；∵EN⊥BM，BE＝10，∴点H的运动轨迹为以BE中点I为圆心，5为半径的上运动，过I作IT⊥DC于T，CI＝，在△IHC中，CH≥CI﹣IH＝﹣5，④正确．故答案为：①②③④．3．【解答】解：∵52+122＝132，∴该三角形沙田是直角三角形沙田，∴该沙田的面积为：＝30（平方丈），故答案为：30．4．【解答】解：∵等腰Rt△OA1A2，OA1＝A1A2＝1，∴OA2＝＝＝，即OA2＝OA1，同理，OA3＝OA2＝×＝（）2，…，第4个等腰直角三角形直角边OA4＝（）3＝2，所以第4个等腰直角三角形的面积＝×2×2＝4，根据规律，第8个等腰直角三角形的直角边OA8＝（）8﹣1＝8，所以第8个等腰Rt△OA8A9的面积＝×8×8＝64．故答案为：64．5．【解答】解：由勾股定理可知：BC＝＝＝12，分类讨论：①A为等腰三角形的顶点时，有AB＝AP，相当于以A点为圆心，AB为半径的圆，P点在BC的延长线上，如图1所示，此时△APB的底边BP＝2BC＝2×12＝24；②B为等腰三角形顶点时，有BA＝BP，相当于以点B为圆心，AB为半径画圆，P点在BC的延长线上，如图2所示，此时△APB的底边为AP，在Rt△ABP中，AP＝＝＝；③P为等腰三角形顶点时，有PA＝PB，如图3所示，此时P点在线段AB的垂直平分线上，△APB的底边为AB＝13，综上所述，当△ABP为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为24或或13，故答案为：24或或13．6．【解答】解：∵OA＝OB＝OC＝4，∴△ABC是以O为圆心，半径为4的内接三角形，延长AO交BC于点E，作BM⊥AE，CN⊥AE，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴BC＝OB＝4，∵S△AOC﹣S△AOB＝2，∴AO•CN﹣AO•BM＝2（CN﹣BM）＝2，∴CN﹣BM＝1．∵∠BOM+∠CON＝90°，∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠CON＝∠OBM，又∵∠BMO＝∠CNO＝90°，OB＝OC，在△BOM和△CON中，∴△BOM≌△CON（AAS），∴OM＝CN，在Rt△BOM和Rt△CON中，由勾股定理得：BM2+OM2＝ON2+CN2＝16，即BM2+CN2＝16，联立方程，解得BM＝或BM＝（舍）．∴CN＝BM+1＝．∴S△AOC+S△AOB＝AO•CN+AO•BM＝2（CN+BM）＝2．∵S△BOC＝OB•OC＝8，∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝8+2．故答案为：90°，8+2．7．【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，8＝32﹣1，6＝2×3，10＝32+1，15＝42﹣1，8＝2×4，17＝42+1，24＝52﹣1，10＝2×5，26＝52+1，……80＝92﹣1，18＝2×9，82＝92+1，∴x＝80，y＝18，∴x+y＝98，故答案为98．8．【解答】解：连接AB，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE＝AB，即AB＝2DE，∵DE＝15米，∴AB＝30（米），故答案为：30．9．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠ACB＝40°，∴∠DBC＝∠ACB＝40°，∴∠BEC＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：100°．10．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°，∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠BAE＝∠B＝30°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，故答案为：90°．11．【解答】解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+CB2，∵AC的长为6km，BC的长为8km，∴AB＝10km，∵D点是AB中点，∴CD＝AB＝5km．故答案为：5．12．【解答】解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2＝GF2，∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，∴CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝CG2+CF2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，＝KF2+NF2﹣2KF•NF＝KF2+KG2﹣2DG•CG＝FG2﹣2CG•DG，∵正方形EFGH的边长为5，∴GF2＝25，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+FG2﹣2CG•DG＝3GF2＝75，故答案为：75．13．【解答】解：在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∵BD＝CE，∴BD+DE＝CE+DE，∴BE＝CD．在△ABD与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）；故答案为：△ABD≌△ACE或△ABE≌△ACD．14．【解答】解：如图，连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝AB＝2，四边形DMCN是正方形，DM＝2．则扇形DEF的面积是：＝2π．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（ASA），∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝4．则阴影部分的面积是：2π﹣4．故答案为：2π﹣4．15．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），A4（0，﹣），A5（﹣，﹣），…，发现是8次一循环，所以2021÷8＝252……5，∴点A2021的坐标为（﹣，﹣）．故答案为（﹣，﹣）．16．【解答】解：∵∠C＝90°，∠C＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠DAB＝∠B＝30°，∴DA＝DB，∵DE⊥AB，∴AE＝BE＝＝，∴AB＝2，∵AC＝AB，∴AC＝，∴BC＝＝3，∴△ABC的周长为+2+3＝3+3，故答案为3+3．17．【解答】解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：∵CE⊥AD，∴∠AEF＝∠AEC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，在△AEF与△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（ASA），∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，∵∠AFC＝∠B+∠ECD，∴∠ACF＝∠B+∠ECD，∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，∵∠ACB＝3∠B，∴2∠ECD+∠B＝3∠B，∴∠B＝∠ECD，∴CF＝BF，∵BC＝BD，∴＝，S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，∴＝，即＝＝，∴AB＝AC＝，∴CF＝BF＝﹣8＝，∴CE＝CF＝，故答案为：．18．【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD＝BE＝1，∴DE＝3，∴tan∠α＝．故答案为：．19．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点F，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF＝BE＝x，BD＝DF＝2﹣x，在Rt△BED中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+x2＝（2﹣x）2，解得x1＝﹣2﹣2（负值舍去），x2＝﹣2+2，∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2＝6﹣4．故答案为：6﹣4．20．【解答】解：∵正方形A的边长为，∴SA＝37，根据勾股定理的几何意义，得x+10+（8+y）＝SA＝37，∴x+y＝37﹣18＝19，即x+y＝19．故答案为x+y＝19．21．【解答】解：欲证两三角形全等，已有条件：BC＝AD，AB＝AB，所以补充两边夹角∠CBA＝∠DAB便可以根据SAS证明；补充AC＝BD便可以根据SSS证明．故补充的条件是AC＝BD（或∠CBA＝∠DAB）．故答案是：AC＝BD（或∠CBA＝∠DAB）．22．【解答】解：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝90°﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，①如图1，∠CFE＝90°时，AF⊥DE，∴AF＝EF＝AE＝×3＝3，CF＝AC﹣AF＝5﹣3＝2，在Rt△CEF中，CE＝＝＝，∴BD＝CE＝；②如图2，∠CEF＝90°时，∠AEC＝135°，∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°，∵∠ADB+∠ADE＝135°+45°＝180°，∴点B、D、F三点共线，过点A作AG⊥DE，则AG＝DG＝AD＝×3＝3，在Rt△ADG中，BG＝＝＝4，∴BD＝BG﹣DG＝4﹣3＝1，综上所述，BD＝或1．故答案为：或1．23．【解答】解：∵OE＝OF＝EF＝8（cm），∴底面周长＝8π（cm），将圆锥侧面沿OF剪开展平得一扇形，此扇形的半径OE＝8（cm），弧长等于圆锥底面圆的周长8π（cm）设扇形圆心角度数为n，则根据弧长公式得：8π＝，∴n＝180°，即展开图是一个半圆，∵E点是展开图弧的中点，∴∠EOF＝90°，连接EA，则EA就是蚂蚁爬行的最短距离，在Rt△AOE中由勾股定理得，EA2＝OE2+OA2＝64+36＝100，∴EA＝10（cm），即蚂蚁爬行的最短距离是10cm．故答案为：10．24．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝12cm，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝15°+15°＝30°，在Rt△BCD中，BC＝BD＝×12＝6cm．故答案为：6．25．【解答】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水池里水的深度是12尺．故答案为：12．26．【解答】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN＝BC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．故答案为：2．27．【解答】解：方法一：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F