高中数学1正弦定理余弦定理教案北师大版

§1正弦定理、余弦定理（3）教课目标：要修业生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形教课要点：余弦定理的证明及其基本应用教课难点：理解余弦定理的作用及其合用范围教课过程：问题提出：在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和此中一边的对角，能够用利用正弦定理求其余的边和角，那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三个角呢？剖析理解：1．余弦定理的向量证明：设△ABC三边长分别为a,b,cAC=AB+BCAC?AC=(AB+BC)?(AB+BC)=AB2+2AB?BC+BC2=|AB|22|AB||BC|cos(1800)B即：b2a2c22accosB

BcaAbC同理可得：a2b2c22bccosAc2a2b22abcosC2．语言表达：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。3．重申几个问题：熟习定理的构造，注意“平方”“夹角”“余弦”等2知三求一当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）4b2c2a2a2c2b2变形：cosA2bccosB2aca2b2c2cosC2ac余弦定理的应用能解决的问题：1．已知三边求角2．已知三边和它们的夹角求第三边例1、如图，有两条直线AB和CD订交成800，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA,OC方向出发，速度分别是4km/h,4.5km/h，3小时后两人相距多远（结果精准到0.1km）剖析：经过3时后，甲抵达点P，OP4312km，乙抵达点Q，问题转变为在OPQ中，已知OP12km，OQ13.5km，POQPQ的长解：经过3时后，甲抵达点P，OP4312km，乙到达点Q，OQC依余弦定理有PQOP2OQ22OPOQcosPOQQ答：3时后两人相距约为16.4km例2：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托期用来构o800B2，35，的图形，试计算图中造无理数，D线段BD的长度及DAB的大小（长度精准到0.1，角度精准到10）解：在BCD中，BC1,CD1,BCD1350由于BD2BC2CD22BCCDcosBCD因此BD1.8在ABD中，AB1,BD22,AD3由于DcosDABAB2AD2BD212(3)2(22)0.16912ABAD213

800，求PAA132B11C因此DAB800思虑沟通：你还可以用其余方法求线段BD的长度及DAB的大小吗？（用解直角三角形的方法及三角函数知识加以解决）讲堂小结：余弦定理及其应用讲堂作业：1、若△ABC的三个内角知足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（A）必定是锐角三角形.（B）必定是直角三角形.（C）必定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.分析：由sinA:sinB:sinC5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得cosc5211213225110，因此角C为钝角2、（2010江西理数）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三平分点，则tanECF（D）A.16B.2C.3D.327334【分析】考察三角函数的计算、分析化应意图识。解法1：商定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得cosECF4，5解得tan3ECF4解法2：坐标化。商定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得cosECF4，5解得tan3。ECF43、（2010天津理数）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b23bc，sinC23sinB，则A=（A）（A）300（B）600（C）1200（D）1500【分析】此题主要考察正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。c23b3b，由由正弦定理得c22R2Rb2+c2-a2