高考数学小题押题练（一）（文）（含解析）

/06/6/小题押题练(一)一、选择题1．设全集U＝R，集合M＝{y|y＝lg(x2＋10)}，N＝{x|0<x<2}，则N∩(?UM)＝()A．(0,1) B．(0,1]C．(1,2) D．?解析：选A由M＝{y|y＝lg(x2＋10)}得M＝{y|y≥1}，所以?UM＝(－∞，1)，故N∩(?UM)＝(0,1)，故选A.2．已知复数z满足(z＋1)(2＋3i)＝5－2i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A．－eq\f(19,13) B．eq\f(19,13)C．－eq\f(9,13)D.eqD.\f(9,13)解析：选A由(z＋1)(2＋3i)＝5－2i，得z＝eq\f(5－2i,2＋3i)－1＝eq\f(?5－2i??2－3i?,?2＋3i??2－3i?)－1＝eq\f(4－19i,13)－1＝－eq\f(9,13)－eq\f(19,13)i，所以复数z的虚部为－eq\f(19,13).3．已知向量a＝(1,3)，b＝(sinα，cosα)，若a∥b，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝()A．－3 B．－2C.eq\f(2,3) D．2解析：选D因为a∥b，所以3sinα＝cosα?tanα＝eq\f(1,3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\f(1,3)＋1,1－\f(1,3))＝2，选D.4．(2018·合肥一模)已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项和等于()A．112 B．51C．28 D．18解析：选C设等差数列{an}的公差为d，由题意，得d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝－3，a1＝a2－d＝13，则S7＝7a1＋eq\f(7×?7－1?,2)d＝7×13－7×9＝28，故选C.5．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝4x或x2＝eq\f(1,2)y B．y2＝4xC．y2＝4x或x2＝－eq\f(1,2)y D．x2＝－eq\f(1,2)y解析：选C设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝ax，将点(1，－2)代入可得a＝4，故抛物线的标准方程是y2＝4x；设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝by，将点(1，－2)代入可得b＝－eq\f(1,2)，故抛物线的标准方程是x2＝－eq\f(1,2)y.综上可知，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y2＝4x或x2＝－eq\f(1,2)y.6．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是()A.eq\f(1,2)B.eqB.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eqD.eq\f(3,4)解析：选D抛掷两次该玩具共有16种情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，…，(4,4)．其中乘积是偶数的有12种情况：(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).7．(2018·长郡中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的i＝1，S＝0，则输出的i为()A．7 B．9C．10 D．11解析：选B依题意，执行程序框图，i＝1，S＝0<2，S＝ln3，i＝3，S<2；S＝ln5，i＝5，S<2；S＝ln7，i＝7，S<2；S＝ln9，i＝9，S>2，此时结束循环，输出的i＝9，选B.8．(2018·郑州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于()A．10cm3 B．C．30cm3 D．40解析：选B由三视图知该几何体为底面为长方形的四棱锥，记为四棱锥A-BDD1B1，将其放在长方体中如图所示，则该几何体的体积V＝V长方体ABCD-A1B1C1D1－V三棱锥A-A1B1D1－V三棱柱BCD-B1C1D1＝3×4×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×5－eq\f(1,2)×3×4×5＝20(cm3)，故选B.9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是()A．33 B．34C．36 D．35解析：选B由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.10.(2018·成都模拟)如图，已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|＝6，|BC|＝eq\f(5,2)，则双曲线E的离心率为()A.eq\r(2) B．eq\f(3,2)C.eq\f(5,2) D.eq\r(5)解析：选B根据|AB|＝6可知c＝3，又|BC|＝eq\f(5,2)，所以eq\f(b2,a)＝eq\f(5,2)，b2＝eq\f(5,2)a，c2＝a2＋eq\f(5,2)a＝9，得a＝2(舍负)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).11．(2018·山东德州模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc，a＝eq\r(3)，S为△ABC的面积，则S＋eq\r(3)cosBcosC的最大值为()A．1 B．eq\r(3)C.eq\r(3)＋1 D．3解析：选B因为a2＝b2＋c2＋bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(bc,2bc)＝－eq\f(1,2).又A为△ABC的内角，所以0<A<π，所以A＝eq\f(2π,3).所以eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝2，故b＝2sinB，c＝2sinC，所以S＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\f(1,2)bcsinA＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\f(\r(3),4)bc＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\r(3)sinBsinC＋eq\r(3)cosBcosC＝eq\r(3)cos(B－C)，又A＋B＋C＝π，A＝eq\f(2π,3)，所以B－C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，所以cos(B－C)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，当B＝C时，cos(B－C)＝1，所以S＋eq\r(3)cosBcosC∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\r(3)))，即S＋eq\r(3)cosBcosC的最大值为eq\r(3).12．已知函数f(x)＝(x－b)lnx＋x2在区间[1，e]上单调递增，则实数b的取值范围是()A．(－∞，－3]B．(－∞，2e]C．(－∞，3]D．(－∞，2e2＋2e]解析：选C由题意可得f′(x)＝lnx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,x)))＋2x，满足题意时f′(x)＝lnx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,x)))＋2x≥0在区间[1，e]上恒成立，即b≤x(lnx＋2x＋1)在区间[1，e]上．令g(x)＝x(lnx＋2x＋1)，则g′(x)＝lnx＋4x＋2，很明显g′(x)是定义域内的增函数，则g′(x)≥g′(1)＝6>0，则函数g(x)在定义域内单调递增，在[1，e]上，g(x)min＝g(1)＝3，所以实数b的取值范围是(－∞，3]．二、填空题13．(2018·辽宁五校联考)已知x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－2≥0，,x＋y－4≤0，,x－3y＋3≤0，))则z＝－3x＋y的最小值为________．解析：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－2≥0，,x＋y－4≤0，,x－3y＋3≤0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))，B(1,3)．显然目标函数z＝－3x＋y在点B处取得最小值，zmin＝－3×1＋3＝0.答案：014．过点P(－eq\r(3)，0)作直线l与圆O：x2＋y2＝1交于A、B两点，O为坐标原点，设∠AOB＝θ，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，当△AOB的面积为eq\f(\r(3),4)时，直线l的斜率为________．解析：由题意得|OA|＝|OB|＝1，∵△AOB的面积为eq\f(\r(3),4)，∴eq\f(1,2)×1×1×sinθ＝eq\f(\r(3),4)，∴sinθ＝eq\f(\r(3),2)，∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴θ＝eq\f(π,3)，∴△AOB为正三角形，∴圆心(0,0)到直线l的距离为eq\f(\r(3),2)，设直线l的方程为y＝k(x＋eq\r(3))，即kx－y＋eq\r(3)k＝0，∴eq\f(|\r(3)k|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(3),2)，∴k＝±eq\f(\r(3),3).答案：±eq\f(\r(3),3)15.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋ccosA＝bsinB，A＝eq\f(π,6)，如图，若点D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD面积最大时，sinD＝________.解析：由acosC＋ccosA＝bsinB及余弦定理得a×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c×eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝bsinB，即b＝bsinB?sinB＝1?B＝eq\f(π,2)，又∠CAB＝eq\f(π,6)，∴∠ACB＝eq\f(π,3).BC＝a，则AB＝eq\r(3)a，AC＝2a，S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),2)a2.在△ACD中，cosD＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝eq\f(13－4a2,12)，∴a2＝eq\f(13－12cosD,4).又S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CDsinD＝3sinD，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq\f(\r(3),2)a2＋3sinD＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(13－12cosD,4)＋3sinD＝3sinD－eq\f(3\r(3),2)cosD＋eq\f(13\r(3),8)＝eq\f(3\r(7),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(7))sinD－\f(\r(3),\r(7))cosD))＋eq\f(13\r(3),8)＝eq\f(3\r(7),2)sin(D－θ)＋eq\f(13\r(3),8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中θ满足tanθ＝\f(\r(3),2)))，∴当D－θ＝eq\f(π,2)，即D＝eq\f(π,2)＋θ时，S四边形ABCD最大，此时sinD＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝cosθ＝eq\f(2,\r(7))＝eq\