新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语3集合的基本运算课件新人教A版必修第一册

1.3集合的基本运算本节要学会准确利用运算法则进行运算,逐步培养运算能力.学习时还应注意以

下几点:1.理解两个集合的并集与交集的含义,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,

能求两个集合的并集、交集以及一个集合在给定集合中的补集.2.能用Venn图表示集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用,培养直观

想象的数学素养.1|并集与交集

文字语言符号语言图形语言运算性质并集一般地,由所有属

于集合A①

或

属于集合B的元素

组成的集合,称为

集合A与B的并集,

记作②

A∪B

(读作“A并B”)A∪B=③{x|x∈

A,或x∈B}

A∪B=B∪A,A∪A

=A,A∪⌀=⌀∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A

∪B),A⊆B⇔A∪B=B文字语言符号语言图形语言运算性质交集一般地,由所有属

于集合A④且

属于集合B的元素

组成的集合,称为

集合A与B的交集,

记作⑤

A∩B

(读作“A交B”)A∩B=⑥{x|x∈

A,且x∈B}

A∩B=B∩A,A∩A

=A,A∩⌀=⌀∩A=⌀,(A∩B)⊆A,(A∩B)

⊆B,A⊆B⇔A∩B=A续表1.全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的⑦所有元素

,那么就称这个

集合为全集,通常记作U.2.补集2|全集与补集文字语言对于一个集合A,由全集U中⑧不属于

集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作⑨

∁UA

符号语言∁UA=⑩{x|x∈U,且x∉A}

图形语言

运算性质∁UA⊆U,∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A,A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=⌀在研究集合时,会遇到有关集合中元素个数的问题.我们把有限集合A的元素

个数记作card(A).例如,A={a,b,c},则card(A)=3.一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),如图1.

图13|有限集合的并集中元素的个数对于三个有限集合A,B,C,它们的并集中元素的个数公式是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C),如图2.

图21.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).2.∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).4|德·摩根定律1.∁UA⊆U.

(√)2.在全集U中存在某个元素x0,既有x0∉A,又有x0∉∁UA,其中A为U的一个子集.(

✕)3.若集合A,B中分别有2个元素,则A∪B中必有4个元素.

(

✕)4.根据研究问题的不同,可以指定不同的全集.

(√)提示:全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化,如在实数范围内解不等式,

全集为实数集R,而在整数范围内解不等式,则全集为整数集Z.5.若A∪B=A,B≠⌀,则B中的每个元素都属于集合A.

(√)提示:当A∪B=A时,B⊆A,又B≠⌀,所以B中的每个元素都属于集合A.6.若A∩B=C∩B,则A=C.

(

✕)提示:当B=⌀时,A∩B=C∩B=⌀,但A,C可以是任意集合,故A=C不一定成立.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1|利用集合的运算性质求参数的值或取值范围由集合的运算性质求参数的值或取值范围的思路1.将集合中的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能

被一一列举,则可用观察法得到集合之间的关系;与不等式有关的集合,可利用数

轴得到集合之间的关系.2.将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组).3.利用解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或取值范围时,需注意两点:(1)由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性,在求解含参

数的问题时,要注意这一隐含的条件.(2)涉及A∪B=A或A∩B=B的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合之间的关

系求解,注意空集的特殊性.(2020湖北黄冈黄梅国际育才高级中学高一期中)已知集合A={x|a-1<x<2a+3},B=

{x|-2≤x≤4}.(1)当a=2时,求A∪B;(2)若

,求实数a的取值范围.在①A∩B=A,②A∩(∁RB)=A,③A∩B=⌀这三个条件中任选一个,补充在(2)中的

横线上,并求解.思路点拨(1)当a=2时,求得集合A,根据集合的并集运算求解.(2)若选择①A∩B=A,则A⊆B,分集合A是空集和不是空集两种情况讨论,得到实数

a的取值范围;若选择②A∩(∁RB)=A,则A是∁RB的子集,分集合A是空集和不是空

集两种情况讨论,得到实数a的取值范围;若选择③A∩B=⌀,则分集合A是空集和

不是空集两种情况讨论,得到实数a的取值范围.解析

(1)当a=2时,集合A={x|1<x<7},又B={x|-2≤x≤4},所以A∪B={x|-2≤x<7}.(2)若选择①A∩B=A,则A⊆B.当a-1≥2a+3,即a≤-4时,A=⌀,满足题意;当a>-4时,应满足

解得-1≤a≤

.综上可知,实数a的取值范围为

.若选择②A∩(∁RB)=A,则A是∁RB的子集,易得∁RB={x|x<-2或x>4}.当a-1≥2a+3,即a≤-4时,A=⌀,满足题意;当a>-4时,应满足2a+3≤-2或a-1≥4,解得-4<a≤-

或a≥5.综上可知,实数a的取值范围为

a

a≤-

或a≥5

.若选择③A∩B=⌀,则当a-1≥2a+3,即a≤-4时,A=⌀,满足题意;当a>-4时,应满足2a+3≤-2或a-1≥4,解得-4<a≤-

或a≥5,综上可知,实数a的取值范围为

a

a≤-

或a≥5

.2|“补集思想”新学期开学啦!学生们都高高兴兴地来到了新的学校,开始了高中的学习生

活.数学老师想了解一下同学们在初中的数学成绩,让你帮忙统计一下中招考试

中数学成绩在110分以下(低于110分)的有多少人.问题1.你打算怎么办?运用了什么数学方法?提示:由于中招考试中数学满分是120分,因此成绩在110分以下的同学应该占大

多数,直接统计110分以下的较麻烦,可以先统计110分以上(含110分)的有多少人,

再用全班人数减去这个人数就是成绩在110分以下的人数.运用了补集的思想方法.2.“补集思想”的原理是什么?提示:∁U(∁UA)=A,即在全集U中对A的补集再求补集得到的就是集合A.对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难以从正面入手

的数学问题,在解题时,可以调整思路,从问题的对立面入手,探求已知和未知的关

系,这时能起到化难为易、化隐为显的作用,从而将问题解决.这就是“正难则

反”的解题策略.这种“正难则反”的策略运用的是补集思想,即已知全集U,求

其子集A时,若直接求A较困难,则可先求∁UA,再利用∁U(∁UA)=A求A.1.运用补集思想解题的方法一般适用于正面考虑的情况较多、问题较复杂的时

候,或含有至多、至少、存在唯一、不存在等的问题中.2.用补集思想解含参问题的步骤:(1)否定已知条件,考虑问题的反面;(2)求问题的反面对应的参数的集合;(3)取问题的反面对应的参数的范围的补集,注意全集的范围.已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2