新教材高中数学第三章函数的概念与性质3幂函数课件新人教A版必修第一册

1.了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.通过具体实例,理解y=x,y=x-1,y=x2,y=

,y=x3的图象与性质.3.理解幂函数在第一象限的图象特征,能利用幂函数的单调性比较大小.3.3幂函数一般地,函数①

y=xα

叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.1|幂函数的概念2|五个幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=

y=x-1图象

定义域RRR②

[0,+∞)

③

(-∞,0)∪(0,+∞)

值域R④

[0,+∞)

R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)单调性增函数在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减增函数增函数⑤

在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递减

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇公共点都经过点⑥

(1,1)

1.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1).

(

✕)提示:幂函数的图象都过点(1,1),但不一定过点(0,0),如幂函数y=

的图象不过点(0,0).2.幂函数的图象一定不能出现在第四象限,但可能出现在第二象限.

(√)3.当α取1,3,

时,幂函数y=xα是增函数.(√)4.当α=0时,幂函数y=xα的图象是一条直线.

(

✕)提示:当α=0时,幂函数y=xα的定义域为{x|x∈R,且x≠0},因此其图象不是一条直线.5.若幂函数y=xα的图象关于原点对称,则在定义域内y随x的增大而增大.

(

✕)提示:幂函数y=

的图象关于原点对称,但它不是定义域内的增函数.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.1|如何把握幂函数的图象解决幂函数图象问题应把握的两个原则1.根据幂函数在第一象限内的图象确定幂指数α(α>0)的大小关系.依据图象高低

判断幂指数的大小,相关结论如下:(1)在x∈(0,1)上,指数越大,幂函数的图象越靠近x轴(简记为指大图低);(2)在x∈(1,+∞)上,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为指大图高).2.利用定义域及奇偶性确定函数在其他象限的图象.若点(

,2)在幂函数f(x)(x≠0)的图象上,点

在幂函数g(x)的图象上,问:当x为何值时,(1)f(x)>g(x)?(2)f(x)=g(x)?(3)f(x)<g(x)?思路点拨先由点在图象上确定幂函数的解析式,再由解析式得到大致图象,利用图象解决

问题.解析

设f(x)=xα,因为点(

,2)在幂函数f(x)的图象上,所以将点(

,2)代入f(x)=xα中,得2=(

)α,解得α=2,则f(x)=x2(x≠0).同理,可求得g(x)=x-2.在同一平面直角坐标系中作出幂函数f(x)=x2(x≠0)和g(x)=x-2的图象(如图所示).

观察图象可得:(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x).(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x).(3)当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).2|如何运用幂函数的性质解决相关问题幂函数的性质与参数α可以互相确定:1.幂函数y=xα中只有一个参数α,幂函数的所有性质都与α的取值有关,故可由α确

定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.2.反过来,也可由幂函数的性质去限制α的取值:(1)利用幂函数的单调性求出α的取值范围;(2)由奇偶性结合所给条件确定α的值.已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且y=x3m-9(m∈N*)在(0,+∞)上单

调递减,求满足

<

的a的取值范围.思路点拨由幂函数的性质确定参数m的值,再由函数的单调性解不等式.解析

因为幂函数y=x3m-9(m∈N*)在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3.又m∈N*,所以m=1或m=2.因为幂函数y=x3m-9的图象关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1,则原不等式可化

为(a+1

<(3-2a

.易知y=

在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,且当x<0时,y<0,当x>0