新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数5.2形形色色的函数模型提升训练含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE7形形色色的函数模型基础过关练题组一一次函数、二次函数及反比例函数模型1.(2020陕西渭南高一上期中)网上购鞋常常看到下面这样一张表,第一行可以理解为脚的长度,第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.中国鞋码实际标准(mm)220225230235240245250255260265中国鞋码习惯称呼(号)34353637383940414243从上述表格可以推算出,“30号”的鞋对应的脚的长度为()A.150mm B.200mm C.180mm D.210mm2.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为 ()A.P=96V B.P=-96V C.P=69V D.3.(多选)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,单册价格每提高0.2元,发行量就减少5000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,则每册杂志的定价可以为 ()A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元4.国庆期间,高邮市清水潭旅游景点的团队收费方案如下:不超过40人时,人均收费100元;超过40人且不超过m(40<m≤100)人时,每增加1人,人均收费降低1元;超过m人时,人均收费都按照m人时的标准收费.设景点接待有x名游客的某团队,收取的总费用为y元.(1)求y关于x的函数表达式;(2)景点工作人员发现:当接待某团队人数超过一定数量时,会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少的现象.为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加,求m的取值范围.题组二幂函数模型5.(2020山东临沂期中)我国工农业总产值从1998年到2018年的20年间翻了两番,设1998年总产值为1,平均每年的增长率为x,则有 ()A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=46.(2020湖南常德一中高一上月考)某水厂的蓄水池中有400吨水,每天零点开始由池中放水向居民供水,同时以每小时60吨的速度向池中注水,当池中有水400吨后将维持400吨水量不变,若t小时内向居民供水总量为1006t吨(0≤t≤24),则t为何值时蓄水池中的存水量最少题组三指数型函数模型和对数型函数模型7.医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律,常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中,人体内药物含量x(单位:mg)与给药时间t(单位:h)近似满足函数关系式x=k0k(1-e-kt),其中k0,k分别为给药速率和药物消除速率(单位:mg/h).经测试发现,当t=23时,x=k02k,则该药物的消除速率k的值约为(ln2≈0A.3100 B.310 C.1038.(2021江苏连云港高一期末)某工厂产生的废气必须经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P=P0·ekt(其中e是自然对数的底数,k为常数,P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%,则k=;要能够按规定排放废气,还需要过滤n小时,则正整数n的最小值为.(参考数据:log52≈0.43)

9.(2021浙江杭州二中高一期中)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,其注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分;当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于或等于80时,听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完?请说明理由.题组四函数模型的拟合10.茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85℃的水泡制,再等到茶水温度降至60℃时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需时间,某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y(℃)随时间x(min)变化规律的是 ()A.y=mx2+n(m>0)B.y=mx+n(m>0)C.y=max+n(m>0,a>0,且a≠1)D.y=mlogax+n(m>0,a>0,且a≠1)11.某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+kx(k为正常数).该商品的日销售量Q(x)(个)与时间x(天)的部分数据如下表所示x/天10202530Q(x)/个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元.(1)求k的值;(2)给出以下四种函数模型:①Q(x)=ax+b,②Q(x)=a|x-25|+b,③Q(x)=a·bx,④Q(x)=a·logbx.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;(3)求该商品的日销售收入f(x)(1≤x≤30,x∈N+)(元)的最小值.答案全解全析基础过关练1.B设脚的长度为ymm,对应的鞋号为x号,由题中表格可得,y=5x+50.当x=30时,y=5×30+50=200.故选B.2.D因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设P=kV(k≠0),由题图可知,点A(1.5,64)在函数图象上,所以64=k1.5,解得k=96,故P=3.BC设每册杂志定价为x(x>2)元,则发行量为10-x-20.2×0.5万册,所以销售收入为10-x-20.2×0.5x万元4.解析(1)当0<x≤40时,y=100x;当40<x≤m时,y=[100-(x-40)]x=-x2+140x;当x>m时,y=(140-m)x.∴y=100(2)当0<x≤40时,y=100x,y随x的增大而增大;当40<m≤100时,140-m>0,此时对于y=(140-m)x,y随x的增大而增大;当40<x≤m时,y=-x2+140x=-(x-70)2+4900,∴当40<x≤70时,y随x的增大而增大;当x>70时,y随x的增大而减小.∵x≤m,∴40<m≤70.综上所述,当40<m≤70时,景点收取的总费用随着团队中人数的增加而增加.5.D6.解析设t小时后,蓄水池中的存水量为y吨,则y=400+60t-1006t(0≤t≤24)设u=t,则u∈[0,26],y=60u2-1006u+400=60u-∴当u=566,即t=257.A将t=23,x=k02k代入x=k0得k02k=k0k(1-e-23k),化简得即ln12=-23k,解得k=ln223≈0.698.答案-ln54解析由题意得(1-80%)P0=P0·e4k,即0.2=e4k,所以k=14ln0.2=-ln5设经过m小时后能够按规定排放废气,则P0·e-ln54m≤0.25%P0,即-ln54m≤ln0.25%,所以m·ln5≥8ln20,解得m≥8ln20ln5=8log5所以正整数n的最小值为15-4=11.9.解析(1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将点(14,81)代入得c=-14∴当t∈(0,14]时,p=f(t)=-14(t-12)2当t∈(14,40]时,将点(14,81)代入y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1),得a=13∴当t∈(14,40]时,p=f(t)=log13(t综上,p=f(t)=-(2)当t∈(0,14]时,令-14(t-12)2+82≥80,得12-22≤t当t∈(14,40]时,令log13(得14<t≤32.综上,当t∈[12-22,32]时,学生听课效果最佳.∵32-(12-22)=20+22>22,∴老师能够经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.10.C选项A中函数的图象是以y轴为对称轴,开口向上的抛物线,与散点图不符;选项B中函数的图象是直线,与散点图不符;选项D中,当x>0时,函数图象无限接近y轴,与散点图不符.故选C.11.解析(1)由题意得P(10)·Q(10)=1+k10×110=121,解得k(2)由题表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减,并不单调,而①,③,④中的函数均为单调函数,故只能选②,即Q(x)=a|x-25|+b.由题表可得Q(10)=110,Q(20)=120,即15a+故Q(x)=125-|x-25|(1≤x≤30,x∈N+).(3)由(2)知Q(x)=