新教材高中数学第4章幂函数指数函数和对数函数2指数函数课件湘教版必修第一册

4.1

指数函数1|指数函数函数①

y=ax

(x∈R)叫作指数函数,其中a>0,且a≠1.1.当底数a>1时,指数函数值随自变量的增长而增大,底数a较大时,指数函数值增

长速度惊人,被称为②指数爆炸.当某个量在一个既定的时间周期中,其增长百分比是一个常量时,这个量就被描

述为指数式增长,也称指数增长.2.如果底数0<a<1时,指数函数值随自变量的增长而缩小以至无限接近于0,叫作③

指数衰减.指数衰减的特点:在一个既定的时间周期中,其④缩小百分比

是一个常量.2|指数爆炸和指数衰减3|指数函数的图象与性质表达式y=ax(0<a<1)y=ax(a>1)图象

定义域(-∞,+∞)值域⑤(0,+∞)

性质过定点函数图象过定点(0,1),即a0=1单调性在R上⑥递减

在R上⑦递增

1.函数y=2x+1是指数函数.

(

✕)提示:因为指数不是x,所以函数y=2x+1不是指数函数.2.因为a0=1(a>0,且a≠1),所以函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1).

(√)3.若0.1a>0.1b,则a>b.

(

✕)提示:因为指数函数y=0.1x在R上是减函数,所以由0.1a>0.1b,得a<b.4.y=3x与y=

的图象关于y轴对称.

(√)提示:因为y=

=3-x,所以由两函数解析式的关系知其图象关于y轴对称.5.y=

是指数衰减型函数模型.

(√)提示:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,当a>1时,是指数增长型函数模型,当0<a<1时,判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.是指数衰减型函数模型.1|与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法:(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;(2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函

数y=af(x)的值域;(3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即u=ax的值

域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,即y=f(ax)的定义域;(4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围,

再确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域(以上a满足a>0,且a≠1).求下列函数的定义域和值域:(1)y=

;(2)y=4x-2x+1.解析

(1)由题意知1-

≥0,∴

≤1=

,∴x≥0,∴此函数的定义域为[0,+∞).∵

≤1,且

>0,∴0<

≤1.∴0≤1-

<1,∴0≤y<1,∴此函数的值域为[0,1).(2)函数的定义域为R.令2x=t,则t>0,y=(2x)2-2x+1=t2-t+1=

+

,∵t>0,∴当t=

,即x=-1时,y取得最小值

,∴函数的值域为

.2|如何解决与指数函数有关的复合函数的单调性问题1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法:当a>1时,函数u=f(x)的单调

递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间;当0<a<1时,函数u=f(x)的单调减

(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间.2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法:通过内层函数u=ax的取值

范围确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的单调区间,再根

据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间.求下列函数的单调区间:(1)y=

;(2)y=

-8·

+17.思路点拨先换元,再利用复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调性.解析

(1)令u=x2-2x+3,则由二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上为减函数,在

[1,+∞)上为增函数,又y=

在R上为减函数,∴函数y=

的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞).(2)设u=

(u>0),则y=u2-8u+17(u>0)在(0,4]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增.令

≤4,得x≥-2,∴y=

-8·

+17的单调增区间是[-2,+∞).令

≥4,得x≤-2,∴y=

-8·

+17的单调减区间是(-∞,-2].3|如何比较指数幂大小比较指数幂大小的方法

(1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是

(

C)A.a<b<c

B.a<c<bC.b<a<c

D.b<c<a(2)下列大小关系正确的是

(

B)A.0.43<30.4<π0

B.0.43<π0<30.4C.30.4<0.43<π0

D.π0<30.4<0.43

解析

(1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>0.60.6.∵函数