新版推荐学习全效学习2023版中考数学-第十一单元-解直角三角形单元滚动专题题八-(含解析)

生活的色彩就是学习生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持K12的学习需要努力专业专心坚持生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持第十一单元解直角三角形【测试范围：第十一单元时间：120分钟分值：150分】一、选择题(每题4分，共40分)图11．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，那么tanA的值为 (B)图1A．2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(2\r(5),5)【解析】tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2).2．计算eq\r(2)sin45°的结果等于 (B)A.eq\r(2) B．1 C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)【解析】eq\r(2)sin45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.3．∠A是锐角，sinA＝eq\f(3,5)，那么5cosA＝ (A)A．4 B．3 C.eq\f(15,4) D．54．计算：cos245°＋tan60°·cos30°等于 (C)A．1 B.eq\r(2) C．2 D.eq\r(3)【解析】原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝2.5．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝eq\r(5)，BC＝2，那么sin∠ACD＝ (A)图2A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(2\r(5),5) D.eq\f(\r(5),2)【解析】在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝3.∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B.∴sin∠ACD＝sinB＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(5),3).图36．如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，AC＝2eq\r(2)，BC＝1，那么sin∠ABD的值是 (A)图3A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(2),3) D．2eq\r(2)【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，AB＝eq\r(12＋〔2\r(2)〕2)＝3.∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(2\r(2),3).图47．如图4，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3eq\r(2)m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3eq\r(3)m，那么鱼竿转过的角度是 (C)图4A．60° B．45° C．15° D．90°【解析】∵sin∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3\r(2),6)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CAB＝45°.∵sin∠C′AB′＝eq\f(B′C′,AC′)＝eq\f(3\r(3),6)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠C′AB′＝60°，∴∠CAC′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.8．如图5，为平安起见，萌萌拟加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°，滑梯AB的长为3m，点D，B，C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是 (C)图5A．2eq\r(2)m B．2eq\r(3)m C．3eq\r(2)m D．3eq\r(3)m【解析】设AC＝x，∴BC＝x.∵滑梯AB的长为3m，∴2x2＝9，解得x＝eq\f(3\r(2),2).∵∠D＝30°，∴2AC＝AD，∴AD＝3eq\r(2).应选C.9．如图6，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)h到达B处，那么tan∠ABP＝ (A)图6A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(2\r(5),5)图6【解析】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里，∴PA＝20.∵客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行eq\f(2,3)h到达B处，∴∠APB＝90°，BP＝60×eq\f(2,3)＝40，∴tan∠ABP＝eq\f(AP,BP)＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).应选A.图710．如图7，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝2，那么tan∠DBE的值 (B)图7A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(\r(5),2) D.eq\f(1,3)【解析】设菱形ABCD边长为t.∵BE＝2，∴AE＝t－2.∵cosA＝eq\f(3,5)，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(3,5)，∴eq\f(t－2,t)＝eq\f(3,5).∴t＝5，∴AE＝5－2＝3.∴DE＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\r(52－32)＝4.∴tan∠DBE＝eq\f(DE,BE)＝eq\f(4,2)＝2.二、填空题(每题5分，共30分)11．如图8，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA＝__eq\f(\r(5),5)__．图8第11题答图【解析】过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，设小正方形的边长为1，在Rt△ACD中，CD＝2，AC＝2eq\r(5)，第11题答图∴sinA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5).12．计算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝__5__．13．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，假设sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，那么∠C＝__60°__．【解析】∵△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2)，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.14．[2023·襄阳]如图9，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，平台CD的高度为5m，那么大树的高度为__5＋5eq\r(3)__m(结果保存根号)．图9【解析】如答图，作CE⊥AB于点E，第14题答图在Rt△BCE中，第14题答图BE＝CD＝5m，CE＝eq\f(BE,tan30°)＝5eq\r(3)m，在Rt△ACE中，AE＝CE·tan45°＝5eq\r(3)m，AB＝BE＋AE＝(5＋5eq\r(3))m.图1015．如图10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sinA＝eq\f(3,5)，那么DE＝__eq\f(15,4)__．图10【解析】∵BC＝6，sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(3,5)，∴AB＝10，∴AC＝eq\r(102－62)＝8.∵D是AB的中点，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝5.易证△ADE∽△ACB，∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(DE,6)＝eq\f(5,8)，解得DE＝eq\f(15,4)，故答案为eq\f(15,4).图1116．[2023·杭州校级一模]如图11，在四边形ABCD中，∠A＝30°，∠C＝90°，∠ADB＝105°，sin∠BDC＝eq\f(\r(3),2)，AD＝4.那么DC的长为__eq\r(2)__.图11第16题答图【解析】作DH⊥AB于H，如答图，第16题答图∵∠A＝30°，∴∠ADH＝60°，DH＝eq\f(1,2)AD＝2，∵∠ADB＝105°，∴∠BDH＝45°，∴△BDH为等腰直角三角形，∴BD＝eq\r(2)DH＝2eq\r(2)，在Rt△BCD中，∵sin∠BDC＝eq\f(BC,BD)＝eq\f(\r(3),2)，∴BC＝2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(6)，∴CD＝eq\r(BD2－BC2)＝eq\r(2).三、解答题(共80分)17．(8分)[2023·安顺]计算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(－2)－(3.14－π)0＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)))－2sin45°.解：原式＝4－1＋eq\r(2)－1－2×eq\f(\r(2),2)＝4－1＋eq\r(2)－1－eq\r(2)＝2.18．(8分)如图12，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，且∠BAC＝60°，AD＝10，求AB的值．图12解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC.∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.又∵AD＝10，∠C＝90°，∴AC＝5eq\r(3)，∴AB＝10eq\r(3).19．(8分)[2023·宁波]为解决停车难的问题，在如图13一段长56m的路段开辟停车位，每个车位是长5m，宽2.2m的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出多少个这样的停车位．(参考数据：eq\r(2)＝1.4)图13第19题答图解：如答图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×eq\f(\r(2),2)≈1.54m，第19题答图CE＝5×sin45°＝5×eq\f(\r(2),2)≈3.5m，BE＝BC＋CE≈5.04m，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷eq\f(\r(2),2)≈3.1m，(56－5.04)÷3.1＋1≈16＋1＝17(个)．故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．20．(8分)[2023·铜仁]如图14，一艘轮船航行到B处，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．在小岛170海里内有暗礁，假设轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？(参考数据：eq\r(3)＝1.732)图14解：由题意，得BC＝200，∠B＝30°，∠ACD＝60°，∠BAD＝60°，∠D＝90°，∴∠BAC＝30°＝∠B，∠CAD＝30°，∴AC＝BC＝200，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝100，∴AD＝eq\r(3)CD≈173.2.∵AD的距离为173.2>170，∴轮船无触礁的危险．图1521．(10分)[2023·徐州模拟]如图15，甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向航行，1h后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了航行的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变．求：图15(1)港口A与小岛C之间的距离；(2)甲轮船后来的速度．第21题答图解：(1)作BD⊥AC于点D，如答图所示．第21题答图由题意，得AB＝30×1＝30海里，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，在Rt△ABD中，∵AB＝30海里，∠BAC＝30°，∴BD＝15海里，AD＝AB·cos30°＝15eq\r(3)海里，在Rt△BCD中，∵BD＝15海里，∠BCD＝45°，∴CD＝15海里，BC＝15eq\r(2)海里，∴AC＝AD＋CD＝15eq\r(3)＋15(海里)，即A，C间的距离为(15eq\r(3)＋15)海里；(2)∵AC＝15eq\r(3)＋15(海里)，轮船乙从A到C的时间为eq\f(15\r(3)＋15,15)＝eq\r(3)＋1，由B到C的时间为eq\r(3)＋1－1＝eq\r(3)，∵BC＝15eq\r(2)海里，∴轮船甲从B到C的速度为eq\f(15\r(2),\r(3))＝5eq\r(6)(海里/小时)．22.(12分)[2023·广安]为邓小平诞辰110周年献礼，广安市政府对城市建设进行了整改．如图16，斜坡AB长60eq\r(2)m，坡角(即∠BAC)为45°，BC⊥AC，现方案在斜坡中点D处挖去局部斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE(下面两个小题结果都保存根号)．(1)假设修建的斜坡BE的坡比为eq\r(3)∶1，求休闲平台DE的长是多少米？(2)一座建筑物GH距离A点33m远(即AG＝33m)，小亮在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面内，点C，A，G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑GH高为多少米？图16解：(1)∵BC⊥AC，∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形．∵DE∥AC，∴△BDF为等腰直角三角形．∵AB＝60eq\r(2)，∴AC＝BC＝60.∵D为AB的中点，∴BD＝30eq\r(2).∴BF＝DF＝30.∵BE的坡比为eq\r(3)∶1，∴∠BEF＝60°.∴EF＝eq\f(BF,\r(3))＝eq\f(30,\r(3))＝10eq\r(3).∴DE＝30－EF＝30－10eq\r(3).∴休闲平台DE的长为(30－10eq\r(3))m；(2)由题可知四边形GPDM为矩形．∵D为AB的中点，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝30eq\r(2).∴AP＝DP＝GM＝30.∴MD＝GP＝33＋30＝63.∵tan∠HDM＝eq\f(HM,MD)，即eq\f(HM,63)＝eq\f(\r(3),3)，∴HM＝eq\f(63\r(3),3)＝21eq\r(3).∴GH＝GM＋HM＝30＋21eq\r(3)(m)．∴建筑物GH高为(30＋21eq\r(3))m.23．(12分)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：sin30°＝eq\f(1,2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，那么sin230°＋cos230°＝__1__；sin45°＝eq\f(\r(2),2)，cos45°＝eq\f(\r(2),2)，那么sin245°＋cos245°＝__1__；sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos60°＝eq\f(1,2)，那么sin260°＋cos260°＝__1__；…观察上述等式，猜测：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝__1__．(1)如图17，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜测；(2)：∠A为锐角(cosA>0)且sinA＝eq\f(3,5)，求cosA.图17第23题答图解：(1)如答图，过点B作BH⊥AC于点H，BH2＋AH2