专题1 集合的概念

学习目标】1.学习目标】1.掌握集合的概念及其表示，理解集合与元素、集合与集合之间的关系2．理解集合中元素的确定性、无序性和互异性.集合的有关概念：集合的描述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体叫做集合，简称集(set)。称集合中的各个对象叫做这个集合的元素(element)；集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”集合的表示方法：列举法：将集合中的元素一一列出来(不考虑元素的顺序)，用逗号分割，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，方法叫做描述法。元素与集合的关系：属于(belongto) 与不属于笑(注意方向和辨析)；特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：自然数集N(naturalnumbers)(包含零)，不包含零的自然数集n*；整数集Z(setofinteger)(正整数集z+)、有理数集Q(rationalnumbersset)(负有理数集q-)；实数集R(setofrealnumbers)(正实数集r+)；(6)集合的分类：有限集(finiteset)、无限集(infiniteset)；空集(emptyset)0．子集子集定义：一般地，对于两个集合A与B如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集(subset)，记作：卫匸月或月，读作：A包含于B或B包含(contain)A.相等的集合：研究下面集合：E=(x|x2-5x+6二°},F二{2,3}一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。真子集：对于两个集合A与B，如果心，并且B中

至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集(propersubset)，记作：卫B(或弄卫)，读作A真包含于B或B真包含A。(一)集合基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为A匸A；空集是任何集合的子集，记为0匸A；空集是任何非空集合的真子集；如果A匸B，同时B匸A，那么A=B.如果A匸B，B匸C，那么A匸C.［注］：①乙二｛整数｝(V) Z=｛全体整数｝(X)已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(X)(例：S=N；A=N+,则CA=｛0｝)s空集的补集是全集.若集合人=集合B,则CBA=0，CAB=0CS(CAB)=D (注：CAB=0).①殳(x，y)Ixy=0，xUR,yUR｝坐标轴上的点集.殳(x，y)IxyVO,xUR，yUR｝二、四象限的点集.殳(x，y)Ixy>0,xUR，yUR｝一、三象限的点集.［注］：①对方程组解的集合应是点集.例：F+y=3 解的集合｛(2,1)｝.2x—3y=1②点集与数集的交集是0.(例：A=｛(x,y)Iy=x+1｝B=｛yIy=x2+1｝则AHB=0)①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2—1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.【经典例题】例1用列举法表示下列集合：集合A=｛yIy二x2—1,IxI<2,xeZ｝；集合B=｛(x,y)Iy二x2—1,IxI<2,xeZ｝.例2(2008年福建高考题)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、bUR,a都有a+b、a—b,ab、丁UP(除数bHO)，则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域;b数集F=■+b迈|a,beQ｝也是数域.有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q匸M，则数集M必为数域；③数域必为无限集；④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号填填上)例3已知集合M二｛a,a+d,a+2d｝,N二｛a,aq,aq2｝，其中a丰0，且M二N，求实数q的值.［探究］(1)是否存在这样的三元素集，使得三个元素既成等差数列又成等比数列?(2)是否存在不相同的三个数，使得三个数既成等差数列又成等比数列？【专题训练】TOC\o"1-5"\h\z方程X2-5x+6二0的解集可表示为 .（2x+3y二13,2.方程组仁 小1小的解集可表示为 .[3x+2y二12已知集合A=]xeN eN[，用列举法表示 .由实数x、-x、|X所组成的集合，其元素最多有 个.数集{2a,a-a}中实数a的取值范围是 .集合«x,y）|xy>0,xeR,yeR}表示的含义是 .直角坐标系中，位于坐标轴上的点的坐标的集合为 .设集合A={x|-35x52},B={x2k一15x52k+1},且ARB,则实数k的取值范围是 .已知集合A={1,a,b},B={a,a2,ab}，且A—B，则a— ,b— •已知集合A—{xIx2-x—2—0},B—{xIax—1—0},若B匸A，则a的值为 .下列五个关系式：①{0}=0:②0=0；③0纟0；④{0} :⑤0工{0}•其中正确的个数是 （ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）512.用描述法表示奇数集合：①A—{a1a—2k+1,keZ}；②A—{aIa—2k一1,keZ}；@C—{2b+1IbeZ}；@D—{dId—4k土1,keZ}.上述表示方法正确的个数是 （ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4集合A={x|x—2k,keZ},B={x|x—2k+1,keZ},C={x|x—4k+1,keZ}.又aeA,beB,则有 （ ）（A）（a+b）eA （B）（a+b）eB（C）（a+b）eC （D）（a+b）eA、B、C任一个若非空数集A={xI2a+1<x<3a-5}，B={xI3<x<22}，则能使A匸B成立的所有a的集合是 （ ）（A）{aI1<a<9} （B）{aI6<a<9} （C）{aIa<9} （D）0n已知集合A—{aIa— ,m,neN*},beA,ceA.试证：(b+c)eA、bceA.

16.设S是由自然数构成的集合，有法则：“xgS，则8-xgS”回答下列问题：试写出只有一个元素的集合S；写出只含有两个元素的集合S；写出只含有三个元素的集合S.17.设函数f(x)=x2+px+q(p,qgR)，A={xIx=f(x),xgR},B二{xIf［f(x)］二x,xgR}.证明：A匸B；当A={一1,3}时，求B.118.由实数构成的非空集合A满足条件：(1)1电A；(2)若agA，贝I」 gA.1一a试证明：若2gA，则在集合A中必有另外两个数；若aga，则集合A不可能是单元素集合；若agA，a丰0，则集合A中至少有三个元素.参考答案：例1.(1)A二{3,0,-1}；(2){(2,3),(-2,3),(-1,0),(1,0),(0,-1)}aa例2C③、④ 例3―［探究］(1)存在，三元数集为{a,-,：}，a丰0；(2)不24存在.1.{2,3} 2. {(2,3)} 3.集合A二{023,4,5} 4.当x二0时，集合只有一个元素；当x工0时，集合有两个元素•因此，最多有两个元素.5.a丰0且a丰3 6.不在第二、四象限内的所有点构成的集合9.a=-l,b=07.{(x,y)|xy=0,xgR,ygR} 8.-1<k9.a=-l,b=010.―1,0,2 11.B212.D13.B10.―1,0,2 11.B212.D13.B14.B15.证明略. 16.S=｛4｝；(2)S可为｛0，8｝，｛1，7｝，{2，6}，{3，5}；(3)S可为{0，4，8｝，｛1，4，7｝，｛2，4，6｝，｛3，4，5｝.即—1gA.由—1gA，即2GA•所以,17.(1)证明略；(2)p=一1,q=—3,B即—1gA.由—1gA，即2GA•所以,18.(1)由2gA，得丄gA,1—2

1若2eA，必有另外两个数-1,2gA.1(2)若A={a},则a二 ，所以有a2-a+1=0.又该方程无实数根，因此若aeA,1-a则集合A不可能是单元素集合.TOC\o"1-5"