普通高中课程标准实验教科书高中数学2.3等差数列的前n项和课件新人教A必修5

2.3等差数列的前n项和有一次，老师和高斯经过建筑工地，建筑工地上放着一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，100.老师问：高斯，你知道共有多少根圆木吗？问题就是：计算1＋2＋3＋…＋99＋100=？创设情景上页下页高斯的算法计算：1＋2＋3＋…＋99＋100高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，……每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？下页上页n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②启发倒序相加法上页下页探究高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到一般等差数列的前n项和吗？上页下页合作探究已知等差数列｛an｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.如何才能将等式的右边化简？①②思考：还有别的推导方法吗？上页下页已知等差数列｛an｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.＋＋＋…＋①②上页下页另解①+②得倒序相加法公式变形思考：比较这两个公式，如何记忆？从哪些角度反映等差数列性质？上页下页等差数列的前n项和的公式：含a1和d求和公式含a1和an公式记忆上页公式应用公式记忆对比：我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.na1anna1a1(n-1)d将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.下页返回公式应用练一练上页下页例题讲解

例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？分析：①找关键句；②求什么，如何求？上页下页解：依题意得，该市在“校校通”工程的经费每年比上一年增加50万元，所以每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.那么，到2010年（n=10),投入的资金总额为答：从2001~2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.上页下页例题点评解决实际问题的步骤：（1）仔细阅读题目，审清题意；（2）提取相关数学信息，建立数学模型（本题为等差数列模型）；（3）解决此数学模型所体现的数学问题（本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解）；（4）还原问题（回到实际问题中作答）。易错方面：（1）审题不清（如：把前n项和与最后一项混淆）（2）项数……（3）忘记答或写单位上页下页例题讲解例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？分析：方程思想和前n项和公式相结合解：由题意知：S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式得到还有其它方法吗？方程思想上页下页一题多解例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？上页下页一题变式例2变式、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前30项和的公式吗？【另解】由等差数列的性质，可推得：

成等差数列

解得：前30项的和为2730.整体思想点评：

上述方法没有列出方程求出具体的个别量，而是恰当地运用数学中的整体思想来快速求出，要注意体会这种思想在数学中的运用.上页下页变式提高整体思想上页下页知识小结1．等差数列前n项和的公式；2．等差数列前n项和公式的推导方法——

3.公式的应用；上页下页（两个）倒序相加法(知三求一)例题讲解当n>1时：①

当n=1时：

也满足①式.上页下页变式训练当n>1时：

①

当n=1时：

不满足①式.点评：分类讨论思想上页下页【深化探究】●

如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列.结论：数列是等差数列等价于常数项为0的关于n的二次型函数上页下页例题讲解【解析】由题意知，等差数列的公差为

于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值.函数思想还有其它方法吗？上页下页例题讲解从等差数列的通项公式出发来分析上页下页【本节小结】1.等差数列的前n项和公式3.推导等差数列前n项和公式方法：倒序相加法4.本节基本思想：方程思想函数思想分类讨论思想整体思想上页下页作业1.课本P52页练习22.课本P52页习题2.3A组23.做好下面方面：熟记公式体会本节数学思想方法首页下页内容总结2.3等差数列的前n项和。层的数目分别为1，2，3，。，100.老师问：。计算1＋2＋3＋。下页。第一个数与最后一个数一组。第二个数与倒数第二个数一组。第三个数与倒数第三个数一组，。每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。另解。公式变形。等差数列的前n项和的公式：。求和公式。对比：我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式.。将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.。公式应用。例题讲解。例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增