《线性代数》第三章 线性方程组

线性代数线性方程组第三章工程技术、经济管理中的许多理论问题、实际问题都可归结为线性方程组的求解问题，线性方程组的理论和方法不仅是线性代数理论的重要组成部分，并且在其他领域也具有广泛的应有．本章将介绍一般的线性方程组的解法，讨论线性方程组有解、无解的充分必要条件；还将介绍向量组的线性相关性的有关理论，并研究线性方程组解的结构．第三章3.1解线性方程组的消元法一、高斯消元法设有个未知量，个方程的线性方程组其系数矩阵与增广矩阵分别是其矩阵方程为第三章3.1解线性方程组的消元法一、高斯消元法其中，未知矩阵（向量）与常数项矩阵（向量）分别为第三章3.1解线性方程组的消元法二、非齐次线性方程组的解的讨论设有个未知量，个方程的线性方程组其系数矩阵与增广矩阵分别是第三章3.1解线性方程组的消元法二、非齐次线性方程组的解的讨论定理１元线性方程组有解的充分必要条件是，且有：（１）当时，线性方程组（１）有唯一解；（２）当时，线性方程组（１）有无穷多组解；（３）当时，线性方程组（１）无解．第三章3.1解线性方程组的消元法三、齐次线性方程组的解的讨论设有个未知量个方程的齐次线性方程组其系数矩阵是其矩阵方程为定理２元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是．第三章3.1解线性方程组的消元法四、用初等行变换求解矩阵方程对于求解矩阵方程，有以下定理：定理３矩阵方程有解的充分必要条件是．第三章３.２向量组的线性相关性一、向量组及其线性组合１．维向量定义１由个数组成的一个有序数组称为一个维向量．其中第个数称为这个维向量的第个分量．分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量．定义２设数域上维向量的集合，如果非空，且定义在中的向量，的加法及数乘运算结果和仍是中向量，且满足上面的(i)至(viii)条运算法则（，，为中的向量，，），则称是上的维向量空间．实数域上的维向量空间记作．第三章３.２向量组的线性相关性一、向量组及其线性组合２．线性组合与线性表出定义３给定向量组，对于任何一组实数，则称表达式为向量组的一个线性组合，称为这个线性组合的系数．定理１设向量则向量是向量组线性组合的充分必要条件是方程组（１）有解．第三章３.２向量组的线性相关性一、向量组及其线性组合２．线性组合与线性表出推论向量是向量组线性组合的充分必要条件是矩阵的秩等于矩阵的秩．定义４设有两个向量组及，若组中的每个向量都可由向量组线性表出，则称向量组能由向量组线性表出．若向量组与向量组能相互线性表出，则称向量组与向量组等价．定理２设维向量组及维向量组，依次构成矩阵组及，则向量组能由向量组线性表出的充分必要条件是第三章３.２向量组的线性相关性一、向量组及其线性组合２．线性组合与线性表出推论向量组与向量组等价的充分必要条件是．定理３设维向量组及维向量组，依次构成矩阵及，若向量组能由向量组线性表出，则.第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关定义５给定向量组，如果存在不全为零的数，使则称向量组线性相关，否则称向量组线性无关（或线性独立）．换言之，当且仅当时，上式才能成立，则称向量组线性无关．第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关当时，即向量组只含有一个向量，显然一个零向量线性相关，一个非零向量必线性无关．当时，即向量组只含有两个向量，，则至少有一个零向量的向量组，线性相关．一般情况下，向量组，线性相关的充分必要条件是，的对应分量成比例，其几何意义是两向量共线．当时，向量组，，线性相关的几何意义是三向量共面．当时，读者可自行证明：（１）含有零向量的向量组必线性相关；（２）若向量组的一个部分向量组线性相关，则整个向量组必线性相关．第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关定理４向量组线性相关的充分必要条件是以向量组为系数列向量的齐次线性方程组（1）有非零解，并且（1）的一个非零解（）就是一组不全为零的组合系数．第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关推论１向量组线性相关的充分必要条件是：以向量组构成的矩阵的秩小于向量的个数；或向量组线性无关的充分必要条件是

.推论２个维向量组成的向量组线性相关的充分必要条件是：向量组所含向量的个数大于向量的维数，即．第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性１．线性相关与线性无关推论３个维向量线性相关的充分必要条件是：行列式或个维向量线性无关的充分必要条件是行列式第三章３.２向量组的线性相关性二、向量组的线性相关性２．向量间线性关系的性质定理５向量组线性相关的充分必要条件是在该向量组中至少有一个向量能由其余向量线性表出．推论向量组线性无关的充分必要条件是该向量组中每一个向量都不能由其余向量线性表出．定理６若向量组线性无关，而向量组，线性相关，则向量可由向量组线性表出，且表示法唯一．第三章３.２向量组的线性相关性三、向量组的秩１．最大线性无关组定义６若向量组的部分向量组满足条件：（i）线性无关；（ii）在部分向量组中再添加中任意的第个向量（如果中有个向量的话）都线性相关．则称部分向量组是向量组的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组．定理７向量组与它的最大无关组等价．第三章３.２向量组的线性相关性三、向量组的秩２．向量组的秩定义７向量组的最大无关组中所含有向量的个数，称为向量组的秩，记作．定理８矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定义８矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩，记作．定理９设向量组能由向量组线性表出，则向量组的秩不大于向量组的秩．第三章３.２向量组的线性相关性三、向量组的秩２．向量组的秩推论１等价向量组的秩相等．推论２设向量组是向量组的一个部分向量组，且满足（i）向量组线性无关；（ii）向量组的每一个向量都可由向量组线性表出．则向量组是向量组的最大无关组．第三章３.3线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构第三章３.3线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构容易证明齐次线性方程组的解具有以下性质：性质１若为（2）的解，则也是（2）的解．证由，可得．故也是（2）的解．性质２若为（2）的解，为实数，则也是（2）的解．证由，可得．故也是（2）的解．第三章３.3线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构定理１设为矩阵，且，则元齐次线性方程组的解集的秩．前面已经指出，当时，方程组（1）只有零解，即解集中只含一个零向量，这时，解集没有基础解系．当时，由定理1知，因此方程组（1）的任何个线性无关的解向量都可以组成的最大无关组，由此可知方程组（1）的基础解系不是唯一的，进而可知通解的表达形式也不是唯一的．第三章３.3线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构设非齐次线性方程组（3）

记，则（3）式可写为向量方程．（4）第三章３.3线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组的解与其导出组的解有如下关系：性质３设及是非齐次线性方程组（4）的任意两个解，则是其导出组的解．证由，说明