高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第7讲解三角形应用举例教案理(含解析)

【第7讲解三角形的应用举例】之小船创作基础知识整合1．仰角和俯角在视野和水平线所成的角中，视野在水平线□01上方的角叫仰角，在水平线□02下方的角叫俯角(如图①)．2．方向角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如B点方向角为α(如图②)．3．方向角相关于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向、东北方向等．北偏东α，即由□03指北方向顺时针旋转α抵达目标方向(如图③)；北偏西α，即由□04指北方向逆时针旋转α抵达目标方向；南偏西等其余方向角近似．4．坡角与坡度(1)坡角：05□坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：□06坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，为坡度)．坡度又称为坡比．1．仰角与俯角是相对水平视野而言的，而方向角是相关于正北方向而言的．2．“方向角”与“方向角”的差别：方向角大小的范π围是[0,2

π)，方向角大小的范围是

0，

2

.1．两座灯塔A和B与海岸察看站C的距离相等，灯塔A在察看站北偏东40°，灯塔B在察看站南偏东60°，则灯塔A在灯塔

B的(

)A．北偏东C．南偏东

10°10°

B．北偏西D．南偏西

10°10°答案

B分析由题可知∠ABC＝50°，A，B，C地点如图．应选B.2．(2019·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝()A．103nmile106B.nmile3C．52nmileD．56nmile答案D分析由题意可知，∠＝60°，∠＝75°，因此CABCBA∠＝45°，由正弦定理得10＝BC，因此＝56.Csin45°sin60°BC3．(2019·厦门模拟)如图，，，在地平面同向来线DCB上，＝10m，从，两地测得A点的仰角分别为30°和DCDC45°，则A点离地面的高等于()ABA．10mB．53mC．5(3－1)mD．5(3＋1)m答案D分析直角三角形中，依据三角函数的定义得

ABtan30°－AB＝10，解得＝5(3＋1)(m)．应选D.tan45°AB4．如图，为了丈量，两点间的距离，选用同一平面AC上，D两点，测出四边形各边的长度(单位：km)：ABBABCD5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.答案7分析∵82＋52－2×8×5×cos(π－)＝32＋52－D12×3×5×cosD，∴cosD＝－2.AC＝49＝7(km)．5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°行进100m抵达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案50分析设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，依据余弦定理得(3h)2＝h2＋1002－2··100·cos60°，即2＋50－5000＝0，即(h－50)(hhhh＋100)＝0，即＝50，故水柱的高度是50m.h核心考向打破考向一丈量距离问题例1(2019·江西赣州模拟)如下图，为了丈量A，B处岛屿的距离，小明在D处观察，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观察B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A．206海里B．406海里C．20(1＋3)海里D．40海里答案A分析由题意可知，∠＝90°－45°＝45°，BDC又∠＝90°，∴＝＝40(海里)．BCDBCCD在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠DAC＝45°，40sin105°由正弦定理可得AC＝sin45°＝20(3＋1)(海里)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝22AC＋BC－2AC·BC·cos60°＝206(海里)．应选A.触类旁通求距离问题的注意事项选定或确立要创立的三角形，第一确立所求量所在的三角形，若其余量已知则直接解；如有未知量，则把未知量放在另一确立的三角形中求解．错误!即时训练1.如下图，为了丈量河对岸，B两点间A的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．解在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，ADC＝60°，因此AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得＝asin105°＝3＋1.②BCsin45°2a在△ABC中，已经求得AC和BC，又由于∠ACB＝30°，因此利用余弦定理能够求得，B两点之间的距离为＝AAB2＋2－2··cos30°＝2.ACBCACBC2a考向二丈量高度问题例2(2019·湖北模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后抵达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.答案1006分析

依题意有

AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.∴∠＝45°，ACB在△中，由AB＝CB，ABCsin∠ACBsin∠CAB得600＝CB，有＝3002，sin45°sin30°CB在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝1006，则此山的高度CD＝1006m.触类旁通办理高度问题的注意事项在办理相关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个重点．2在实质问题中，可能会碰到空间与平面地面同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样办理起来既清楚又不简单搞错.错误!即时训练

2.要测底部不可以抵达的电视塔

AB

的高度，在C点测得塔顶

A的仰角是

45°，在

D点测得塔顶

A的仰角是30°，并测得水平面上的∠

BCD＝120°，

CD＝40m，求电视塔的高度．解如图设电视塔AB高为x，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理，得222BD＝BC＋CD－2BC·CD·cos120°.即(

3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得

x＝40，∴电视塔高为

40米．考向三丈量角度问题例3(2019·沈阳模拟)如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等候营救．信息中心立刻把信息见告在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前去B处营救，求cosθ的值．解在△中，＝40，＝20，∠＝120°，由ABCABACBAC余弦定理得，2＝2＋2－2··cos120°＝2800?BCBCABACABAC＝207.AB

BC由正弦定理，得

＝sin∠ACBsin∠BACAB21·sin∠BAC＝.?sin∠ACB＝BC7由∠＝120°，知∠为锐角，BACACB7则cos∠ACB＝7.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBACB°＝21.cos30°－sin∠sin3014触类旁通解决丈量角度问题的注意事项第一应明确方向角或方向角的含义．剖析题意，分清已知与所求，再依据题意画出正确的表示图，这是最重点、最重要的一步.将实质问题转变为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“携手”使用.即时训练3．(2019·山东泰安模拟)如图，A，B是海面上两个固定观察站，现位于B点南偏东45°且相距56海里的D处有一艘轮船发出求救信号．此时在A处观察到D位于其北偏东

30°处，位于

A北偏西

30°且与

A相距

20

3海里的

C点的营救船立刻前去营救，其航行速度为

30海里/

小时，该营救船抵达

D点需要多长时间？解由题意可得：BD＝56，AC＝203，∠ABD＝45°，∠BAD＝30°，∠CAD＝60°.在△中，由正弦定理