高中数学第3章函数概念与性质32函数基本性质322奇偶性奇偶性应用第一册数学教案

第2课时奇偶性的应用学习目标核心修养1.利用奇偶性求函数的分析式，培育逻辑推会依据函数奇偶性求函数值或分析式．理修养．2．能利用函数的奇偶性与单一性剖析、解决2．借助奇偶性与单一性的应用提高逻辑推较简单的问题.理、数学运算修养.用奇偶性求分析式【例1】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的分析式；(2)设f(x)是偶函数，()是奇函数，且f(x)＋()＝1，求函数f(x)，()的解gxgxx－1gx析式．当x>0[思路点拨](1)设x<0，则－x>0――→x＝－x＋1奇函数奇函数分段函数求f－x――→得x<0时fx的分析式――→f0＝0――→fx的分析式的性质用－x代式中x1(2)fx＋gx＝x－1――→奇偶性1得f－x＋g－x＝－x－1――→1解方程组得fx，gx得fx－gx＝－x＋1――→的分析式[解](1)设x<0，则－x>0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，－x－1，x<0，因此f(x)＝0，x＝0，x＋1，x>0.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．1由f(x)＋g(x)＝x－1，①1用－x取代x得f(－x)＋g(－x)＝－x－1，1∴f(x)－g(x)＝，②－x－11(①＋②)÷2，得f(x)＝x2－1；x(①－②)÷2，得g(x)＝x2－1.把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的分析式．[解]∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，1又f(x)＋g(x)＝x－1，①用－x取代上式中的x，得1(－x)＋g(－x)＝－x－1，1即f(x)－g(x)＝x＋1.②联立①②得x1(x)＝x2－1，g(x)＝x2－1.利用函数奇偶性求分析式的方法1“求谁设谁”，既在哪个区间上求分析式，x就应在哪个区间上设.2要利用已知区间的分析式进行代入.3利用fx的奇偶性写出－fx或f－x，进而解出fx.提示：若函数fx的定义域内含0且为奇函数，则必有f0＝0，但若为偶函数，未必有f0＝0.函数单一性和奇偶性的综合问题[研究问题]1．假如奇函数f(x)在区间(，)上单一递加，那么f(x)在(－，－)上的单一性怎样？abba假如偶函数f(x)在区间(a，b)上单一递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单一性怎样？提示：假如奇函数f(x)在区间(a，b)上单一递加，那么f(x)在(－b，－a)上单一递加；假如偶函数f(x)在区间(，)上单一递减，那么f(x)在(－，－a)上单一递加．abb2．你可否把上述问题所得出的结论用一句话归纳出来？提示：奇函数在对于原点对称的区间上单一性同样，偶函数在对于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单一递加，那么f(3)和f(－2)的大小关系怎样？若(a)>f(b)，你能获得什么结论？提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.角度一比较大小问题【例2】函数y＝f(x)在[0,2]上单一递加，且函数f(x＋2)是偶函数，则以下结论成立的是()5775A．f(1)<f2<f2B．f2<f(1)<f2C．f7<f5<(1)D．f5<(1)<f722f2f2[思路点拨]y＝fx＋2是偶函数―→[0，2]上fx的图象对于x＝2对称――→比较大小递加B[∵函数f(x＋2)是偶函数，5371∴函数f(x)的图象对于直线x＝2对称，∴f2＝f2，f2＝f2，又f(x)在[0,2]上单一递加，1375∴f2<f(1)<f2，即f2<f(1)<f2.]比较大小的求解策略,看自变量能否在同一单一区间上.在同一单一区间上，直接利用函数的单一性比较大小；不在同一单一区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转变到同一单一区间上，而后利用单一性比较大小.1．设偶函数

f(x)的定义域为

R，当

x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是

(

)A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)

B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)

D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A[由偶函数与单一性的关系知，若

x∈[0，＋∞

)时，f(x)是增函数，则

x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特色是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵

|2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，应选A.]角度二解不等式问题【例

3】

已知定义在

[－2,2]

上的奇函数

f(x)在区间

[0,2]

上是减函数，若

f(1－m)<f(m)，务实数

m的取值范围．[解]因为

f(x)在区间[－2,2]

上为奇函数，且在区间

[0,2]

上是减函数，因此

f(x)在[－2,2]

上为减函数．－2≤1－m≤2，又f(1－m)<f(m)，因此－2≤m≤2，1－m>m，－1≤m≤3，即

－2≤m≤2，1m<2.

解得－1≤

1m<2.1故实数m的取值范围是－1≤m<2.解相关奇函数fx的不等式fa＋fb<0，先将fa＋fb<0变形为fa<－fb＝f－b，再利用fx的单一性去掉“f”，化为对于a，b的不等式.此外，要特别注意函数的定义域.,因为偶函数在对于原点对称的两个区间上的单一性相反，因此我们要利用偶函数的性质fx＝f|x|＝f－|x|将fgx中的gx所有化到同一个单一区间内，再利用单一性去掉符号f，使不等式得解.2．函数

f(x)是定义在实数集上的偶函数，

且在[0，＋∞)上是增函数，

f(3)<

f(2a＋1)，则a的取值范围是

(

)A．a>1

B．a<－2C．a>1或

a<－2

D．－1<a<2C[因为函数

f(x)在实数集上是偶函数，且

f(3)<

f(2a＋1)，因此

f(3)<

f(|2

a＋1|)

，又函数

f(x)在[0

，＋∞)上是增函数，因此

3<|2a＋1|，解之得

a>1或

a<－2.应选

C.]1．拥有奇偶性的函数的单一性的特色(1)

[a，b]和[－b，－a]上拥有同样的单一性．(2)偶函数在

[a，b]和[－b，－a]上拥有相反的单一性．2．利用函数奇偶性求函数分析式的重点是利用奇偶函数的关系式

f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，但要注意求给定哪个区间的分析式就设这个区间上的变量为

x，而后把

x转化为－x(另一个已知区间上的分析式中的变量)，经过适合推导，求得所求区间上的分析式．3．偶函数的一个重要性质：

f(|

x|)

＝f(x)，它能使自变量化归到

[0，＋∞)上，防止分类议论

.1．思虑辨析1奇函数f(x)＝x，当x>0时的分析式与x<0时的分析式同样，因此一般的奇函数在(0，＋∞)上的分析式与

(－∞，0)上的分析式也同样．

(

)(2)对于偶函数

f(x)，恒有

f(x)＝f(|

x|)

．(

)(3)若存在

x0使

f(1－x0)＝f(1＋x0)，则

f(x)对于直线

x＝1对称．

(

)(4)若奇函数

f(x)在(0，＋∞)上有最小值

a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－

a.(

)[答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√2．已知偶函数在

(－∞，0)上单一递加，则

(

)A．f(1)>

f(2)

B．f(1)<

f(2)C．f(1)

＝f(2)

D．以上都有可能[∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单一递加，∴f(x)在(0，＋∞)上单一递减，∴f(1)>f(2)，应选A.]3．定义在R上的偶函数f()在[0，＋∞)上是增函数，若f()<( )，则必定可得( )xafbA．a<bB．a>bC．|a|<|b|D．0≤a<b或a>b≥0C[∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴由