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文档简介
§6.4.3正弦定理(2)余弦定理及其推论:利用余弦定理可以解决的问题:1、已知两边和夹角求第三边。2、已知三边求三角。c2=a2+b2-2abcosCa2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosB复习:我们知道:三角形中:大角对大边,大边对大角.课题引入:AcbaCBCBAabc探究1:三角形中,如果已知两角和一边,是否也有相应的直接解三角形的公式?课题引入:AcbaCBCBAabc先考察Rt△ABC此结论在斜三角形ABC中也成立吗?
探究2:如何证明这个等式?ABCcbaD∵∴∴同理:∴证法一:不妨设C为最大角,
当C为直角时,等式成立;当C为锐角时,过A点作AD垂直BC交于D点所以ACBbcaD当C为钝角时,过A点作AD垂直于BC交BC的延长线于点D证法二:向量法假设C为最大角则过A作AD垂直于BC于D,如图,于是即其中,当C为锐角或直角时,当C为钝角时,故可得即同理:∴DCABabc探究3:每个等式中有几个量?正弦定理:
知三求一每个等式中有四个未知量,知道其中三个就可以知道第四个未知量OABCb正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
==
asinAbsinBcsinC=2R.=2RbsinBOABCbObABCB`B`正弦定理的变式:题型一:已知两角及一边解三角形
题型二:已知两边及一边的对角解三角形
变式2在△ABC中,已知a=8,b=A=30°,求角B,C和边c解:由正弦定理得所以B=60°,或B=120°当时B=60°C=90°C=30°当B=120°时B8300ABC838方法技巧:已知两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断出另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯
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