人教B版（2019）必修第四册《平行直线与异面直线》提升训练（含解析）

人教B版（2019）必修第四册《11.3.1平行直线与异面直线》提升训练一、单选题（本大题共15小题，共75分）1.（5分）已知A，B，C，D是空间四个不同的点，则“AC与BD是异面直线”是“AD与BC是异面直线”的(A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.（5分）如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：①DE与MN平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的个数是(    A.1 B.2 C.3 D.43.（5分）异面直线a，b分别在平面α，β内，若α∩β=lA.分别与a，b相交

B.与a，b都不相交

C.至少与a，b中一条相交

D.至多与a，b中一条相交4.（5分）已知AB // PQ，BC // QR，∠ABC=30°A.30° B.30°或150° C.150° D.30°或120°5.（5分）下列命题错误的是(A.三角形中至少有一个内角不小于60°

B.四面体的三组对棱都是异面直线

C.闭区间[a,b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D.设a，6.（5分）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a，若长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是A.1,2 B.1,3 C.0,7.（5分）两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是(A.两条平行直线 B.两条相交的直线

C.一条直线与直线外一个点 D.一条直线8.（5分）设m，n是两条异面直线，则下列命题中正确的是(A.过m且与n垂直的平面有且只有一个

B.过m且与n平行的平面有且只有一个

C.过空间一点P与m，n都平行的平面有且只有一个

D.过空间一点P与m，n都垂直的平面有且只有一个9.（5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CD，CCA.直线AB B.直线BC C.直线CD D.直线C10.（5分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1A.1 B.2 C.3 D.411.（5分）若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角().A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.不能确定12.（5分）将无盖正方体纸盒展开(如图)，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( ) A.平行 B.异面且垂直

C.异面且夹角为60∘ D.13.（5分）分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面14.（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点的坐标是(    ) 

A. B. C. D.15.（5分）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中： 

①BM与ED平行

②CN与BE是异面直线 

③CN与BM成60°角

④DM与BN是异面直线 

以上四个命题中，正确命题的个数是(    )A.1             B.2                C.3二、填空题（本大题共5小题，共25分）16.（5分）如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是________.(写出所有正确答案的序号)17.（5分）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且a=60゜，则18.（5分）判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行

((2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行

((3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线

((4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线

(19.（5分）在正方体A1B1C20.（5分）一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中下列结论正确的是________.(填序号)①AB//CD；②AB与CD相交；③AB⊥④AB与CD所成的角为60°.三、解答题（本大题共3小题，共36分）21.（12分）如果a,b是异面直线，直线c与22.（12分）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=3，点D为BC的中点． 

(1)求证：直线A23.（12分）如图，已知平面α与平面β相交于直线m，直线n⊂β，且m∩n=A，直线l⊂α，且l//m

答案和解析1.【答案】B;【解析】解：AC与BD是异面直线，假设AD与BC共面，则AC与BD平行或相交，则共面，这与AC与BD是异面直线矛盾，假设不成立，则AD与BC是异面直线； 

反之成立． 

∴“AC与BD是异面直线”是“AD与BC是异面直线”的充要条件． 

故选：B． 

利用反证法可得，由AC与BD是异面直线，可得AD与BC是异面直线，反之成立．结合充分必要条件的得答案． 

该题考查异面直线的定义的应用，考查充分必要条件的判定，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，是基础题．

2.【答案】C;【解析】解：根据正四面体的性质可知： 

①DE与MN平行显然错误； 

②BD与MN为异面直线，由异面直线的定义可判断正确； 

③由三角形GMN为等边三角形，故GH与MN成60°角，故正确； 

④过EH垂直于AF，显然可证AF垂直于平面EHD，可得AF与ED垂直，进而得出DE与MN垂直，故正确． 

故选：C． 

根据正四面体的性质可知，异面直线的定义可判断： 

①DE与MN平行显然错误；②BD与MN为异面直线； 

③由三角形GMN为等边三角形，可判断，④过EH垂直于AF，显然可证AF垂直于平面EHD，可得AF与ED垂直，进而得出DE与MN垂直． 

此题主要考查了正四面体的定义和线线，线面垂直的判断，属于基础题型，应熟练掌握．3.【答案】C;【解析】 

此题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查推理能力和空间想象能力． 

由题意，直线l与直线a、b可以都相交，也可以只与a、b其中一条相交，但直线l不会与直线a、b都不相交，可由反证法进行证明． 

解：由题意，直线l与直线a、b可以都相交，也可以只与a、b其中一条相交，故A、B错误； 

但直线l不会与直线a、b都不相交， 

若l与a、b都不相交，因为l与a都在α内，所以l//a，同理l//b，所以a//b，这与a、b异面直线矛盾，故直线l至少与a、b中之一相交，C正确． 

故选C. 

4.【答案】B;【解析】解：由题意知AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°， 

根据空间平行公理知，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补 

所以∠PQR等于30°或150° 

故选：B. 

由题意AB//PQ，BC//QR，∠ABC=30°，由平行公理知，∠PQR与∠ABC相等或互补，答案易得．5.【答案】D;【解析】解：对于A，假设三角形中的内角都小于60°，则三内角的和小于180°，矛盾，故A正确； 

对于B，四面体的四个顶点不共面，由异面直线的定义可得它的三组对棱异面，故B正确； 

对于C，闭区间[a,b]上的单调函数f(x)的图象可与x轴无交点或一个交点，故C正确； 

对于D，若a，b均为奇数，则a+b为偶数，故D错误． 

故选：D． 

由三角形中的内角都小于60°，推出矛盾，可判断A；由四面体的概念和异面直线的定义，可判断B； 

由单调函数的定义可判断6.【答案】C;【解析】此题主要考查三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论.先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案.解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=2，在三角形BCD取BC中点E，因为E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE， 

所以在三角形AED中，AE=ED=1-a22，因为两边之和大于第三边， 

所以2<21-a22解得0<a<2，(负值7.【答案】D;【解析】 

此题主要考查空间中异面直线及射影、考查数形结合思想，是中档题． 

以正方体为载体，列举出所有情况，结合异面直线的性质能求出结果． 

解：在A中，正方体ABCD-A1B1C1D1中， 

两条平行的棱A1B1和D1C在底面ABCD上的射影是两条平行线， 

故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是两条平行线，故A错误； 

在B中，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1，BD1在底面ABCD上的射影是两条相交的直线， 

故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是两条相交的直线，故B错误； 

在C中，正方体ABCD-A1B1C18.【答案】B;【解析】 

此题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，属于基础题. 

根据m，n是两条异面直线，结合空间直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一判断可得. 

解：若直线m不垂直于直线n，可知过直线m与直线n垂直的平面不存在，故A错误； 

平移直线n与直线m相交，相交直线确定一个平面，这个平面与平移前的直线n平行，故B正确； 

若点P在直线m或直线n上，过空间一点P没有与直线m、直线n均平行的平面，故C错误； 

假设存在这样一个平面与m，n都垂直，则m//n，与m、n是异面直线相矛盾，故D错误. 

故选B.9.【答案】C;【解析】 

此题主要考查异面直线的判定，是基础题． 

根据异面直线的定义结合长方体的性质，可得CD与BC1的位置关系是异面． 

解：由题意，直线AB、BC、CC由异面直线的概念可得直线CD与直线BC1成异面直线. 

故选：10.【答案】C;【解析】 

此题主要考查异面直线的判断，属于基础题． 

在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1异面的直线有：A1B1，AC，AA1． 

解：在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中， 11.【答案】C;【解析】 

此题主要考查两个角的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．属于基础题. 

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同或相反时，那么这两个角相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组边方向相同、一组边方向相反，那么这两个角互补． 

解：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等； 

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且一组边方向相同、一组边方向相反，那么这两个角互补；如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相反，那么这两个角相等．∴如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 

故选：C.12.【答案】C;【解析】此题主要考查两直线位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养. 

根据题意还原正方体，寻找直线关系即可.解：如图， 

将无盖正方体纸盒还原后，可知AB与CD异面， 

如图可知AB // =CE，则∠DCE即为AB与CD夹角(或补角)， 

∵由正方体的性质可知CD、CE、DE均为各面的对角线， 

∴CD=CE=DE，即ΔCDE为等边三角形， 

∴∠DCE13.【答案】D;【解析】解：如图为一正方体， 

AB与B1C1是异面直线，CD//AB，A1D1//B1C1，则CD与A1D1的异面直线， 

AB与B1C1是异面直线，CD//AB，BC//B1C14.【答案】A;【解析】折叠后的对应点的连线相互平行，，，因此与点重合的点为，故选A． 

考点：折叠问题． 

15.【答案】B;【解析】此题主要考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题． 

把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案． 

解：把平面展开图还原原几何体如图： 

由正方体的性质可知，BM与ED异面且垂直，故①错误； 

CN与BE平行，故②错误； 

连接BE，则BE//CN，∠EBM为CN与BM所成角， 

连接EM，可知ΔBEM为正三角形，则∠EBM=60°，故③正确； 

由异面直线的定义可知，DM与BN是异面直线，故④正确． 

∴正确命题的个数是2个． 

16.【答案】③;【解析】此题主要考查异面直线的定义，正方体的性质，判断两条直线的位置关系，属于基础题，利用异面直线的定义和正方体的性质，逐一分析各个选项中的两条直线的位置关系，把满足条件的选项找出来．解：①中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故①不满足条件； 

②中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故②也不满足条件；③中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故③满足条件．④中，

根据正方体上的点P、Q、R、S是其所在棱的中点，延长PQ，RS以及外右侧的棱然后根据三角形的相似得PQ和RS是相交直线，故④不满足条件．故答案为③.

17.【答案】600或120【解析】 

此题主要考查立体几何的等角定理知识，属于简单题. 

解：根据等角定理定理如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补， 

可知角β为600或或1200. 

故答案为60゜或或18.【答案】(1)× 

(2)√ 

(3)× 

(4)×;【解析】 

此题主要考查空间中两条直线位置关系的知识，关键是掌握两条直线位置关系. 

解：(1)两直线无公共点，则两直线平行或异面，故错误； 

(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行，故正确； 

(3)过平面外一点P与平面内一点A的直线，与平面内过点A的任一直线均相交，故错误； 

(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线，错误，如图三棱锥A-BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1与l2都相交，故错误. 

19.【答案】A1D1，DD1【解析】

此题主要考查正方体中与一条棱异面的棱的求法，是基础题，利用正方体的结构特征及异面直线求解，解题时要认真审题.解：在正方体ABCD-与AB异面的棱有：A1D1，DD故答案为A1D1，DD120.【答案】④;【解析】此题主要考查了异面直线和空间中直线与直线的位置关系，把展开图中的各正方形按图(a)解：如图，把展开图中的