2019高考数学考点突破-基本初等函数对数函数学案

对数函数【考点梳理】1．对数的观点假如ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，此中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．logcb换底公式：logab＝logca(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．对数的运算性质：假如a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaMlogaN；Mn②logaN＝logaM－logaN，③logaM＝nlogaM(n∈R)．3．对数函数的定义、图象与性质定义函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数a＞10＜a＜1图象定义域：(0，＋∞)值域：R性质当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)当0＜x＜1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＞0当x＞1时，y＜0在(0，＋∞)上为增函数在(0，＋∞)上为减函数4．反函数指数函数y＝x(＞0且≠1)与对数函数y＝loga(＞0且≠1)互为反函数，它们的aaaxaa图象对于直线y＝x对称．【考点打破】考点一、对数的运算【例1】计算：1＋lg2·lg5－lg2·lg50－log35·log259·lg5＝( )A．1B．0C．2D．4[答案]B1lg52lg3[分析]原式＝1＋lg2·lg5－lg2(1＋lg5)－lg3·2lg5·lg5＝1＋lg2·lg5－lg2－lg2·lg5－lg5＝1－(lg2＋lg5)＝1－lg10＝1－1＝0.【类题通法】解决对数运算问题的常用方法将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．将同底对数的和、差、倍归并．利用换底公式将不一样底的对数式转变成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.【对点训练】(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.[答案]2[分析]原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.考点二、对数函数的图象及应用【例2】(1)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大概图象是( )(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logx恒建立，则实数a的取值范围是________．a[答案](1)B(2)(1，2][分析](1)法一：易知函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数f(x)单一递加，因此只有选项B正确．法二：函数f(x)＝lg(|x|－1)的图象可由函数y＝lgx的图象向右平移1个单位，然后再对于y轴对称获得．由y＝lgx的图象可知选B.(2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只要f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当0<<1时，明显不建立；a当a>1时，如图，要使x∈(1，2)时f(x)＝(x－1)2的图象在f(x)＝logx的图象下方，12a只要f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，又即loga2≥1，因此1<≤2，即实数a的取值范围a是(1，2]．2【类题通法】1．在辨别函数图象时，要擅长利用已知函数的性质、函数图象上的特别点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)清除不切合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转变为相应的函数图象问题，利用数形联合法求解．【对点训练】1．若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大概是( )ABCD[答案]B[分析]若函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则a＞1，故函数y＝loga|x|的大概图象如下图．log2x，x＞0，且对于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实2．已知函数f(x)＝x3，≤0，x根，则实数a的取值范围是________．[答案](1，＋∞)[分析]如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，此中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．考点三、对数函数的性质及应用1【例3】已知x＝lnπ，y＝log21，z＝e2，则x，y，z的大小关系为( )3A．x<y<zB．z<x<yC．z<y<xD．y<z<x3[答案]D11111[分析]∵x＝ln2＝π>lne，∴x>1.∵y＝log2<log21，∴y<0.∵z＝e>＝，3e421<z<1.综上可得，y<z<x.2【类题通法】对数函数值大小比较的方法单一性法在同底的状况下直接获得大小关系，若不一样底，先化为同底中间量找寻中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其余特别值进过渡法行“比较传达”图象法依据图象察看得出大小关系【对点训练】已知a＝log3＋log23，b＝log9－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()22A．a＝b＜cB．a＝b＞cC．＜＜cD．＞＞cabab[答案]B[分析]由于a＝log3＋log23＝log233＝2log3＞1，b＝log9－log23＝log3323222a，c＝log32＜log33＝1，因此a＝b＞c.【例4】若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是()1A．(0，1)B．0，21C．2，1D．(0，1)∪(1，＋∞)[答案]C[分析]由题意得a>0且≠1，故必有2＋1>2a，又loga(2＋1)<loga2<0，因此0<<1，aaaaa1a∈1同时2a>1，∴a>.综上，，1.22【类题通法】简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单一性转变为一般不等式求解．(2)对数函数的单一性和底数a的值相关，在研究对数函数的单一性时，要按0<a<1和a>1进行分类议论．4某些对数不等式可转变为相应的函数图象问题，利用数形联合法求解．【对点训练】3若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是( )43B．(1，＋∞)A．0，433C．0，∪(1，＋∞)D．，144[答案]C[分析]当0＜a＜1时，log3344aa3当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.4即实数a的取值范围是30，4∪(1，＋∞)．fxx2axaxxa【例5】若函数(a－＋5)(>0且≠1)知足对随意的1，2，当1<2≤时，axx2f(x2)－f(x1)<0，则实数a的取值范围为________．[答案](1，25)[分析]1<x2a21)<0，即函数f(x)在区间－∞，a当x≤2时，f(x)－f(x2上为减函数，设>1，ag(x)＝x2－ax＋5，则a解得1<a<25，因此实数a的取值范围为(1，25).2>0，【类题通法】与对数相关的单一性问题的解题策略求出函数的定义域．(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包括单唯一个字母)时，要考察其单一性，就一定对底数进行分类议论．判断内层函数和外层函数的单一性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．【对点训练】已知