【金版学案】高考数学总复习基础知识名师讲义第七章第五节椭圆(一)文

第五节椭圆(一)1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.2.理解数形联合的思想.知识梳理一、椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a(2a>|F1F2|的点的轨迹叫做________，)即点集M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a,2a＞|F1F2|}是椭圆．此中两定点F1，F2叫做____________，定点间的距离叫做____________(注意：2a＝|F1F2|12,F1F2时，点的轨迹为线段FF2a<||时，无轨迹)．二、椭圆的标准方程焦点在x轴上：焦点在y轴上：

x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)；y2x2a2＋b2＝1(a>b>0)．四、椭圆的标准方程、性质2222标准方程x2＋y2＝1(a>b>0)y2＋x2＝1(a>b>0)abab图形中心(0,0)(0,0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)极点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长长轴|A12122222A|的长2a，短轴|BB|的长2b，|BO|＝b，|OF|＝c，|BF|＝a离心率e＝c(0<e<1)a范围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b对称性对称轴方程为x＝0，y＝0；对称中心为O(0,0)a，b，c的关系c2＝a2－b2一、椭圆焦点焦距22222y2x0y0x0y0x00三、1.a2＋b2>12.a2＋b2＝13.a2＋b2<1基础自测1．(2012长·春模拟)椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()3322A.2B.4C.2D.3分析：先将x2＋4y2＝1化为标准方程x2y21＋1＝1，413则a＝1，b＝2，c＝a2－b2＝2.c3因此离心率e＝a＝2.应选A.答案：A2．(2013大·纲全国卷)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3,则C的方程为( )x2x2y2A.2＋y2＝1B.3＋2＝1x2y2x2y2C.4＋3＝1D.5＋4＝1分析：设椭圆C的方程为x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)，b2与直线x＝1联立得y＝±a，因为c＝1，因此2b2＝3a，即2(a2－1)＝3a,2a2－3a－2＝0，a>0，解得

a＝2(负值舍去

)，因此

b2＝3，故所求椭圆方程为

x2y24＋3＝1.应选

C.答案：C3．(2013

·州模拟扬

)已知

x2y2F1，F2是椭圆16＋9＝1的两焦点，过点

F2的直线交椭圆于

A，B两点．在△AF1B中，如有两边之和是10，则第三边的长度为分析：依据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，

________．故所求的第三边的长度为答案：6

16－10＝6.4．椭圆3x2＋ky2＝3的一个焦点是(0，2)，则k＝________________.y2分析：方程3x2＋ky2＝3可化为x2＋3＝1，ka2＝3k>1＝b2，3c2＝a2－b2＝k－1＝2，解得k＝1.答案：111．(2013广·东卷)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于2，则C的方程是()2222A.x＋y＝1B.x＋y＝134432222C.x＋y＝1D.x＋y＝14243分析：依题意c＝1，因为离心率e＝12，因此a＝2，进而b＝3，x2y2因此椭圆方程为4＋3＝1.应选D.答案：D223，a＋b＝3.2．(2013江·西卷)椭圆C：x2＋y2＝1(a>b>0)的离心率e＝ab2(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的极点，P是椭圆C上除极点外的随意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：2m－k为定值．分析：(1)因为e＝23＝ca，c2a2－b2b23故a2＝a2＝1－a2＝4，因此a＝2b，再由a＋b＝3得a＝2，b＝1,x2∴椭圆C的方程为：4＋y2＝1.(2)因为B(2,0)，P不为椭圆极点，则BP方程为y＝k(x－2)1k≠0且k≠±2.①x28k2－24k2P，－4k2＋1.将①代入4＋y＝1，解得4k2＋11又直线AD的方程为y＝2x＋1，②4k＋24k①与②联立解得M，，2k－12k－18k2－2，－4k由D(0,1)，P，4k2＋14k2＋14k－2N(x,0)三点共线可解得N，0，2k＋1因此MN的分斜率为m＝2k＋1，42k＋11则2m－k＝2－k＝2(定值).x2y2M的坐标为1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点2516(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为______．分析：|PF1|＋|PF2|＝10，|PF1|＝10－|PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－|PF2|.易知点M在椭圆外，连结MF2并延伸交椭圆于点P，此时|PM|－|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：152．(2013·州二模梅)已知圆C：(x－4)2＋(y－m)2＝16(m∈N*)，直线4x－3y－16＝0过椭2232，点A(3,1)在椭圆E上．圆E：x2＋y2＝1(a＞b＞0)的右焦点，且交圆C所得的弦长为ab5(1)求m的值及椭圆E的方程；(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求→→AC·AQ的取值范围．分析：(1)因为直线4x－3y－16＝0交圆C所得的弦长为32，51612因此圆心C(4，m)到直线4x－3y－16＝0的距离等于42－52＝5，|4×4－3×m－16|12即5＝5，∴m＝4或m＝－4(舍去)．又因为直线4x－3y－16＝0过椭圆E的右焦点，因此右焦点坐标为F2(4,0)．则左焦点F1的坐标为(－4,0)，因为椭圆E过A点，因此|AF1|＋|AF2|＝2a.因此2a＝52＋2＝62，a＝32，a2＝18，b2＝2.x2y2故椭圆E的方程为：18＋2＝1.→(2)AC＝(1,3)，设Q(x，y)．→则AQ＝(x－3，y－1