高三数学寒假作业5

高三数学寒假作业5一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|y＝ln（x2﹣2x﹣3）}，B＝{x||2﹣x|＜3}，则A∩B＝（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|3＜x＜5}2．已知复数z满足（1﹣3i）z＝（1+i）（3+i），则z的共轭复数为（）A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i3．随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品“．如图是2015年﹣﹣2019年，我国对快递行业发展的统计图．下面描述错误的是（）A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势 B．2016年，快递业务量增长速度最快 C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升 D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓4．已知a＝log23，b＝log46，c＝log69，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b5．函数f(x)=cosx⋅eA． B． C． D．6．2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北．某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（）A．16 B．12 C．187．△ABC中，M，N分别是BC，AC上的点，且BM＝2MC，AN＝2NC，AM与BN交于点P，则下列式子正确的是（）A．AP→=34C．AP→=18．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A、B的高度差约为（）A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米9．双曲线C的方程为：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，过右焦点FA．2 B．2 C．3 D．310．△ABC中，sinA+2sinBcosC＝0，3sinB＝sinC，则cosC＝（）A．12 B．32 C．-111．已知函数f（x）=lnx，x＞0x2+4x+3，x≤0，若关于x的方程|f（x）|＝a恰好有4个实根x1，x2，x3，x4，则x1x2xA．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（0，2） D．[0，2）12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E、F分别在棱C1C，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：①异面直线BE，CF所成角的余弦值为310；②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥B1﹣BEF的体积为32；④过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x、y满足约束条件y-x≤0x+y-1≤0y+1≥0，则z＝3x+y+1的最大值为14．函数f（x）＝（x﹣2）ex在点（2，f（2））处的切线方程为．15．过抛物线C：x2＝y的焦点F作两条互相垂直的弦AC，BD，则四边形ABCD面积的最小值为．16．如图有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．（1）若n＝3时，至少需要移动次；（2）将n个金属圆片全部移到3号柱子，至少需要移动次．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数f(x)=sin(2ωx-π6)+2co（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f(x)≥12，求18．（12分）如图，△ABC，△ACD，△ABE均为正三角形，AB＝2，AB中点为O，将△ABE沿AB翻折，使得点E折到点P的位置．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）当PC=6时，求二面角B﹣PC﹣D19．（12分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足kPA（1）求点P的轨迹方程C；（2）过F（1，0）的直线交曲线C于M，N两点，MN的中点为Q，O为坐标原点，直线OQ交直线x＝4于点E，求|EF||MN|高三数学寒假作业5（答案解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|y＝ln（x2﹣2x﹣3）}，B＝{x||2﹣x|＜3}，则A∩B＝（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|3＜x＜5}【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0可得x＞3或x＜﹣1，∴A＝{x|y＝ln（x2﹣2x﹣3）}＝{x|x＞3或x＜﹣1}，B＝{x||2﹣x|＜3}＝（﹣1，5），则A∩B＝（3，5）．故选：D．2．已知复数z满足（1﹣3i）z＝（1+i）（3+i），则z的共轭复数为（）A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i【解答】解：由（1﹣3i）z＝（1+i）（3+i）＝3+i+3i﹣1＝2+4i，得z=2+4i∴z=-1-i故选：C．3．随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品“．如图是2015年﹣﹣2019年，我国对快递行业发展的统计图．下面描述错误的是（）A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势 B．2016年，快递业务量增长速度最快 C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升 D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓【解答】解：对于选项A：由图可见，从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势，故选项A正确；对于选项B：2016年，快递业务量增长速度最快，故选项B正确；对于选项C：从2016到2019年，快递业务量逐年增长，但快递业务量增长速度逐年放缓，故选项C错误；对于选项D：由图可见，从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓，故选项D正确，故选：C．4．已知a＝log23，b＝log46，c＝log69，则（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：∵log46=又log23-lo∴log23＞log46，log69＜log46，∴c＜b＜a．故选：B．5．函数f(x)=cosx⋅eA． B． C． D．【解答】解：根据题意，f(x)=cosx⋅ex+1ex-1，则f（﹣x）＝cos（﹣x）e-x+1e-x-1=-cos在区间（0，π2）上，cosx＞0，则f（x）＞0，函数图象在x轴上方，排除D又由cosπ2=0，则f（π2故选：B．6．2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北．某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（）A．16 B．12 C．18【解答】解：某地有3名医生，6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，基本事件总数n=C医生甲和护士乙分到同一家医院包含的基本事件个数m=C则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为p=m故选：D．7．△ABC中，M，N分别是BC，AC上的点，且BM＝2MC，AN＝2NC，AM与BN交于点P，则下列式子正确的是（）A．AP→=34C．AP→=1【解答】解：过M作MD∥BN交AC于D；∵BM＝2MC，AN＝2NC，则CD：DN＝CM：MB＝1：2；∴ND：AN＝MP：AP=2故AP=34∴AP→=34AM→=34故选：D．8．珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A、B的高度差约为（）A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米【解答】解：根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin70°≈9.4（米）．故选：C．9．双曲线C的方程为：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，过右焦点FA．2 B．2 C．3 D．3【解答】解：双曲线C的方程为：x2a2-yF（c，0），如图：FA的方程为：y=ba(x-c)与OP方程的交点P（c点M恰好为PF的中点，M（3c4，-bc4a），代入双曲线方程可得：9c216a2得e=2故选：A．10．△ABC中，sinA+2sinBcosC＝0，3sinB＝sinC，则cosC＝（）A．12 B．32 C．-1【解答】解：因为sinA+2sinBcosC＝0，由正弦定理及余弦定理可得，a+2b×a整理可得，2a2+b2﹣c2＝0①，由3sinB＝sinC结合正弦定理可得，3b=c②①②联立可得，a＝b，c=3则cosC=a故选：C．11．已知函数f（x）=lnx，x＞0x2+4x+3，x≤0，若关于x的方程|f（x）|＝a恰好有4个实根x1，x2，x3，x4，则x1x2xA．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（0，2） D．[0，2）【解答】解：作函数y＝|f（x）|的图象，如图函数y＝|f（x）|与y＝a有4个交点，可知1＜a≤3；不妨设实根x1＜x2＜x3＜x4，当a＝3时，可得x1＝﹣4，x2＝0，若a＝1时，可得x1=-2-2，x2可知x1、x2关于x＝﹣2对称，且x1+x2＝﹣4，x1•x2＝3；∴-4≤x1＜-2根据图象，有log结合对数的性质，可得x3•x4＝1；则x1x2x3x4＝x1（﹣4﹣x1）=-x令h（x）═-x其对称轴x＝﹣2，根据二次函数的图象性质：x在（﹣4，﹣2-2∴h（﹣4）≤h（x）＜h（﹣2-2即0≤h（x）＜2；即x1x2x3x4的取值范围[0，2）；故选：D．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E、F分别在棱C1C，D1C1上，且C1E＝2EC，D1F＝2FC1，下列命题：①异面直线BE，CF所成角的余弦值为310；②过点B，E，F的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥B1﹣BEF的体积为32；④过B1作平面α，使得AE⊥α，则平面α截正方体所得截面面积为A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【解答】解：对于①：取A1B1的三等分点为F1，使A1F1＝2F1B1，又D1F＝2FC1，∴F1B1∥FC1且F1B1＝FC1，∴四边形FC1B1F1为平行四边形，∴FF1∥B1C1∥BC且FF1＝B1C1＝BC，∴四边形F1FCB为平行四边形，∴BF1∥CF，则∠F1BE为异面直线BE，CF所成的角，连接EF1，由题意得：BF1=10所以cos∠F1BE=B故①正确；对于②：取B1B的三等分点为E1，使B1E1＝2E1B，又C1E＝2EC，∴BE1∥CE且BE1＝CE，∴四边形BE1EC为平行四边形，则E1E∥BC且E1E＝BC，又由①得：FF1∥BC且FF1＝BC，于是FF1∥EE1且FF1＝EE1，∴四边形EE1F1F为平行四边形，∴EE1∥F1F，取A1B1的中点为G，连接BG，又B1∴E1F1∥BG∥EF，则四边形BEFG即为所求截面，由题意知：BE≠FG，则②不正确；对于③：S△B1BE=1又C1F⊥面B1BE，C1F＝1，所以VB故③正确；对于④：取CD的三等分点为H1，使CH1＝2DH1，取BC的三等分点为H，使CH＝2BH，∴HH1∥BD∥B1D1，则面B1D1H1H即为所求的截面α，建立如图所示的空间坐标系，则A（3，0，0），E（0，3，1），B1（3，3，3），D1（0，0，3），H1（0，1，0），AE→∵AE→所以AE⊥面B1D1H1H，由已知条件得：B1D1＝32，H等腰梯形B1D1H1H的高为：h=(所以截面面积为：S=(2故④正确．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x、y满足约束条件y-x≤0x+y-1≤0y+1≥0，则z＝3x+y+1的最大值为【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+y+1得y＝﹣3x+z﹣1，平移直线y＝﹣3x+z﹣1，由图象可知当直线y＝﹣3x+z﹣1，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由y=-1x+y-1=0，解得A（2，﹣1），此时zmax故答案为：6．14．函数f（x）＝（x﹣2）ex在点（2，f（2））处的切线方程为e2x﹣y﹣2e2＝0．【解答】解：由f（x）＝（x﹣2）ex，得f′（x）＝ex+（x﹣2）ex＝（x﹣1）ex．∴f′（2）＝e2，又f（2）＝0，∴函数f（x）＝（x﹣2）ex在点（2，f（2））处的切线方程为y＝e2（x﹣2），即e2x﹣y﹣2e2＝0．故答案为：e2x﹣y﹣2e2＝0．15．过抛物线C：x2＝y的焦点F作两条互相垂直的弦AC，BD，则四边形ABCD面积的最小值为2．【解答】解：设直线AC的斜率为k（k≠0），则直线BD的斜率为-1由F（0，14），可得直线AC的方程为y-1联立x2=yy=kx+14，消去y得x设A（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2＝k，x1x2=-1y1+y2＝k（x1+x2）+12=∴|AC|＝y1+y2+12=以-1k替换k得|BD|故所求面积为S=12|AC||BD|=12•（k2+1）•（1k2+1）=1∴四边形ABCD面积的最小值为2．故答案为：2．16．如图有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面．（1）若n＝3时，至少需要移动7次；（2）将n个金属圆片全部移到3号柱子，至少需要移动2n﹣1次．【解答】解：当n＝2时，小盘→2号柱，大盘→3号柱，小盘再由2号柱到3号柱，完成，即n＝2时，移动22﹣1＝3次；当n＝3时，小盘→3号柱，中盘→2号柱，再将小盘由3号柱移到2号柱，接下来把大盘→3号柱，将小盘由2号柱移到1号柱，将中盘由2号柱移到3号柱，最后把小盘由1号柱移到3号柱，完成，即当n＝3时，移动23﹣1＝7次．（1）由上述过程可知，当n＝3时，移动7次；（2）由以上类比推理可得：当有n个金属片时，需要移动2n﹣1次．因此答案为：（1）7；（2）2n﹣1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数f(x)=sin(2ωx-π6)+2co（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f(x)≥12，求【解答】解：（1）因为f(x)=sin(2ωx-π所以f（x）＝sin2ωxcosπ6-cos2ωxsinπ6+cos2ωx+1=32sin2ωx+12所以f（x）的最小正周期T=2π解得ω＝1，f（x）＝sin（2x+π令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ-π3可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ-π3，kπ+π6]，（2）由（1）得f（x）＝sin（2x+π6）+1可得sin（2x+π6）可得2x+π6∈[2kπ-π6，2kπ+7π可得x∈[kπ-π6，kπ+π2]，18．（12分）如图，△ABC，△ACD，△ABE均为正三角形，AB＝2，AB中点为O，将△ABE沿AB翻折，使得点E折到点P的