平面向量基本定理及坐标表示（学案）

6.3平面向量基本定理及坐标表示（学案）知识自测知识自测一．平面向量基本定理1.定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ22.基底：不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．二．平面向量的正交分解及坐标表示1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得＝x＋y，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作＝(x，y)，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，＝(1,0)，＝(0,1)，＝(0,0).三．平面向量的加、减运算的坐标表示平面向量的坐标运算法则：＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则1.加法：两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和，即＋＝(x1＋x2，y1＋y2)2.减法：两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差，即－＝(x1－x2，y1－y2)3.两点求坐标：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)平面向量数乘运算的坐标表示1.已知＝(x，y)，λ∈R，则λ＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标．2.中点坐标公式若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式.3.平面向量共线的坐标表示设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，其中b≠0.则，共线的充要条件是存在实数λ，使＝λ.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量，(≠0)共线.可简记为：纵横交错积相减.五．在平面向量数量积的坐标表示：1.已知＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2.平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若＝(x，y)，则||＝eq\r(x2＋y2)．（2）两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(3)向量的夹角公式：设，都是非零向量，＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是与的夹角，则cosθ＝＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则⊥b?x1x2＋y1y2＝0．知识简用知识简用题型一平面向量的基本定理【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）如图，在中，为的中点，为的中点，设，以向量为基底，则向量（????）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为为的中点，则．因为为的中点，则．所以，即.故选：A．【例1-2】．（2022·全国·高一课时练习）在平行四边形中，点在对角线上，点在边上，，，且，，则（????）A． B． C． D．【答案】C【解析】．故选：C．【例1-3】．（2022·安徽）在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（）A． B．C． D．【答案】B【解析】．故选：B.【例1-4】（2022·贵州）在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（???????）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，过点作的平行线交于，则是的中点，且，，又，所以，即，所以，又，故选：B【例1-5】（2022·广东揭阳·高一期末）已知在中，点为上的点，且，若，则（????）A． B．0 C． D．1【答案】C【解析】由题意得，所以，所以.故选：C题型二平面向量线性运算的坐标表示【例2-1】（2022·云南）已知，且点，则点B的坐标为（????）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点B的坐标为，则，所以，即点B的坐标为．故选：B【例2-2】（2022·广东）已知向量，，则（????）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，故选：A【例2-3】（2022·新疆）已知向量，则的坐标是（????）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为向量，所以.故选：B【例2-4】（2022·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）已知向量，则（????）A．(1，－2) B．(1，2)C．(5，6) D．(2，0)【答案】A【解析】因为向量，所以，故选：A.题型三平面向量垂直平行的坐标运算【例3-1】（2022·湖北）已知向量，若∥，则等于（????）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】因为，若∥，所以，所以，所以.故选：C.【例3-2】（2022·吉林）已知向量，，且，则（????）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】因为，所以，解得，则所以，所以.故选：A【例3-3】（2022·四川省）设，向量，且，则等于（????）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】由知：且，则，可得，即，由知：，可得，即，所以，故.故选：B【例3-4】（2022·上海）已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____．【答案】【解析】因为三点共线，所以，，，所以，解得：.故答案为：【例3-5】（2022·江苏·滨海县五汛中学高一阶段练习）已知，.(1)当为何值时，与共线；(2)若，且三点共线，求的值.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，，，，又与共线，，即；（2）解：，，、、三点共线，，即．题型四平面向量数量积的坐标表示【例4-1】（2022·山东东营·高一期中）已知向量，，则（????）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，∴.故选：C.【例4-2】（2022·湖北）已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B． C． D．-1【答案】B【解析】由题意，，，可得，则，所以，，所以向量在向量方向上的投影为.故选：B.【例4-3】（2022·四川省高县中学校高一阶段练习（文））平面向量与的夹角为，则（????）A． B． C．4 D．12【答案】B【解析】因为平面向量与的夹角为，所以，，所以，故选：B【例4-4】（多选）（2022山东）设向量，，则（）A． B．C． D．与的夹角为【答案】CD【解析】因为，，所以，所以，故A错误；因为，，所以，又，则，所以与不平行，