二次根式的概念与性质

-.z.二次根式的概念与性质

编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨

一、目标认知1.学习目标：

理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握以下结论：，，，并利用它们进展计算和化简．

2.重点：；，及其运用．

3.难点：

利用，，解决具体问题.

二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念

一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，"〞称为二次根号．

要点诠释：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

知识点二：二次根式的性质

1.；

2.；

3.；

4.积的算术平方根的性质：；

5.商的算术平方根的性质：.

要点诠释：

二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进展因式分解.

知识点三：代数式

形如5，a，a+b，ab，，*3，这些式子，用根本的运算符号(根本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraice*pression).

三、规律方法指导

1.如何判断一个式子是否是二次根式？

(1)必须含有二次根号，即根指数为2；

(2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.

2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？

要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零.经典例题透析

类型一：二次根式的概念

1、以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、(*＞0)、、、、、(*≥0，y≥0)．

思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号"〞；第二，被开方数是正数或0．

解：二次根式有：、(*＞0)、、、(*≥0，y≥0)；

不是二次根式的有：、、、．

2、当*是多少时，在实数范围内有意义？

思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3*-1≥0，才能有意义．

解：由3*-1≥0，得：*≥

当*≥时，在实数范围内有意义．

总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

举一反三

【变式1】*是怎样的实数时，以下各式实数范围内有意义？

(1)；(2)；

解：(1)由≥0，解得：*取任意实数

∴当*取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.

(2)由*-1≥0，且*-1≠0，解得：*＞1

∴当*＞1时，二次根式在实数范围内都有意义.

【变式2】当*是多少时，+在实数范围内有意义？

思路点拨：要使+在实数范围内有意义，

必须同时满足中的2*+3≥0和中的*+1≠0．

解：依题意，得

由①得：*≥-

由②得：*≠-1

当*≥-且*≠-1时，+在实数范围内有意义．

类型二：二次根式的性质

3、计算：

(1)(2)(3)(4)

(5)(b≥0)(6)

思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．

解：

(1)(2)=；(3)；

(4)=；(5)；

(6)．

举一反三

【变式1】计算：

(1)；(2)；

(3)；(4).

思路点拨：(1)因为*≥0，所以*+1＞0；(2)a2≥0；

(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4*2-12*+9=(2*)2-2·2*·3+32=(2*-3)2≥0．

所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．

解：(1)因为*≥0，所以*+1＞0

；

(2)∵a2≥0，∴；

(3)∵a2+2a+1=(a+1)2

又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；

(4)∵4*2-12*+9=(2*)2-2·2*·3+32=(2*-3)2

又∵(2*-3)2≥0

∴4*2-12*+9≥0，∴=4*2-12*+9.

4、化简:

(1)；(2)；(3)；(4).

思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．

解：(1)==3；(2)==4；

(3)==5；(4)==3.

5、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，并根据这一性质答复以下问题．

(1)假设=a，则a可以是什么数？

(2)假设=-a，则a可以是什么数？

(3)＞a，则a可以是什么数？

思路点拨：

∵=a(a≥0)，

∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使"()2〞中的数是正数，

因为，当a≤0时，=，则-a≥0．

(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？

解：(1)因为，所以a≥0；

(2)因为，所以a≤0；

(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，

要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.

类型三：二次根式性质的应用

6、当*=-4时，求二次根式的值.

思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法一样.

解：将*=-4代入二次根式，得=.

7、(1)y=++5，求的值．

(2)假设+=0，求的值．

解：(1)由可得，，

(2)

8、在实数范围内分解因式：

(1)*2-5；(2)*3-2*；

解:(1)原式

.

(2)原式

.学习成果测评

根底达标

一、选择题

1.以下式子中，不是二次根式的是()

A．B．C．D．

2.一个正方形的面积是5，则它的边长是()

A．5B．C．D．以上皆不对

3.(福建省福州市)假设代数式在实数范围内有意义，则*的取值范围为()

A．*＞0B．*≥0C．*≠0D．*≥0且*≠1

4．的值是()

A．0B．C．4D．以上都不对

5．a≥0时，、、，比较它们的结果，下面四个选项中正确的选项是()

A．B．

C．D．

6.(辽宁省大连市)如图，数轴上点N表示的数可能是()

A．B．

C．D．

二、填空题

1.假设，则*=____________.

2.假设有意义，则的取值范围是____________.

3．-=________．

4.=____________.

5.=____________.

6.假设，则____________.

7.假设，则____________；假设，则____________.

8.化简：=__________.

9.计算：(1)=_______；

(2)=________；

(3)=________。

10.(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，A、B两点之间表示整数的点有_______个．

三、解答题

1.求以下二次根式中字母a的取值范围：

(1)，(2)；(3).

2.*工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

能力提升

一、选择题

1.使式子有意义的未知数*有()个

A．0B．1C．2D．无数

2.(山西省临汾市)假设，则与3的大小关系是()

A．B．C．D．

3.以下计算正确的选项是()

A．B．C．D．

4.(福建省厦门市)以下四个结论中，正确的选项是()

A.B.C.D.

二、填空题

1.假设，则____________.

2．假设是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

3.实数在数轴上的对应点如下列图，则____________.

三、解答题

1.当*是多少时，+*2在实数范围内有意义？

2.假设+有意义，求的值.

3.(北京市海淀区)实数*，y满足，求代数式的值.

4.，求*+y的值.

综合探究

1.(福建省南安市)观察分析以下数据，寻找规律：0，，，3，2，，3，……则第10个数据应是____________.

2.(江苏省苏州市)等式中的括号应填入____________.

3．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+=a+(1-a)=1；

乙的解答为：原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

4.假设时，试化简.

5．在实数范围内分解以下因式:

(1)；(2).

答案与解析

根底达标

一、1.D2.B3.D4.C5.A6.B

二、1.162.3.-0.024.5.2-*

6.7.8.9.(1)；(2)6；(3)-610.4

三、

1.解：(1)由a+1≥0，得a≥-1

∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。

(2)＞0，得1-2a＞0，即a＜

∴字母a的取值范围是小于的实数。

(3)因为无论a取何值，都有，所以a取值范围是全体实数。

2.解：设底面边长为*，则0.2